学生证号：200930412031

贵州兴义民族师范学院

2012届专科生毕业论文

培养中学生解题能力的研究

系 学科 专业：数学教育

指导 老师：黄 激 珊

毕业生姓名：马 泽

中国.贵州.兴义

20xx年4月

培养中学生解题能力的研究

摘要：本文通过以下几点讲述来对培养中学生解题能力的研究：选择典型例题，注重一题多变，培养学生思维的敏捷性；注重错题剖析，培养学生思维的深刻性；注重指导学生题后反思，总结解题规律，提升知识综合应用能力；注重训练学生规范表达和书写，提高学生解题准确性。

关键词：一题多变 ， 一题多解 ，错题剖析 ， 题后反思。

本文结合数学学科特点和学生的认知规律，就如何提高学生解题能力作了 四方面的探索。

一、选择典型例题，注重一题多变，培养学生思维的敏捷性

典型例题不是那些偏题、难题、怪题，而是在问题中能融入相关概念、定理，富有启发性，通过该问题的解决，能促使学生理解知识，掌握方法，获得新见解的题。

一题多变常指通过对题中已知条件的增减，所提问题的变换来增加题中的信息量。一道题稍作变动，往往会有相同或不同答案，解题时教师要注意引导学生在变化中寻求正确的答案，从而提高学生应变能力，做到举一翻三，触类旁通。

下面列举在解题过程中常用到的四种一题多变的方法，以供参考：

例1：甲乙两人在400米环形跑道上练习跑步。甲每秒跑6米,乙每秒跑7米，

若两人同时从一地点背向而行，几秒钟后第一次相遇？（只列方程）

解：设X秒后第一次相遇（背向）

6x?7x = 400

（一） 改变题目的关键语句

改变题目的关键语句往往会改变所求的答案，如通过下面的变式，能使学生巩固方程的特点，以及时间、路程、和速度的关系。

例2：甲乙两人在400米环形跑道上练习跑步。甲每秒跑6米,乙每秒跑7米，

若两人同时从一地点同向而行，几秒钟后第一次相遇？（只列方程）

解：设X秒后第一次相遇（同向）

7x?6x+ 400

（二）对换题目中的问题和条

对换题目中的问题和条件的变式训练往往会增加题目的难度，但可以增强学生的思维。

例3：甲乙两人在某一环形跑道上练习跑步。甲每秒跑6米,乙每秒跑7米，两

人同时从一地点背向而行，400秒钟后第一次相遇。求环形跑道的长？（只列方程）

解：设环形跑道的长为x米。

x=400×（6+7）

（三）改变题目的叙述方法

一句话百样说，学生对不同的叙述方式的反应是很不同的，很可能会因为被

的叙述方法所干扰而产生理解错误。

例4：甲乙两人在400米环形跑道上练习跑步。甲每秒跑6米,乙每秒跑7米，

若两人同时从一地点同向而行，几秒钟后第一次相距150米？（只列方程）

解：设X秒后第一次相距150米

7x= 6x + 150

（四）增加题目的多余条件

在题目中增设一些与解决问题看似有关，实则多余的信息或设置一些与有效信息相似或相近且易于混淆的信息来起干扰和迷惑作用。

例5：甲乙两人在400米环形跑道上练习跑步。甲每秒跑6米,乙每秒跑7米，

甲乙两人同时跑了4秒钟之后又继续跑，若两人同时从一地点背向而行，几秒钟后第一次相遇？（只列方程）

解：设X秒后第一次相遇（背向）

6x + 7x = 400

在解题时，教师要指导学生要细心分析，找出无意义条件，找出有效信息，弄清问题的因果关系而突破。

教学经验丰富的教师，可使例题纵横延伸，其中横向延伸主要是指对例题的一题多解的探讨，纵向延伸主要是指改变例题的条件和结论，采取有层次的一题多变的变式教学，有利于提高学习的质量，培养学生思维的灵活性和解题的应对能力。

二、注重错题剖析，培养学生思维的深刻性

在学习中，我们会发现，有一些错误是学生的共性，而且会一错再错。下面就一些具体实例，分析学生中一些常见而又普遍的错误原因。

例6：设a、b互为相反数，c、d互为倒数，求下列代数式的值。

2012a?3?tan300?(?1)2012?2012b cd

3?1 cd解：原式

=2012a?2012b?

=0?1

=-1

（一）知识性错误：

有些学生对数学的概念、定理及规律理解不透，模糊不清，导致错解。

2012（-1）算成了0. 例6原式=0-0+0=0把

预防这类错误的最好方法，是对相近概念进行列表、对比，从中找出特点、或把一个概念分解成内涵(本质)、外延(范围)两个部分，并通过举例加深对概念的理解。

（二）记忆性错误：

例6解：原式

=2012a?2012b?

=0?1

=

1 31

cd

这种算法把tan300

有些学生遗忘了某一知识，或将某一知识的记忆与另一知识的记忆相混或记错，结果由记忆混淆而错解．

预防这类错误的最好办法是发展学生的编码策略，把抽象的理论与具体实 例或数字相结合，使知识有效地保持在学生脑海中。

（三）推理性错误：

例6解：原式=2012a?2012b?3??1?

cd3

=0?1

=1

这种算法是把?(?1)2012的负号先算进括号里去了。

推理是由一个或几个已知判断，推出一个新的判断的思维形式。有些学生只根据题目所提供的表面条件作出判断而导致错误。

预防这类错误的最好办法是引导学生弄清楚已知条件中的事实，分析时抓住这个事

实与其某种属性之间的内在联系，或者实验现象之间的因果关系。通过分析，综合归纳得出的真实判断。

（四）审题性错误：

例6解：原式

=2012(a?b)?1或1?1)?1 这种算法是忽略了题目中的c、cd

d互为倒数或a、b互为相反数。

所谓审题，就是了解题意，搞清题目中所给予的条件与问题，明确题目的要求。学生在审题中常见错误有两个：一是忽视题目中的条件，从而造成粗枝大叶错误；二是由于不善于审题，往往不知道应注意些什么?应做些什么?往往没有弄懂题目中的关键语，或遗漏了题目中隐蔽因素等造成的这样那样错误。

预防这类错误的最好办法审题时要善于读题，应采用“三读”题目的方法：初读时，要求了解题意，了解题目中已知条件及要求的问题是什么；复读题目，是弄懂题目中难懂或易混淆的词语，弄清题目中关键词语；三读题目，是检验性读题。

以上几类错误，是学生学习过程中的多发病，常见病。所以在习题分析时教师可以把错误适时展现出来，可以让学生发表他们的“错误观念”或“错误的推理方法”，老师再去帮助学生去发现错误的原因，这样由于学生思考的深度增加，印象也会深刻得多，很大程度上就会避免一错再错。

三、注重指导学生题后反思、总结解题规律，一题多解，提升知识综合运用能力

有许多学生“会而不对，对而不全”，解题过程显得思路混乱，漏解、误解、错解，做作业往往解出了结果后，就没有再一步的行动了，不会思考和总结。教在于度，学在于悟。解题后反思便于总结解题规律，优化解题方法，积累经验，从而起到摆脱题海战术、以少胜多、事半功倍的效果。

例7：甲乙两车由两地同时出发相向而行，4小时候。甲车距中点还差8千米。乙车超过中点60千米，已知甲车比乙车每小时慢，乙车每小时行多少千米？ 解：解法一：(48?60)?(4?)?81(千米）

解法二：设乙车每小时行x千米,则甲车比乙车每小时慢13131 x千米，由题意得：3

1x?4?48?60解得x?81. 3

答：乙车每小时行驶81千米。

并指导同学们下去用其他方法解答，看看还有没有其他解法，如：线段图表示法、对比法。

教学的目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，若没有象这样的思考与总结，就题论题，脑海中不会留下深刻的印象，对解其他题不会有什么启发。“题海无边，总结是岸”是很有道理的。

四、注重训练学生规范表达和书写，提高学生解题准确率

没有一定的文字表达能力，学生的分析推理能力、逻辑思维能力、探索创新能力等就无法科学地“吐露”出来，语言表达规范和答案书写规范可以检验学生对知识的认识程度。有相当一部分学生因表达能力比较差, 导致失分严重。

例8：已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（保留三个有效数字）：3.84?105千米。

（一）表达不准确：比如：例8中的把3.84?105千米表达成3.83?105千米。

（二）书写不规范：主要是指数字和数学符号的书写不规范。例如：把例8中的

3.84?105千米书写成3.84?105千米。

（三）不使用数学术语：主要是指与数学相关的语言文字。不使用科学计数法四舍五入而把例8写成3.839?10千米。 5

要有效地提高学生的文字表达能力，绝非一朝一夕就能完成。因此，在平时的学习中，我们应时时处处为学生创设语言表达训练与提高的环境，让学生有更多的机会开口讲、动手写，有意识地在课堂教学、作业设计、教学检测等各个环节中都重视学生的语言表达能力的培养。书写的工整、规范以及准确程度是学习能否取得成功的关键所在，细节决定成败。

总之，学习导向正确与否、实施学习的措施与方法是否得当、学习效率的高低直接关系着学习的成败。通过中学的学习要努力使大部分学生学有所获，使模糊的概念清晰起来，使孤立的知识联系起来，从而使解题的能力不断提高，对学习充满信心。

参考文献：

【1】 张振华;;一题多解和一题多变[J];考试(高考试题设计版);20xx年Z1期

【2】刘静;;在教学中利用一题多变培养学生的思维品质[J];数学学习与研究;20xx年08

期

【3】刘佳珍;;一题多解、一题多变,重在培养学生的发散思维[J];新课程学习(基础教

育);20xx年04期

【4】贵州各地区教研室教研员新课程考试研究课题组、贵州一线特、高级教师编写组；贵

州新中考导学20xx年中考总复习；20xx年10月第一版。

【5】李玉琪；中学数学教学与实践研究；20xx年6月第一版。

第二篇：分类讨论思想在中学数学中的应用毕业论文

兴义民族师范学院本科毕业论文

本科毕业生学位论文

分类讨论思想在中学数学中的应用

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目 录

摘 要.......................................................................................................................... III ABSTRACT .................................................................................................................. II

第一章 绪 论.............................................................................................................. 1

第二章 分类讨论的基本概念...................................................................................... 2

2.1 分类讨论的含义............................................................................................ 2

2.2 分类讨论的要求............................................................................................ 2

2.3 分类讨论的意义............................................................................................ 2

2.4 分类讨论的原则............................................................................................ 6

第三章 分类讨论思想在中学数学中的应用 ............................................................ 9

3.1 分类讨论思想在不等式中的应用

3.2 分类讨论思想在数列中的应用

3.3 分类讨论思想在集合中的应用

3.4 分类讨论思想在排列组合中的应用

3.5 分类讨论思想在函数中的应用

3.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用。

3.7 分类讨论思想在立体几何中的应用

第四章 总结.............................................................................................................. 10

参考文献...................................................................................................................... 11

诚 信 承 诺 书.......................................................................................................... 13

关于学位论文使用授权的声明.................................................................................. 13

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摘 要

全日制普通高级中学数学教学大纲指出：“高中数学教学应使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必须的代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识、基本技能，以及其中的数学思想方法.”把数学知识的“灵魂”—数学思想方法纳入教学目的的范畴，是加强数学素质教育的重要内容.数学思想是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，反之，数学思想对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用.因此中学数学教学中渗透数学思想方法的教学，是每一位数学教师教学所孜孜追求的.

分类讨论思想是数学思想方法中的重要组成部分，分类讨论的数学方法是研究与解决数学问题的重要思想方法之一，也是科学研究中最常用的方法之一，它贯穿于中学数学教材的各个部分.

所谓分类讨论，就是把求解问题的所有情况一一列举出来，并按一定的标准把它们分成若干类，然后对各类情况逐一讨论，使整个问题最终得以解决.分类讨论是解决问题的常用方法，它可以化复杂为简单，变抽象为具体，本文就简单地谈一下分类讨论思想在中学数学中的应用.

关键词：数学思想 数学方法 分类讨论 数学教学

.

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ABSTRACT

The 2010 Shanghai World Expo has been held in China for the first time, which has a great influence on several aspects of our country’s politics, economy, culture, science and technology. For the aspect of economy, the 2010 Shanghai World Expo has great influence on the stimulation of fixed asset investment, urban infrastructure construction, and tertiary industry, especially service industry relying on the tourism service. With Shanghai as the center, it also has long-term economical radiation effect for the Pearl-River Delta region. This paper mainly starts from the influence of economy development of the country which hosting the World Expo in the past few years. Applying the gray prediction method, by establishing the GM(1,1) model and using numerical fitting and precision test , we predict the influence on our country’s GDP by hosting the 2010 World Expo. Also, we estimate the contribution of the Shanghai World Expo to the development of our national economy and efficiency according to China’s total GDP that year.

Keywords: Shanghai World Expo the gray prediction method the GDP effect

II

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第一章 绪 论

20xx年上海世博会是首次在我国举办的世界博览会，世博会已经成为推动上海经济乃至中国经济增长的重要引擎,而上海世博会又因其自身的特点，从交通、餐饮、门票、宾馆、旅游等各方面影响着我国的经济发展，对上海乃至全国的诸多行业都有显著的推动作用, 能够带来直接或间接经济效益和社会效益. 而作为衡量国民经济发展情况最重要的一个指标，一国一年的国民生产总值（Gross Domestic Product ，GDP）是整个国家当年经济核算的基本总量，更是中心环节，对于判断经济态势运行、衡量经济综合实力、正确制定经济政策等诸多方面，起着不可替代的重要作用。目前，很多学者对上海世博会的经济影响力进行了研究、探讨【1】【2】【3】，得到了很多好的结果。但由于世博会对经济的影响是隐性和多方面的，是一个复杂的系统，具有很多不确定因素，没有一个统一的量来计算和统计这一个影响力，这样就很难得到一个相对准确的结论。在高速发展的今天，特别是网络技术和计算科学的兴起，当面对实际问题的时候，都需要我们通过采用计算科学方法，制定发展战略和政策，进行重大问题的决策，对未来进行科学的预测，并对决策和策略进行改进或控制，以期达到最优的效果。而预测就是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.灰色系统理论正是针对实际问题的复杂性、不确定性、系统性、层次性等特征，把实际的问题看成是既含有已知信息，又含有未知或者不确定性信息，通过研究系统结构之间的关联，采用灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论【4】【5】。当样本较小，研究问题复杂时，若采用其他预测方法（如回归分析等），常造成较大误差，使预测目标失效。灰色预测模型（Gray Forecast Model）通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测，具有建模信息少，运算方便，建模精度高等特点。本文针对上海世博会对我国经济发展影响的复杂性和系统性，根据历年世博会对举办国当年GDP的影响这一小样本出发【图1】，采用灰色系统理论方法，通过建立GM（1,1）模型【6】，运用逼近和精度检验，对20xx年上海世博会的GDP效应进行预测，得到上海世博会的GDP效应和对当年我国GDP的影响和贡献。

1

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第二章 上海世博会GDP效应预测

本章将根据灰色系统理论，利用灰色预测建模的方法，建立上海世博会GDP效应预测模型，并利用微分方程的解逼近及精度检验，对上海世博会GDP效应进行预测。

2.1 模型的建立

下面将对灰色理论的知识进行简要介绍，对GM(1,1）模型的建模思路进行说明，建立上海世博会GDP效应预测模型。

2.1.1 灰色系统

在系统研究中，由于系统结构及外部环境的复杂性，人的认知水平很难对系统本身有一个完整和准确的认知，人们所得到的信息往往具有某种不确定性，随着科学技术的发展和人类社会的进步，人类对各种系统不确定性的认知逐步深入，不确定系统的研究理论和方法不断涌现，20世纪40年代诞生了系统论、信息论、控制论，随着技术科学的发展，在20世纪后半期相继诞生了耗散结构理论、动力系统理论、泛系理论等交叉学科，特别是19xx年，我国数理科学家，华中理工大学邓聚龙教授创立了灰色系统理论【7】，把不确定系统数学研究进一步深化。灰色系统是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方法，它以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息不确定系统为研究对象，主要通过对部分也知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统行为、演化规律的正确描述和有效监控，着重研究概率统计、模糊数学所难以解决的小样本、贫信息不确定问题，并根据信息覆盖，通过序列算子的作用探索实物现实运动规律，其特点是少数据建模【8】。灰色系统理论经过20年的发展，现已基本建立起一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。

2.1.2 灰色预测模型

根据灰色系统理论，使灰色系统白化、模型化、优化，将复杂的多因素的多

2

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变化的预测问题转化为简单化单因素的预测问题，下面建立灰色系统预测的GM（1,1）模型【9】。

首先对数据进行一次累加生成,即通过数列间各时刻数据依次累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加数列为规律性较强的递增数列，即将不规律的数据转化为图像近似指数函数或一次函数的数据。

(0)(0)(0)(0)(0) 不防设原始数列为 x，累加数列为?x(1),x(2),x(3),...,x(n)??

(1)(1)(1)(1)(1)，其中 x?x(1),x(2),x(3),...,x(n)??

(1)(0) x， (1)?x(1)

(1)(0)(0) x， (2)?x(1)?x(2)

(1)(0)(0)(0) x， (3)?x(1)?x(2)?x(3)

?

(1)(0)(0)(0)(0) x (n)?x(1)?x(2)?x(3)???x(n)

可归纳为

i??(0) x( i)?x(j)|i?1,2,3,?,n???j?1??(1)

建立GM（1,1）模型， 即微分方程： dx?ax?u （1） dt

其中a,u为常数，称a为发展灰数，u为内生控制灰数，是系统的常定输入，方

(1)(1)?x(t)的解为 程（1）满足初始条件：t?t0时，x0

u?a(t?t)u(1)(1)0x(t)?(x(t))e0 （2） aa

对等间隔取样的离散值（t0?1）则为 u?(1)(1)aku x （3） ?1,2,3,?,n?1(k?1)?(x(1))e，kaa

3

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由导数的定义 dxx(t??t)?x(t) ??t?0dt?t

假错误！未找到引用源。设?t是一个很小的数且趋近于1时，近似地有 ?x?x(t?1)?x(t)，即 ?t

(1)?x(2)(1)(1)(0) ?x(2)?x(1)?x(2)?t

(1)?x(3)(1)(1)(0) ?x(3)?x(2)?x(3)?t

?

(1)?x(n)(1)(1)(0) ?x(n)?x(n?1)?x(n)?t

由（1）式变形得： dx??ax?u (4) dt

?x(1)

因为涉及累加数列的两个时刻，因此x(1)(i)取前后两个时刻的平均值代替，?t

即 1(（1）1)(1) x， i? (i)[x(i)?x(i?1)]1,2,3,?,n2

将错误！未找到引用源。代入（4）式写成矩阵形式

?x(2?0?x(3

?. ??.

?.?0??x(n0)??)??????)???????=????????1(1)[x(2)?x(1)(1)]21?[x(1)(3)?x(1)(2)]2...1(1)[x(n)?x(1)(n?1)]2??1??1??.?.??.??1???a?u??? （5） ?

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

4

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?x(2?0?x(3

?.令Y=??.

?.?0??x(n0)??)??????)???????错误！未找到引用源。，A=????????1(1)[x(2)?x(1)(1)]21?[x(1)(3)?x(1)(2)]2...1(1)[x(n)?x(1)(n?1)]2??1??1??.?错误！.??.??1??

?a?未找到引用源。，U???错误！未找到引用源。 ?u?

即求Y?BU的最小二乘解【10】，也就是解线性方程组

??aT?1TT?T??? A,即 U?(AA)AY AU?AY????u?

?,u?,将a?,u?代入方程 求出a

u?(1)(1)aku x ?1,2,3,?,n?1(k?1)?(x(1))e，kaa

并求出

k时，x(1)(k?1?1,2,3,?,n?1)的值

k?n时，x(1)(k?1)的预测值

根据一次累加数列的生成法则，通过后减运算，得到

(0)(0)? k，x的值 ?x(k?1)?1,2,3,?,n?1

k?n时，x(0)的预测值

(0)(0)?分别计算x，k的残差、相对残差、后验差以及x(0)的均?x(k?1)?2,3,?,n

值、方差、残差均值、残差均差、后验差比值C和小误差概率p,并对照下表：

5

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表1：预测精度对照表

得到预测精度等级。

2.1.3 上海世博会GDP效应预测模型

根据GM（1、1）模型的建模思想，以各国列届世博会的GDP效应为样本【附表1】，建立上海世博会GDP效应模型。

设x(0)为历年各国GDP效应值，为x(1)一次累加后的值

x(0)={2.1、0.75、0.72、0.26}

x(1)={2.1、2.85、3.57、3.83}，x(1)为递增函数列，

则矩阵 ????? A = ????????1(1)x(2)?x(1)(1)21?x(1)(3)?x(1)(2)2...1(1)x(n)?x(1)(n?1)2????????1??1???2.475?.? = ??3.21??.???3.7?.??1??1?1?? 1??

?x0(2?0?x(3

?. Y = ??.

?.?0??x(n)??)??0.75??? = ??0.72?? ???0.26????)??

2.2 数值拟合

计算(ATA)?1得

6

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1.30044.0678?? (ATA)?1=?? 4.067813.0557??

T?1T由U??(，知 AA)AY

?0.36458??a?? U???=?? ??1.0308??u??

?,u?代入方程： 把a

???u?(1)(1)aku? x (k?1)?[x(1)]e]??aa

得

(1)?0.3716k? x，k （6） (k?1)??2.5806e?4.68?1,2,3,?,n?(1)(i)，再用后减运算得到原始数据x(0)的值x?(0)(k)，k?2计算值x,3,4

?(0)(k)的残差和相对残差 表2：x

2.3 精度检验与预测

通过计算,x1n(0)的均值 ： X??x(k) nk?1(0)

?0.9575

x(0)21n?0???的方差 ：S xk?X?1nk?1??

S 0.63041`?

7

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1n?1

残差的均值 ：E??E?k? n?1k?2

??0.0081

21N

残差的方差 ：S2N?1??E?K??E?

K?2

S2?0.0194

后验差比值 : C?S2

S

1 CS20.0194

S?0.0308 1`0.6304

小误差概率 ： PE?K??0.6745S1? 0.6745S1`?0.6745?0.6304?0.42 通过比较可知，所有的Ek?都小于0.4252，故小误差概率 pk?0.4252}?1 根据p?0.95，C?0.0308?0.35，预测等级为好，从而预测方程 x(1)(k?1)??2.5806e?0.3716k?4.68 可用，依次令k?3,4，代入方程 x?(1)(k?1)??2.5806e?0.3716k?4.68 得(4.0969?3.8342)=0.2607

因此20xx年上海世博会的GDP效应为： (4.0969?3.8342)％=0.2607％

8 7） （

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第三章 结 论

通过上面的上海世博会GDP效应GM（1，1）模型建立及拟合检验，预测出了上海世博会的GDP效应为0％，对比历届世博会的GDP效应（表1），发.2607

现上海世博会的GDP效应与汉诺威世博会持平，低于前面几届。

图1：列届世博会GDP效应对比 20xx年我国GDP总量为40.1202万亿元，根据上面预测的结果，20xx年上海世博会对我国当年GDP的贡献为1045.931亿元。假设我国要举办国际交流的活动，我们可以根据前几届少量的影响力数据或者投入与其产生的效应间相关数据，预测我国举办活动的效应，并根据影响力与投入之间的关系，策划最优投资方案。本预测模型也可广泛应用于其他领域，如根据某种产品前几月的销售量，预测出本月的销售量，并观察该产品的销售量走势，对接下来产品的生产量做出决策。

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致 谢

在这里，请允许我对给予我帮助的所有老师、亲人和朋友们表示诚挚的感谢，是你们的关心和关爱使我对学业充满了信心，是你们的支持和帮助使我顺利地完成了本篇学位论文。

首先，我要向数学系的全体老师以及科任老师表示感谢，你们不辞辛劳的付出和孜孜不倦的教诲使我学到了很多知识和做人的道理。特别地，向我的论文指导老师王美娜老师表示感谢，在整个论文撰写过程中，王老师给予了我大量的指导和帮助；向我的班主任老师徐老师和熊老师表示感谢，你们的关心和关爱使我感觉到了家庭一样的温暖，使我不断地成长。

其次，我要向我的家人表示感谢，在他们的支持之下，我的学业的完成才成为可能。

最后，我要向我的同学、朋友们表示感谢，特别是我的室友们，你们的帮助和陪伴使我度过了愉快的大学时光，我会永远珍惜这份美好的友谊。

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参考文献 【1】、徐蕾.20xx年上海世博会对上海城市经济的影响分析[J}.市场周刊，20xx年05期.

【2】、屈雪莲，过秦荣.20xx年世博会对上海经济拉动效应研究[J].上海管理科学，20xx年05期.

【3】、徐徐，吴治平.世博会对上海市主要经济指标的影响分析[J].科技管理研究，20xx年21期.

【4】、朱伟.灰色预测模型及其应用.江汉大学学报，19xx年第51期．

【5】、候丽敏.灰色模型及其在经济预测中的应用[J].郑州铁路职业技术学院学报，20xx年第3期.

【6】、邓聚龙.灰色预测与决策[M].武汉：华中工学院出版社，19xx年．

【7】、刘思锋，党耀国，方志耕等.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版社，20xx年．

【8】、史开泉等.灰色系统学术论文集.河南：河南大学出版社，1993.2，第一版．

【9】、焦宝聪，陈兰平.运筹学的思想方法及应用[M].北京市：北京大学出版社, 2008.

【10】、陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京市：高等教育出版社，2008.12。

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附 录

附表1：列届世博会情况 城市

时间大阪 1970筑波 1985大田 1993汉诺

威

2000

相关支出

派生生产收入

7058亿 15600亿（日元）亿（日元） 23163亿（日元）2000亿 30000亿 102亿 170亿

附表1：列届世博会情况

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GDP效应

2.10% 0.75% 0.72% 0.26% 国内总GDP 73.7万亿

320.4万亿 27.8万亿

3.96998万亿 11579

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