中国人口预测模型及分析
摘要：本文根据附录所给数据及一部分搜集到的数据，建立了对我国人口中短期及长期的预测模型。两个模型都采用年龄移算法，建立以1年为时间间隔的人口变化的差分方程组，其中每年婴儿的总人数需要单独考虑。在中短期预测模型中，由于预测的年份较少，参数如死亡率、生育率、男女出生性别比采用的是静态数据或是修正后的数据，即只是关于年龄的函数，不随时间的推移而改变；而在长期预测模型中，结合近年来中国人口发展的新特点，对参数动态化处理，死亡率采用分段加权法、男女性别比例采用曲线拟合、生育模式采用函数逼近等方法得到各自关于时间和年龄的函数，进而更好的预测未来的人口发展趋势。中短期预测模型采用低、中、高位预测方案，用MATLAB 7.1软件求解，得到了未来10年即2006～20##年市镇乡的男女人口数和2006～20##年人口总数，低位预测方案中未来10年人口总数整体呈上升趋势，20##年人口总数将达到13.4亿；中位预测方案中未来10年人口总数整体也呈上升趋势，20##年人口总数将达到15.08亿。长期预测模型用MATLAB 7.1软件求解，得到未来100年即2006～2105年市镇乡的男女人口数和2006～2105年人口总数，人口总数呈现一段时期上升后就开始下降的趋势，人口总数在2020～20##年间达到峰值14.28亿，且老龄化程度加剧，老龄人口所占比重将会超过20％。
关键词：差分方程；人口中短期预测模型；人口长期预测模型；年龄移算法
－、问题的提出
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些都影响到中国人口的增长。从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，根据附录和《中国人口年鉴》的相关数据，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；进而分析人口发展态势，统筹解决人口数量、结构、分布问题，处理好人口与经济社会资源环境之间的关系。
二、基本假设
1 假设在相当一段时期内，无自然灾害和战争的发生；
2 所给数据中无人口迁入、迁出信息，因此暂不考虑迁移对人口发展的影响，只考虑自然生死过程；
3 假设附录中所给调查数据真实；
4 假设中短期为0～50年，长期为50年以上；
三、符号说明
：男婴出生率；
：女婴出生率；
：i岁的育龄妇女生育率；
：t年i岁的男性人口数；
：t年i岁的女性人口数；
：i岁的人口死亡率；
：t年i岁育龄妇女的生育率；
：t年的出生人数；
：t年的死亡人数；
：t年人口总人数；
：育龄妇女总和生育率；
：未来生育模式函数；
：t年i岁的人口死亡率函数；
k(t)：出生比例函数；
：t年男婴出生率函数；
：t年女婴出生率函数；
四、人口中短期预测模型
决定人口发展过程因素虽然很多，但随着时间变化对人口状态的影响，最终表现在出生和死亡这两个方面，依此定量建立它们之间的平衡关系，得到人口发展方程：
由于人口发展过程在一个安定发展的社会中，决定人口状态进程的各种参数不可能发生突变，所以在进行中短期预测时，利用近几年的人口状态的可靠统计数据，设定各种参数值。
1．死亡率预测模型
1.1年龄别死亡率
考虑到人口在不同年龄层次的不同年龄组内，其死亡分布也存在差异，为了提高死亡概率的精度，采用宼尔公式调整年龄段年龄别死亡率，其计算式为：
式中：
为年龄为i岁之死亡率；Ax为寿命成数，Ax采用一般经验参数值（见表1）:
表1 各年龄段的寿命成数Ax经验参数值
2．出生人数预测模型
一定时期内人口的出生状况，取决于两个基本要素：一是育龄妇女人数；二是平均每个育龄妇女所能生育的小孩数。
2．1育龄妇女生育率
我国从1995年到20##年之间的育龄妇女生育率(20##年缺失)大致呈现下降的趋势（见图1），1995～1999年在倒V型变化的同时下降，其中市育龄妇女生育率1996～1997年下降幅度最大，从1996年的56.61‰骤降到1997年的37.77‰，下降了18.84个千分点；镇育龄妇女生育率1998～1999年下降幅度最大，从1998年的81.73‰骤降到1999年的42‰，下降了39.73个千分点；2001～20##年在波动范围幅度不大情况下下降。
图1 育龄妇女生育率
2．2育龄妇女总和生育率（）
总和生育率：一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数。由所给的数据可计算出从2001～20##年的市镇乡育龄妇女总和生育率（见表2.1、2.2、2.3）：
表2.1 2001～20##年的市育龄妇女总和生育率
表2.2 2001～20##年的镇育龄妇女总和生育率
表2.3 2001～20##年的乡育龄妇女总和生育率
2．3育龄妇女人数预测
预测模型的基本表达式为:
…………………………………（1）
2．4出生人数（）预测
因为国家会通过人口政策、家庭计划等对人口的生育过程进行一定的干预与调节，所以这里要对实际生育率
加以修正，然后纳入预测模型进行测算。其计算公式为：
=*目标总和生育率/实际总和生育率，为i岁育龄妇女之生育率修均值；
考虑到生育率水平下降后，人口政策和家庭计划的实施，生育率水平以后也许会发生反弹。于是，本次预测分别采用了不同的总和生育率值作为预测参数进行低、中、高三套方案。
2．4．1高位预测方案：例如将2001～20##年的市总和生育率最高的，即20##年的总和生育率1.048视为目标总和生育率，对各年龄生育率值进行处理，即：
=*1.048/0.296…………………………………（2）
2．4．2中位预测方案：例如对2001～20##年的市总和生育率求和取其均值为为目标总和生育率，对各年龄生育率值进行处理，即：
TR=[TR(2005)+ TR(2004) +TR(2003) +TR(2002)+ TR(2001)]/5=0.6804
=*0.6804/0.296…………………………………（3）
2．4．3低位预测方案：例如将2001～20##年的市总和生育率最低的，即20##年的总和生育率0.296视为目标总和生育率，对各年龄生育率值进行处理，即：
=
各年度出生人数的计算公式如下：
…………………………………（4）
2．5婴儿男女出生比
正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。1994～20##年市镇乡出生婴儿性别比都超出了正常水平，还有持续升高的趋势，说明了中国传统的“重男轻女”的观念依旧存在。出生人口的性别比以及各年龄段人口的死亡率共同决定了一个人口群体的性别构成。计算公式如下：
男性婴儿出生率=男女出生比例/（100＋男女出生比例）；
女性婴儿出生率＝1－男性婴儿出生率；
根据附录从1994～20##年市镇乡男女出生比例的数据，由以上公式计算出各年的婴儿男女出生率，求其均值得到、。
3．人口总数预测模型
总人口的预测，以《中国人口统计年鉴》（2005）年底分性别、分市镇乡人口为基数，用年龄移算法推算各年份分性别、年龄、市镇乡人口数及人口总数。
0岁组男性人口为：
…………………………………（5）
0岁组女性人口为：
…………………………………（6）
…………………………………（7）
…………………………………（8）
t年度人口总数计算式为：
…………………………………（9）
4．模型求解
以《中国人口统计年鉴》为依据，20##年城镇与乡村人口所占百分比分别为0.4299、0.5701，但不包括港澳台人口。为求市镇乡三者各自所占比重，依据年鉴上20##年的调查人数市镇乡人数所占百分比为0.27、0.17、0.56。而20##年总人口为1307560000人，据此得出20##年市镇乡的人数分别为353041200、222285200、732233600；其它人口参数的基数依据的是20##年的各项人口参数。该模型程序见附录一。人口总数计算结果如下表：
表3.1 低位预测方案结果
表3.2 中位预测方案结果
五、人口长期预测模型
对于中短期人口预测模型，大致符合实际情况，但由于所给数据不足，模型中的参数如出生率、死亡率、男女性别比例，只根据实际发展趋势给出了静态数据，不适宜进行长期预测。
随着预测时间段的扩大，中短期预测模型中的参数不能再设定为一个数值，一般来说都是两个自变量的函数，它们除了随年龄的不同而变化外，还随时间（年代）推移而变化，因此，在长期预测中，首先研究这些函数的动态特性，对这些函数的未来变化趋势给出合理的假设和较准确的估计，找出其变化规律。下面分别作出讨论。
5．1未来生育模式函数（）
生育模式函数表示了不同生育年龄上育龄妇女的生育水平，它是不同生育年龄上的加权因子。可以比较准确地用统计学中Gamma分布密度函数曲线来逼近。设
，
分别是育龄妇女的最小生育年龄和生育峰值年龄，对于任意固定的t，生育模式函数可以描述为：
…………………………………（10）
5．2死亡率函数()
在给定起始年的死亡率函数
的情况下，为了确定
年代以后死亡率函数的变化趋势，应用分段加权法设计随时间变化的权函数
，社会福利事业的进步对降低幼儿死亡率和老人死亡率的影响大，对成人的死亡率的影响小，因此取如下形式：
………………（11）
5．3出生率函数（、）
近年来出生人口性别比持续升高，大致符合“s”型增长趋势，可设出生比例函数k(t)形式为：
男性婴儿出生率：
女性婴儿出生率：
5．4人口总数（）
…………………………………（12）
…………………………………（13）
t年度人口总数计算式为：
5．5模型求解
根据附录中2001～20##年妇女生育率数据，分析乡村妇女生育率得到
，
故生育模式函数为：
…………………………………（14）
分析镇妇女生育率得到，
故生育模式函数为：
…………………………………（15）
分析市妇女生育率得到，故生育模式函数为：
…………………………………（16）
由附录中1994～20##年男女出生比例，通过MATLAB 7.1软件对出生比例函数k(t)作线性拟合得到：
市： 
镇： 
乡： 
图2 出生比例预测
表4.1 ＝2.0时计算结果
在上述参数确定以后，只要给出不同的育龄妇女总和生育率，就能从人口总数方程中得到不同的人口发展过程。在模型中分别对＝1.5、2.0这两种情况进行分析，编写程序（见附录二），得到人口总数结果（见表4.1、4.2）：
5．6老龄化分析
根据长期人口预测模型得出的2005－2105年的各年人口总数，分析我国未来人口的结构特点。分别统计每年60岁以上和65岁以上的人口总数，进而求得各自所占的比重，用MATLAB 7.1软件画出图形（见图3）：
表4.2 ＝1.5时计算结果
从图3中可看出，随着时间的推移，我国老年人口所占比重整体呈上升趋势。且一直持续到20##年，65岁以上人口所占比重最高接近23％，60岁以上所占比重达到30%。一般认为，如果65岁以上老年人口比重超过7%，或60岁以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型；20##年以后老年人口比重在一定范围内呈波浪式变化，综合以上分析表明老龄化程度加剧。人口发展呈现此趋势的因素是多方面的，如随社会文明程度及医疗水平的提高，出生率和死亡率都下降。
图3 老龄化趋势
5．7对长期预测模型所得总人口数的分析
长期预测的目的是为评价或制定人口政策提供依据，一般人们首先关注的是人口总数峰值出现的阶段，理论上，当人口的出生率与死亡率达到平衡时，人口总数将达到峰值。应用长期预测模型求得未来百年每年人口总数，为了更好的分析，绘制人口发展趋势图如下：
图4 人口总数分布
可见以后20年内，我国总人口呈上升趋势，在2020－20##年间达到峰值，以后又呈下降趋势。结合实际，人口总数不可能无限的减少下去，它总会稳定在一个与社会及自然生态系统相平衡的水平上。但由于预测的长期性，我们当代人是无法证实的，因此只能作为参考。
5．8城镇化分析
目前农村剩余劳动力陆续转化为城镇人口，大规模的劳动力流动将持续存在。但附录中所给数据只是离散的，考虑到各个地区城乡镇人口差异很大，调查结果无法真实反映城镇化信息，所以在人口预测模型中没有考虑城镇化因素，此为模型的不足之处。根据长期预测模型所得结果也无法反映城镇化水平，由乡镇市总人口及各自所占比例分布图（图5）也可看出，乡村人口有略微下降，城镇人口却均无明显变化。
图5 乡镇市人口分布
六、模型的优点与缺点
中短期预测模型相对于长期预测模型，预测的精度相对比较高，但主观性较强；长期预测模型从长远角度考虑了各个因素的动态变化对人口总数的影响，有利于反映人口发展模式的众多信息，例如，人口总数峰值出现阶段、老龄化程度、城镇化水平。
两个预测模型优点是充分考虑不同年龄层次、不同年龄组内人口的生存人年分布的不同特征，对每个年龄组人口建立递推式，预测精度高；但两种模型存在的共同缺点是90岁以上人口存在遗漏。
参考文献：
【1】 宋健 育景元，人口控制论，北京：科技出版社，1985。
【2】 国务院人口普查办公室，世纪之交的中国人口（台湾卷），北京：中国统计出版社，2006。
【3】 刘铮 邬沧萍 查瑞传，人口统计学，北京：中国人民大学出版社，1981。
【4】 Wayne L.Winston（李乃文 崔群法 林细财 周辉译），运筹学概率模型应用范例与解法（第4版），北京：清华大学出版社，2006。
附录一：
镇女性人数数短期预测程序（m_file）：
w=xlsread('zhenw.xls');
death=xlsread('zhenwd.xls');
shengyulv=xlsread('zhenshengyulv.xls');
sexrate=0.47;
for j=2:11
for i=2:91
w(i,j)=(1-death(i-1))*w(i-1,j-1);
end
a=0;
for i=15:49
a=a+w(i,j)*shengyulv(i-14);
end
w(1,j)=(1-death(1))*sexrate*a;
end
程序说明:
对于市、乡女性人数的预测可调用相应的Excel文件（见附带文件夹）；
对于市、镇、乡男性人数的预测可用以下程序:
w=xlsread('zhenwyucehou.xls');
x=xlsread('zhenm.xls');
death=xlsread('zhenmd.xls');
shengyulv=xlsread('zhenshengyulvhou.xls');
sexrate=0.54;
for j=2:11
for i=2:91
x(i,j)=(1-death(i-1))*x(i-1,j-1);
end
a=0;
for i=15:49
a=a+w(i,j)*shengyulv(i-14)/1000;
end
x(1,j)=(1-death(1))*sexrate*a;
end
程序说明:
对于市、乡女（男）性人数的预测可调用相应的Excel文件（见附带文件夹）；
附录二：
长期预测程序（m_file）：
对于市女性人数的预测：
zong=2.0;%总和生育率 
w=xlsread('shiw.xls');
w=[w,zeros(91,90)];
death=xlsread('shiwdhou.xls');
death=[death,zeros(91,100)];
%性别比模式
sexrates=zeros(100,1);
sexratez=zeros(100,1);
sexratex=zeros(100,1);
for i=2005:2104
s=exp(4.7147-0.001948/(i-1994));
sexrates(i-2004)=s/(s+100);
z=exp(4.764-0.0094835/(i-1994));
sexratez(2004)=z/(z+100);
x=exp(4.7871-0.0094298/(i-1994));
sexratex(i-2004)=x/(x+100);
end
%生育模式
hs=zeros(35,1);%市
hz=zeros(35,1);%镇
hx=zeros(35,1);%乡
for i=15:49
hs(i-14)=(i-15)^5*exp(-(i-15)/2)/7680;
hz(i-14)=(i-15)^4.5*exp(-(i-15)/2)/2366;
hx(i-14)=(i-15)^4*exp(-(i-15)/2)/768;
end
%死亡率函数
death=death/1000;
for j=2006:2105
for i=1:91
if (i>=6)&(i<=51)
death(i,j-2004)=death(i,1);
else
death(i,j-2004)=death(i,1)*(1-(j-2005)*0.00001);
end
end
end
for j=2:101
for i=2:91
w(i,j)=(1-death(i-1,j-1))*w(i-1,j-1);%
end
a=0;
for i=15:49
a=a+zong*w(i,j)* hs(i-14)/1000;%
end
w(1,j)=(1-death(1,j))*(1-sexrates(j-1))*a;
end
对于市男性人数的预测：
zong=2; %总和生育率
w=xlsread('shiwyuce9.xls');
x=xlsread('shim.xls');
x=[x,zeros(91,90)];
death=xlsread('shimdhou.xls');
death=[death,zeros(91,100)];
%性别比模式
sexrates=zeros(100,1);%市
sexratez=zeros(100,1);%镇
sexratex=zeros(100,1);%乡
for i=2005:2104
s=exp(4.7147-0.001948/(i-1994));
sexrates(i-2004)=s/(s+100);
z=exp(4.764-0.0094835/(i-1994));
sexratez(i-2004)=z/(z+100);
y=exp(4.7871-0.0094298/(i-1994));
sexratex(i-2004)=y/(y+100);
end
%生育模式
hs=zeros(35,1);%市
hz=zeros(35,1);%镇
hx=zeros(35,1);%乡
for i=15:49
hs(i-14)=(i-15)^5*exp(-(i-15)/2)/7680;
hz(i-14)=(i-15)^4.5*exp(-(i-15)/2)/2366;
hx(i-14)=(i-15)^4*exp(-(i-15)/2)/768;
end
%死亡率函数
death=death/1000;
for j=2006:2105
for i=1:91
if (i>=6)&(i<=51)
death(i,j-2004)=death(i,1);
else
death(i,j-2004)=death(i,1)*(1-(j-2005)*0.00001);
end
end
end
for j=2:101
for i=2:91
x(i,j)=(1-death(i-1,j-1))*x(i-1,j-1);
end
a=0;
for i=15:49
a=a+zong*w(i,j)*hs(i-14);
end
x(1,j)=(1-death(1,j))*sexrates(j-1)*a;
end
程序说明:
对于市、乡女（男）性人数的预测可调用相应的Excel文件（见附带文件夹）；