阿贝成像原理和空间滤波
一、实验目的
1．透镜的傅里叶变换作用；
2．空间频谱面的位置及空间频谱的观察；
3. 孔径对成像质量的影响；
4．验证阿贝成像原理，强化空间滤波概念的理解。
二、实验原理
1．阿贝成像原理
1873年，阿贝(Abbe)在研究显微镜成像原理时提出了一个相干成像的新原理，这个原理为当今正在兴起的光学信息处理奠定了基础。
如图1-1所示，用一束平行光照明物体，按照传统的成像原理，物体上任一点都成了一次波源，辐射球面波，经透镜的会聚作用，各个发散的球面波转变为会聚的球面波，球面波的中心就是物体上某一点的像。一个复杂的物体可以看成是无数个亮度不同的点构成，所有这些点经透镜的作用在像平面上形成像点，像点重新叠加构成物体的像。这种传统的成像原理着眼于点的对应，物像之间是点点对应关系。
阿贝成像原理认为，透镜的成像过程可以分成两步：第一步是通过物的衍射光在透镜后焦面(即频谱面)上形成空间频谱，这是衍射所引起的“分频”作用；第二步是代表不同空间频率的各光束在像平面上相干叠加而形成物体的像，这是干涉所引起的“合成”作用。成像过程的这两步本质上就是两次傅里叶变换。如果这两次傅里叶变换是完全理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似。如果在频谱面上设置各种空间滤波器，挡去频谱某一些空间频率成份，则将会使像发生变化。空间滤波就是在光学系统的频谱面上放置各空间滤波器，去掉(或选择通过)某些空间频率或者改变它们的振幅和相位，使二维物体像按照要求得到改善。这也是相干光学处理的实质所在。
以图l-l为例，平面物体的图像可由一个二维函数g(x,y)描述，则其空间频谱G(fx，fy)即为g(x，y)的傅里叶变换：
（1-1）
设
为透镜后焦面上任一点的位置坐标，则式中为
，
（1-2）
方向的空间频率，量纲为L-1, F为透镜焦距，
为入射平行光波波长。再进行一次傅里叶变换，将
从频谱分布又还原到空间分布
。
为了简便直观地说明，假设物是一个一维光栅，光栅常数为
，其空间频率为f0(f0=1/d)。平行光照在光栅上，透射光经衍射分解为沿不同方向传播的很多束平行光，经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵。我们知道这一点阵就是光栅的夫琅和费衍射图，光轴上一点是0级衍射，其他依次为±1，±2，…级衍射。从傅里叶光学来看，这些光点正好相应于光栅的各傅里叶分量。0级为“直流”分量，这分量在像平面上产生一个均匀的照度。±l级称为基频分量，这两分量产生一个相当于空间频率为f0余弦光栅的像。±2级称为倍频分量，在像平面上产生一个空间频率为2f0的余弦光栅像，其他依次类推。更高级的傅里叶分量将在像平面上产生更精细的余弦光栅条纹。因此物镜后焦面的振幅分布就反映了光栅(物)的空间频谱，这一后焦面也称为频谱面。在成像的第二步骤中，这些代表不同空间频率的光束在像平面上又重新叠加而形成了像。只要物的所有衍射分量都无阻碍地到达像平面，则像就和物完全一样。
但一般说来，像和物不可能完全一样，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高频信息不能进入到物镜而被丢弃，所以像的信息总是比物的信息要少一些。高频信息主要反映物的细节。如果高频信息受到了孔径的阻挡而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上分辨这些细节。这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。特别当物的结构是非常精细(例如很密的光栅)，或物镜孔径非常小时，有可能只有0级衍射(空间频率为0)能通过，则在像平面上虽有光照，但完全不能形成图像。
2．光学空间滤波
上面我们看到在显微镜中物镜的有限孔径实际上起了一个高频滤波的作用。它挡住了高频信息，而只使低频信息通过。这就启示我们：如果在焦平面上人为地插上一些滤波器(吸收板或移相板)以改变焦平面上的光振幅和相位，就可以根据需要改变频谱以至像的结构，这就叫做空间滤波。最简单的滤波器就是把一些特种形状的光阑插到焦平面上，使一个或几个频率分量能通过，而挡住其他的频率分量，从而使像平面上的图像只包括一种或几种频率分量。对这些现象的观察能使我们对空间傅里叶变换和空间滤波有更明晰的概念。
阿贝成像原理和空间滤波预示了在频谱平面上设置滤波器可以改变图像的结构，这是无法用几何光学来解释的。相衬显微镜即是空间滤波的一个成功例子。除了实验中的低通滤波、方向滤波等较简单的滤波特例外，还可以进行特征识别、图像合成、模糊图像复原等较复杂的光学信息处理．因此透镜的傅里叶变换功能的涵义比其成像功能更深刻、更广泛。
三、实验仪器
光学平台，导轨及支架，半导体激光器，防护镜，透镜，滤波器（狭缝、圆孔），光栅（矩形），白屏，直尺。
四、实验步骤与内容
1．共轴光路调节练习
在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端，上、下、左、右调节激光管，使激光束能穿过小孔；然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰俯，再使激光束能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具座上平移时，激光束均能通过小孔光阑。记录下激光束在光屏上的照射点位置。
在做以后的实验时，都要用透镜，调平激光管后，激光束直接打在屏Q上的位置为O，在加入透镜L后，如激光束正好射在L的光心上，则在屏Q上的光斑以O为中心，如果光斑不以O为中心，则需调节L的高低及左右，直到经过L的光束不改变方向(即仍打在O上)为止；如光路中有几个透镜，先调离激光器最远的透镜，再逐个由远及近加入其他透镜。
2．阿贝成像原理实验
实验光路及图像：
(1) 按图1-2布置光路。用半导体激光器发出的一束平行光垂直照射光栅，G是空间频率为每毫米几十条的二维的光栅，在实验中作为物。L是焦距为200mm的透镜，移动白屏使光栅在白屏上成放大的像。
(2) 调节光栅，使像上条纹分别处于垂直和水平的位置。这时在透镜后焦面上观察到二维的分立光点阵，这就是光栅的夫琅和费衍射(即光栅的傅里叶频谱)，而在像平面上则看到光栅的放大像(如图1-2(a))。
(3) 如在F面上设小孔光阑，只让一个光点通过，则输出面上仅有一片光亮而无条纹(如图1-2(b))。换句话说，零级相应于直流分量，也可理解为δ函数的傅里叶变换为1。
(4) 换用狭缝滤波器作空间滤波器放在F面上，狭缝处于竖直方位时，S屏上竖条纹全被滤去，只剩横条纹。
(5) 改变频谱结构，就改变像的结构。试从二维傅里叶变换说明透镜后焦面上二维点阵的物理意义，并解释以上改变光阑所得出的实验结果。
3．空间滤波实验
由无线电传真所得到的照片是由许多有规律地排列的像元所组成，如果用放大镜仔细观察，就可看到这些像元的结构，能否去掉这些分立的像元而获得原来的图像呢？由于像元比像要小得多，它具有更高的空间频率，因而这就成为一个高频滤波的问题。下面的实验可以显示这样一种空间滤波的可能性。
前述实验中狭缝起的是方向滤波器的作用，可以滤去图像中某个方向的结构，而圆孔可作低通滤波器，滤去图像中的高频成分，只让低频成分通过。
(1) 按图1-3布置好光路。用显微物镜和准直透镜L1组成平行光系统。以扩展后的平行激光束照明物体，以透镜L2将此物成像于较远处的屏上，物使用带有网格的网格字（中央透光的“光”字和细网格的叠加），则在屏Q上出现清晰的放大像，能看清字及其网格结构（图1-4）。由于网格为周期性的空间函数，它们的频谱是有规律排列的分立的点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱就是连续的。
实验参考光路：
图1-3空间滤波实验光路图
图1-4 网格字成像放大图
(2) 将一个可变圆孔光阑放在L的第二焦平面上，逐步缩小光阑，直到除了光轴上一个光点以外，其它分立光点均被挡住，此时像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。
试从空间滤波的概念上解释上述现象。
(3) 把小圆孔移到中央以外的亮点上，在Q屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些，这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字，演示了傅里叶变换的乘积定理。
五、思考题
1．什么是空间频率，时间频率？
2．平行光照明和点光源照明时，分别在哪里观察空间频谱分布？
3. 高通空间滤波和低通空间滤波分别对像质产生什么影响；
4．从阿贝成像原理来理解显微镜或望远镜的分辨率受限制的原因，能不能用增加放大率的办法来提高其分辨率?
第二篇：阿贝成像与空间滤波
实验四 阿贝成像与空间滤波
前言
阿贝成像原理是1873 年由E.阿贝在显微镜成像中提出来的。在相干照明下，
被物体衍射的相干光（见光的干涉），只有当它被显微镜物镜收集时,才能对成像有贡献。换句话说,像平面上光场分布和像的分辨率由物镜收集多少衍射光来决定。
空间滤波是基于阿贝成象原理的一种光学信息处理方法，它用空间频谱的语
言分析物光场的结构信息，通过有意识的改变物频谱的手段来产生所期望的像。
一、实验原理
1）.二维傅里叶变换
设有一个空间二维函数
，其二维傅里叶变换为
F
（1）
式中
分别为x,y方向的空间频率，其量纲为L-1，而又是
的逆傅里叶变换，即
F-1
（2）
式（2）表示任意一个空间函数，可以表示为无穷多个基元函数
的线性叠加，
是相应于空间频率为
的基元函数的权重，称为
的空间频率。
当
是一个空间周期性函数时，其空间频率是不连续的离散函数。
2）.光学傅里叶变换
理论证明，如果在焦距为F的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为的图象作为物，并以波长为λ的单色平面波垂照明图象，则在透镜后焦面（
,
）上的振幅分布就是
的傅里叶变换，其中与坐标,的关系为
（3） 图 1
故—面称为频谱面（或傅氏面），见图1，由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布则为
，称为频谱，也就是物的夫琅禾费衍射图。
3）.阿贝成像原理
阿贝在1873年提出了相干光照明下显微镜的阿贝成像原理，他认为，在相干的光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜后焦面上形成一个衍射图，第二步则为物镜后面上的衍射图复合为（中间）像，这个像可以通过目镜观察到。
成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换，第一步把物面光场的空间分布变为频谱面上空家频率分布，第二步则是再作一次变换，又将还原到空间分布。
图2显示了成像的这两个步骤，为了方便起见，我们假设是一个一维光栅，单色平行光照在光栅上，经衍射分解成为不同的很多束平行光相应于一定的空间频率），经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵，然后代表不同空间频率的光束又重新在像平面上复合而成像。
图 2
如果这两傅氏变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像的物应完全相似（可能有放大或缩小），但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息），不能进入到透镜而被丢失了，所以像的信息总是比物的信息要少一些，高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是透镜分辨率受到限制的根本原因，特别当物的结构非常精细（如很密的光栅）或物镜孔非常小时，有可能只有0级衍射（空间频率为0）能通过，则在像平面上就完全不能形成像。
4）.空间滤波
根据上面讨论，成像过程本质上是两次傅里叶变换，即从空间函数变为频谱函数
，再变回到空间函数（忽略放大率），如果我们在频谱面（即透镜的后焦面）上放一些模板（吸收板或相移板），以减弱某些空间频率成分或改变某些频率成分的相位，则必然使像面上的图象发生相应的变化、，这样的图象处理称为空间滤波，频谱面上这种模板称为滤波器，最简单的滤波器就是一些特殊形状的光阑，它使频谱面上一个或一部分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变像上图象的频率成分，例如圆孔光阑,它使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变像上图象的频率成分。
二、知识与实验设计
1.描述物的空间频率概念及观察方法：
空间频率是指每度视角内图象或刺激图形的亮暗作正弦调制的栅条周数，单位是周/度。它是根据19世纪数学家J.-B.-J. 傅里叶提出的分析振动波形的理论而出现的描述视觉系统工作特性的概念。最初在物理光学中，空间频率指每毫米具有的光栅数，单位为线/毫米。
波矢量为
的单色平面波在空间位置
的复振幅为
如果该平面波沿
传播，
平行于，
，上式变成
这是一个关于
的周期函数，空间周期为
，
表示复振幅在传播方向上单
位长度内重复的次数，因此称
为延传播方向的空间频率。
2.观察方法：
即在傅里叶光学系统的频谱面上放置一光屏，即可看到由傅里叶透镜汇聚
产生的频谱分布图。
实验步骤:
(1)共轴光路调节
在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端，上下左右调节激光管，使激光束能穿过小孔；然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰俯，再使激光能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具座上平移时，激光束能通过小孔光阑。
(2) 阿贝成像原理实验
如实验光路图在物平面上放上一维光栅，用激光器发出的细锐光束垂直照到光栅上，用一短焦距薄透镜（6~10cm）组装一个放大的成像系统，调节透镜位置，使光栅狭缝清晰地成像在像平面屏上，在频谱面上放上可调狭缝,那么在频谱面上的衍射点如图所示。
3.分析与综合：
给定一个一维矩形光栅：
将该光栅放入4f 光学系统进行分析，运用傅里叶分析理论，分析一维矩形
光栅的频谱；采用matlab 绘出：
? 当只有0 级，0、?1 级通过时，该光栅的像分布；
? 当去掉该光栅0 级空间频率时，该光栅的像分布。
Matlab代码
Ls=30;
Lw=10;
f = ones (250 ,250);
for i = 1 :Lw
f (i :Ls:end , :) = 0;
end
g=fft2(f);
g=fftshift(g);
g_display=abs(g).^2;
W=15;
aperature=zeros(250);
aperature((126-W/2):(125+W/2),:)=1;
W1=15;
aperature1=ones(250);
aperature1((126-W1/2):(125+W1/2),:)=0;
W2=16;
aperature2=zeros(250);
aperature2((126-W2/2):(125+W2/2),:)=1;
X=aperature.*g;
X1=aperature1.*g;
X2=aperature2.*g;
img_f=ifft2(X);
img_f=abs(img_f).^2;
img_f1=ifft2(X1);
img_f1=abs(img_f1).^2;
img_f2=ifft2(X2);
img_f2=abs(img_f2).^2;
subplot(2,2,1),imshow(f);
subplot(2,2,2),imshow(img_f);
subplot(2,2,3),imshow(img_f1);
subplot(2,2,4),imshow(img_f2);
MATLAB仿真图样：
原始图像
输出高通
输出低通（0级）
输出低通（0,+1）
三、运用
设计实验，验证上述光栅的空间滤波作用。
（一）实验光路图
（二）实验步骤
1.共轴光路调节：
在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端，上下左右调节激光管，使激光束能穿过小孔；然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰俯，再使激光能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具座上平移时，激光束能通过小孔光阑。
2.阿贝成像原理实验：
如实验光路图在物平面上放上一维光栅，用激光器发出的细锐光束垂直照到光栅上，用一短焦距薄透镜（20cm）组装一个放大的成像系统，调节透镜位
置，使光栅狭缝清晰地成像在像平面屏上。
3.空间滤波：
在频谱面上设置一可调狭缝作为光阑，调节夹缝宽度，使其刚好能通过频谱图上0级次的光，观察像面上图像的变化并记录。
再调节缝宽，使其刚好能通过频图上0级，
1级的光，观察像面上图像的变化并记录。
将可调狭缝撤走，在同一位置设置一合适的遮光板，使其刚好能挡住频谱图上0级次的光，观察像面上图像的变化并记录。
光栅狭缝清晰成像
0级通过
0，
1级通过
0级不通过
四、拓展：理解并讨论相衬显微技术的原理及应用
1.原理：
相衬显微技术是一种光学显微技术，光线在穿过透明的样品时会产生微小的相位差，而这个相位差可以被转换为图象中的幅度或对比度的变化，这样就可以利用相位差来成像。
光线在穿过非真空介质时，会与介质发生作用从而产生幅度和相位的变化，这种变化与介质的性质相关。幅度的变化通常是由于介质对光的吸收，变化程度与波长也就是光的颜色相关，而介质的厚度、折射率的变化会导致光线相位的改变。人的眼睛仅能测量到达视网膜的光线的能量强度，而很难观察到相位的改变，普通的光学显微镜也无法检测相位的改变。然而相位的变化通常也会携带相当多的信息，但是在对光线进行测量的时候这部分信息就全部丢弃了。为了使相位变化的信息可以被观察到，就需要将穿过样品的光线与参考光源l相结合，相干的结果可以显示出样品的相位结构。
相衬显微镜观察样品时不需要进行染色，在观察细胞的时候也就不会对细胞标本产生伤害，因此这种显微镜可以用来研究细胞周期。
2.应用
相衬显微镜的原理图中省略了一些细节。首先，聚光环仅仅是一个位于平面1中央的小光圈，而相位板也仅仅覆盖在了平面3中央的小光圈上。其次，物镜、目镜灯光学系统被极大的简化了，图中仅使用了两个透镜来代表所有的光学器件。
为了进一步的理解相衬照明的工作原理，我们来研究两个波阵面（如左图）[2]。平面1处在聚光器的前焦平面上。光线通过小孔S射入，通过聚光器射出后形成平行的波阵面。当这些平面波碰到物平面2处的位向物体O的时候，一些光在穿过标本时被折射。假设标本不会显著的改变入射光的幅度，而仅仅改变了它们和参考光之间的相位关系，新产生的球面波前在从标本射出后相位将被延迟90° （λ/4）。注意到现在有两种类型的波，作为参考光的S波和折射光D波，它们之间存在这90° 的相差。物镜将D波在主像平面，也就是图中的平面4的内部聚焦，而S波将在其后焦平面，也就是平面3上聚焦。相位板P现在对S波有显著影响，而大多数的D波却不受影响。在正相衬中，相位板将所有穿过它的光线的幅度衰减约70-90%，而将相位提前90°，这样，由于S波和D波的相位差达到180°，将引起相消干涉（180°的相移来自两种效果的迭加，S波被相位板提前了90°，D波被相位物体延迟了90°）。如果没有相位板，就不会有显著的相消干涉，这样就会导致对比度的降低。通过相衬照明的技术，不可见的相位变换现在可以转变为可见的幅度变化。相消干涉在左图中可以看到，蓝色的波形和橙色的波形分别代表D波和S波，而他们的和，（D+S）的幅度减小了。
五、感悟
通过本次物理光学小组作业，我们初步了解了阿贝成像与空间滤波的物理意义以及应用方法，加深了我们对傅里叶光学的认识。在试验中，我们小组通力合作，克服了许多困难，增强了对实验的分析能力以及动手能力，为以后在光学图像信息处理方面的学习工作打下良好的基础，并且学到了很多有用的东西，当真是受益匪浅。
六、小组分工