辽宁工程技术大学力学与工程学院
振动力学综合训练（三）
辽宁工程技术大学
力学与工程学院制
目录
第一章 综合训练要求...................................................................... 1
第二章 模型的建立及振动方程的求解.......................................... 2
第三章 影响弦振动物理量分析...................................................... 6
3.1.弦的长度对其振动的影响...................................................... 6
3.2.弦的张力对其振动的影响...................................................... 7
3.3 弦的粗细对其振动的影响...................................................... 9
第四章 结论与分析........................................................................ 11
参考文献 ........................................................................................12
第一章 综合训练要求
进行以下规定内容的建模、计算与分析工作,具体思考如下问题:
1.为什么吉它上的六根弦在弦长一致的情况下所发出的音调（声音的频率）不同？
2.在演奏时依靠什么来改变弦的音调？
3.为什么仅通过调整弦的张力就能进行校音？
教学过程：教师布置任务，学生课外查资料、计算、分析，形成材料，集中讨论、答辩、教师总结。
成果形式：撰写计算分析报告并进行分组汇报。
吉他弦图片
第二章 模型的建立与振动方程的求解
1.横波运动分析
由于弦乐器是靠弦的振动发声的，而弦振动产生的声波属于横波，因而，要了解弦振动规律应从横波模型的运动分析入手。设弦上有一向右传播的横波，如图1所示.现具体分析弦上各点的运动规律。当波沿工轴方向前进时，弦上各质点沿y轴上下振动，其位移可表示为
①
图1 横波及其质点的运动示意图
其中A为振动的振幅,k为波矢量，ω为圆频率,ф为初位相。弦上各质点振动的速度为
②
②式表明,各质点上下振动的速度在随位置、时间不断变化。图1标出了部分质点振动的速度,其中A、C、E处质点振动的速度最大（ωA),而B、D处质点振动速度最小(0).显然,弦上各质点的振动方向并非波的传播方向。
为得到波动沿弦传播时波速的表达式,现取波峰处一小段长度的弦作研究对象分析其受力情况,如图2所示.相对于弦内张力Tl,弦的重力可以忽略.此时,两个张力合力的方向竖直向下成为使弦回到平衡位置的回复力F,.由牛顿第二定律得
③
图2 波峰附近绳子的受力分析
③式中产为弦的线密度(即单位长度弦的质量),这段弦的加速度a,可由下式得到
④
由于波矢量
,波速
,所以
故这段弦在波峰D处对应的加速度为
⑤
进而由牛顿第二定律可得弦的回复力为
⑥
现从受力角度讨论弦的回复力 .因两张力竖直向下的分力合成弦的回复力,故
⑦
由于
,角度
应非常小.按照小角近似条件应有
,代换(7)得,由于
可表示弦在
处的斜率,而这段弦的振动方程为
,故按斜率公式可得
⑧
由于口很小,按照小角近似理论,
，于是⑧式
变为
，代入回复力的表达式即得
⑨
现比较⑥、⑨两式可得
于是弦上传播的横波的波速表达式为
⑩
2.弦模型中的驻波
以上讨论了正弦波的振动与传播规律.对于实际的弦乐器,因弦的两端固定,当弦被拨动时振动传播到弦两端会产生反射,而反射波和入射波在一定条件下叠加会形成驻波。驻波振动的位移,由两个振幅相等、圆频率相同的反向传播正弦波叠加,则
?考虑到驻波特点—弦的两端(即
)弦振动位移为零,因而上式必须满足
，或
，(n=1,2,3,...为波腹数)。所以
?
由于频率f与波长又以及波速v满足关系式
,所以有
?对于
其振动频率很低，叫做基频或基音,此时对应
当
时，频率表达式形如式,对应频率较高,叫做泛音,其对应的频率别为基频的n倍.基音与泛音统称谐音。上述结果表明,对于弦长、张力、线密度、材料性质一定的弦,两端固定时其自由振动频率不止一个,而是n个,并且仅与弦的固有力学参量有关,所以该频率也称为固有频率.每一个n对应于一种驻波,图3表示弦的三个驻波模式。
图3 一维横驻波中的基频与泛频
第三章 影响弦振动物理量分析
3.1.弦的长度对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型，令弦的张力T0=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度
，分别取弦的直径为:d=0.30inch，弦的长度L=0.5m、0.6m、0.7m、0.8m、0.9m、1.0m，针对不同长度的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：
format long
L=[0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0]; % L表示弦长，单位m
To=input('To='); % To表示弦张力，单位N
p=input('p='); % p表示钢丝的密度，单位Kg/m3
d1=input('d1='); % d1表示弦的直径，单位inch
d=d1*2.54/100;
for i=1:6
w1(i)=3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));
w2(i)=2*3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));
w3(i)=3*3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));
end
plot(L,w1,'o-')
grid on
xlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦长度时的第一阶固有频率')
plot(L,w2,'o-')
grid on
xlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第二阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦长度时的第二阶固有频率')
plot(L,w3,'o-')
grid on
xlabel('L弦的长度/m'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦长度时的第三阶固有频率')
输入以上程序得到不同长度时共振频率如下图所示：
图3-1 弦不同长度时共振频率
3.2.弦的张力对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型，令弦为钢丝这一材料，故密度，分别取弦的直径为:d=0.30inch，弦的长度L=0.6m，弦的张力To=10N、20N、30N、40N、50N、60N，针对不同张力的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：
format long
L=input('L='); % L表示弦长，单位m
d1=input('d1='); % d1表示弦的直径，单位inch
d=d1*2.54/100;
To=[10,20,30,40,50,60]; % To表示弦张力，单位N
p=input('p='); % p表示钢丝的密度，单位Kg/m3
for i=1:6
w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));
w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));
w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));
end
plot(To,w1,'o-')
grid on
xlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦张力时的第一阶固有频率')
plot(To,w2,'o-')
grid on
xlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第二阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦张力时的第二阶固有频率')
plot(To,w3,'o-')
grid on
xlabel('To弦的张力/N'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦张力时的第三阶固有频率')
输入以上程序得到不同张力时共振频率如下图所示：
图3-2 弦不同张力时共振频率
3.3 弦的粗细对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型，令弦长L=0.6m，弦的张力F=40N，令弦为钢丝这一材料，故密度，分别取弦的直径为:d=0.10inch、0.14inch、0.22inch、0.30inch、0.39inch、0.47inch，针对不同粗细的弦振动，利用MATLAB求解，编写程序如下：
format long
L=input('L='); % L表示弦长，单位m
To=input('To='); % To表示弦张力，单位N
p=input('p='); % p表示钢丝的密度，单位Kg/m3
d1=[0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47]; % d1表示弦的直径，单位inch
d=d1*2.54/100;
for i=1:6
w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));
w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));
w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));
end
plot(d1,w1,'o-')
grid on
xlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第一阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦直径时的第一阶固有频率')
plot(d1,w2,'o-')
grid on
xlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第二阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦直径时的第二阶固有频率')
plot(d1,w3,'o-')
grid on
xlabel('d1弦的直径/(inch)'),ylabel('第三阶固有频率/(rad/s)')
title('不同弦直径时的第三阶固有频率'）
输入以上程序得到不同粗细时共振频率如下图所示：
图3-3 弦不同粗细时共振频率
第四章 结论与分析
通过对弦乐器振动规律的理论推导和分析,可得到如下结论:
1.弦上各质点的振动方向不等于波动的传播方向。
2.增大弦振动的振幅只能增大弦上各质点的振动速度,并不改变波动的传播速度。也就是说,弦振动振幅的改变,改变不了乐曲的音调。
3.决定弦振动频率的物理参量为L、To、μ,因而弦乐曲的音调就由这三个参量决定。亦即弦长越短(L小),弦绷得越紧(To大),弦的线密度越小（μ小),音调也就越高(f高)。
4.在其他条件(如弦长,松紧程度)相同的情况下,使用不同性质、不同粗细的琴弦材料(即产不同),乐器音调也有差别。实际中的弦乐器,这些物理参数都能根据需要改变,特别是弦的紧张程度最容易改变。
理论分析与实验证明:弦乐器的音调与弦的长短、粗细、松紧程度以及弦材料的结构性质有关。在相同条件下,弦长越短、弦越紧（弦张力越大）、弦越细,则弦乐器的音调越高。
参考文献
<1> 《振动力学》刘廷柱,陈文良,陈立群,高等教育出版社.
<2> 《弦乐器的弦振动分析》,周兴旺,机械工业出版社.
<3> 《振动机械的理论与动态设计法》,闻邦椿,刘淑英等,机械工业出版社.
<4> 《Matlab软件程序设计与应用》,刘卫国,高等教育出版社.
<5>《非线性振动力学》,陈予恕 ,天津科技出版社.
<6>清华大学工程力学系机械振动北京:机械工业出版社,1980.
第二篇：弦振动的误差分析
弦振动中误差的研究
实验目的：
（1）
（2） 研究弦振动中砝码的重力与绳子拉力之间的关系，测量砝码重力在多大范围内是和绳子张力相等的； 研究弦振动中频率的改变对绳子张力和密度的影响，算出它们的误
差。
实验原理：
如图（1）实验时在①和⑥间接上弦线（细铜丝），使弦线绕过定滑轮⑩结上砝码盘并接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的弦线就会受到磁场力（称为安培力）的作用，若细铜丝上通有正弦交变电流时，则它在磁场中所受的与电流垂直的安培力，也随着正弦变化，移动两劈尖（铜块）即改变弦长，当固定弦长是
波。
波。示。波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：
Y1＝Acos2?(ft－x/ ?)
Y2＝Acos[2? (ft＋x/λ)+ ?]
式中A为简谐波的振幅，f为频率，?为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：
Y1 ＋Y2＝2Acos[2?（x/ ?）+?/2]Acos2?ft ????? ①
由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2?（x/ ?）+?/2] |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。
由于波节处振幅为零，即：｜cos[2?（x/ ?）+?/2] |＝0
2?（x/ ?）+?/2＝(2k+1) ? / 2 ( k=0. 2. 3. ? )
可得波节的位置为：
x＝k? /2 ????? ②
而相邻两波节之间的距离为：
xk＋1－xk ＝(k＋1)?/2－k? / 2＝? / 2 ????? ③
又因为波腹处的质点振幅为最大，即 ｜cos[2?（x/ ?）+?/2] | =1
2?（x/ ?）+?/2 ＝k? ( k=0. 1. 2. 3. ? ?)
可得波腹的位置为：
x＝(2k-1)?/4 ????? ④
这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。
在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：
L＝n? / 2 ( n=1. 2. 3. ? )
由此可得沿弦线传播的横波波长为：
?＝2L / n ????? ⑤
式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。
根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝?f，将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度：
V＝2Lf/n ????? ⑥
另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：
V＝(T/ρ)1/2 ????? ⑦
式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。
再由⑥⑦式可得
f =（T/ρ）1/2（n/2L）
得 ?2l? FT??f?? ?n?22
由⑧式可知，当给定T、ρ、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。
实验步骤
1、
2、 连接实验装置。 测量弦线线密度?。测出弦线的质量及其长度。根据??，计算弦线密度。
3、
4、 测圆柱半径，用游标卡尺测量其直径，多次测量求平均值。 观测频率和绳子张力FT之间的关系
（1）取质50g的砝码挂于弦线的另一端，然后调节频率，调节劈尖的位置，得到稳定的驻波。分别测量波节N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。当频率大于130Hz时，取N=1，N=3，N=5.
（2）改变频率f从80Hz到150Hz,砝码质量不变，重复上述步骤（1），并记录数据。
5、 观测砝码质量mg与张力FT之间的关系
调节频率为100Hz，，砝码质量从10g到200g时调节劈尖的位置得到稳定的驻波，测量当N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。注：当砝码质量为15g时，取N=2，N=3，N=4.
6、 整理数据并处理
实验数据及处理
（一） 砝码质量对绳子张力和密度的影响：
1、?的测量
弦线 l?1cm
质量m?0.4g
-3
=0.4?10kg
?=m3
2、弦振动实验装置圆柱的半径
如下表:表中M为砝码的质量，N为波节数目，l为波节长度，为波长的平均值，?为绳子的密度，T为绳子拉力的平均值，
??100Hz 绳子密度??
F
?2?
2
绳子张力F???2?2
注：仅当M=15g时，波节数目为特殊情况。 其图像如下所示：（见下页）
（二）振动频率对绳子密度和张力的影响：
G?mg?50?10-3?9.8?0.49N
其图表如下图所示：
在实验过程中我们发现，
一方面，当固定振动的频率，改变砝码的质量。若砝码的质量过小，几乎是15g左右时，基本上无法研究，实验现象不明显，振动特别不稳定。但是，一旦砝码质量大于20g时，实验现象就明显了很多，而且绳子的张力与砝码的质量误差基本保持在2.5%以下，尤其是50g到100g之间时，误差基本保持在1%左右，可以说是非常小的。因此，我们在以后的实验过程中，只要砝码的质量大于40g往上，基本都是可取的。
另一方面，当固定砝码质量为50g时，我们通过改变频率来观测对绳子密度和拉力的影响。实验发现，70Hz以前的频率是基本上不能测试的，绳子的振动非常不稳定。因此，我们在实验过程中频率选在从80Hz到150Hz,由实验结论和实验图表可得：改变振动频率产生的实验误差是先减小到100Hz后又增大，因此在以后进行实验时，频率选在100Hz时，误差最小。
还有一个特殊现象，当频率过大，大于130Hz时，会出现一个特殊现象，当波节数目为偶数时，振动特别不稳定，劈尖到滑轮处也会出现微小的波节。而且，本来出现的两个波节会慢慢的合成一个波节，合成后的波节长度几乎和原来两个波节的长度相等，且振动幅度特别大，但是当出现奇数波节时，则不会出现这种情况，实验现象也相对稳定。这对实验带来了难度，因此，我们为了避免这种情况，减小实验误差，测量时，我们只选取奇数波节时的波节长度，这样，得出的结论就相当准确。
当然，由于实验室的实验仪器本身用于教学，不属于研究器材，因此，实验精度本身就不是很高，所以所测的实验数据也不是非常精确，导致实验出现误差，当然这个误差是无法避免的。
同时，在测量波节长度l时，用于人肉眼原因，测量的数据相对也会出现偏差。
实验心得
这次实验中，我们组成员分工明确，齐力配合，取得的成绩非常明显。实验过程中，由于实验数据的巨大性，我们走了不少弯路，经过小组成员讨论，查阅资料，然后以严谨的态度测量每一组实验数据，终于，功夫不负有心人。我们终
于得出了绳子拉力和砝码重力的关系，以及砝码的重力在什么情况下和绳子的张力近乎相等。同时，也研究了圆柱震动频率和绳子的张力及密度之间的关系，实验结论效果相当明显。
通过本次实验，我们体验到团队合作的重要性和必要性。没有队友的努力，根本不会有我们今天的成绩，当然，还有指导老师的指导，老师在我们都比较迷茫的时候给我们指了一条方向，实验才有了实质性的进展。在此，衷心感谢老师。
小组组长：於佩
组员：刘祥 王宝林
李佳 杨懿
2012-5-10