本科学生毕业论文（设计)
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振荡电路的稳定性分析 物理与电子信息学院 物理学 刘刚 0708090 张季谦 职称 7200 教授 2011 年 3 月 5 日
论文题目 振荡电路的稳定性分析
学生姓名、学院： 刘刚 ，物理与电子信息学院
中文摘要
随着科学技术和社会需要的迅猛发展，人们发现混沌系统在当今世界许
多重要的领域具有很高的研究价值和实用价值。本文主要对振荡电路出现混沌 的原因、数值分析法控制其稳定和用和Fortran软件和 origin软件解三阶微分 方程和绘图. 主要内容介绍蔡氏二极管和蔡氏电路模型，以及蔡氏电路的动力 学方程，用数值分析法利用Fortran编程解出三阶自治电路的微分方程的出数 据，利用所得数据利用origin得出同步图像分析，蔡氏电路的动力学分析与作 图以及不动点稳定性混沌图像是本文重点，最后揭示蔡式电路中混沌稳定性分 析的研究在实践其他复杂的混系统（譬如混沌保密通信混沌扩频通信)的展 望。
关键词（3～5个)： 混沌；蔡氏电路；稳定性分析；应用展望
Analysis of Oscillating Circuit to the Stability 英文题目 学生姓名（英文)： Liu Gang
学 院（英文)： College of Physics and Electronic Information
英文摘要
Along with the science and technology and social needs of rapid development, development, people found chaotic systems in today's world many important field has high research value and practical value. This paper focuses on the oscillating circuit of chaos, the cause of numerical analysis method to control its stability and use and Fortran PowerStation software and origin software solution third order differential equation and drawing. The main contents introduce chua’s diode and chua’s Circuits models, as well as chua’s Circuits of dynamic equation and using numerical analysis using Fortran work out third-order autonomy circuit differential equations, using data from the data obtained by using origin synchronous image analysis, chua’s Circuits for dynamic analysis and mapping and fixed point stability chaotic image this is the key, and finally reveal Cai type circuit chaos for stability analysis of research in practice other complex mix systems, (such as chaotic secure Communication chaotic spread spectrum communication) outlook
,英文关键词 Chaos; Chuas Circuit; Stability analysis; application prospect.
安徽师范大学本科生毕业论文（设计)评定意见
评语主要内容包括：学生写作态度、科研作风，论文选题的理论意义和实践价值，论据是否充分、可靠，掌握基础理论、专门知识、研究方法和技能的水平，写作的逻辑性、技巧及其他优缺点。
安徽师范大学本科生毕业论文（设计)评定意见
目 录
摘要： .......................................................................................... 错误！未定义书签。 Abstract: ....................................................................................... 错误！未定义书签。 1引言 ........................................................................................... 错误！未定义书签。 2混沌电路的研究方法 ............................................................... 错误！未定义书签。
2.1、Fortran，origin的介绍 ............................................... 错误！未定义书签。
2.1、分岔图法 ...................................................................... 错误！未定义书签。 3混沌电路和蔡氏电路 ............................................................... 错误！未定义书签。
3.1混沌电路分类 ................................................................. 错误！未定义书签。
3.2、非线性蔡氏二极管介绍 .............................................. 错误！未定义书签。
3.3、蔡氏电路结构和动力学方程 ...................................... 错误！未定义书签。 4在不动点情况下的稳定性分析 ............................................... 错误！未定义书签。
4.1利用Fortran，origin对上面所取数据画图模拟 ......... 错误！未定义书签。
4.2、稳定控制的数学分析 .................................................. 错误！未定义书签。
4.3、改变初值和蔡氏二极管常数，观察相图变化 .......... 错误！未定义书签。
4.3.1变初值 .......................................................................... 错误！未定义书签。
4.3.2改变蔡氏二极管常数 .................................................. 错误！未定义书签。
4.4稳定性总结 ..................................................................... 错误！未定义书签。 5结束语 ....................................................................................... 错误！未定义书签。 参考文献 ...................................................................................... 错误！未定义书签。
振荡电路的稳定性分析
刘刚 安徽师范大学物理与电子信息学院
摘 要：随着科学技术和社会需要的迅猛发展，人们发现混沌系统在当今世界许多重要的领域具有很高的研究价值和实用价值。本文以蔡氏电路为研究对象，利用Fortran语言编程，并对数值结果利用origin软件绘图，对其满足的动力学三阶微分方程进行数值分析，探讨对振荡电路出现混沌的原因、控制其稳定的方法。具体内容包括：介绍蔡氏二极管和蔡氏电路模型，以及蔡氏电路的动力学方程，利用Fortran编程解出三阶自治电路的微分方程的结果，然后根据数据利用origin作图，重点分析蔡氏电路的混沌形成过程和不动点稳定性，最后揭示蔡式电路中混沌稳定性分析的研究在实践其他复杂的混系统（譬如混沌保密通信混沌扩频通信)的展望。
关键词：混沌；蔡氏电路；稳定性分析；应用展望。
Analysis of the Stability in Oscillating Circuit
Liu Gang
College of Physics and Electronic Information, Anhui Normal University
Abstract: Along with the science and technology and social needs of rapid development, people found chaotic systems in today's world many important field has high research value and practical value. This paper focuses on the oscillating circuit of chaos, the cause of numerical analysis method to control its stability and use and Fortran PowerStation software and origin software solution third order differential equation and drawing. The main contents introduce Chua's diode and Chua's Circuits models, as well as Chua's Circuits of dynamic equation and using numerical analysis using Fortran PowerStation work out third-order autonomy circuit differential equations, using data from the data obtained by using origin synchronous image analysis, Chua's Circuits for dynamic analysis and mapping and fixed point stability chaotic image this is the key, and finally reveal CAI type circuit chaos for the stability analysis of research in practice other complex mix systems, (such as chaotic secure communication chaotic spread spectrum communication) outlook
Key words: Chaos; Chuas Circuit; Stability analysis; application prospect.
1、引言
自90年代以来，混沌的发现堪称本世纪继相对论之后的第三次物理学革命，这场革命正冲击和改变着几乎所有的科学和技术领域[1]。
目前，混沌现象及应用时非线性科学研究领域的一个重要热点，由于自然界与人类社会中许多现象都处于混沌的复杂性中，如何对混沌系统行为进行短期预报以成为最令人感兴趣的话题。
由于很多自然现象（股票涨落，天气变化情况)在短期内服从非线性微分方程的混沌现象的规律，所以对混沌现象深入研究的必要性。由电路的易于测量和稳定观察的特点，且混沌现象可用电路加以观察和分析。所以混沌电路的稳定分析不仅在电路领域，而且在整个非线性科学领域都具有深刻意义。在所有的混沌振荡电路中蔡氏电路表现现象最为明显，构造最为简单[2]，它是能够产生混沌行为的最小、最简单的3阶自治电路Chua ’s Circuit[3]被众多研究者所喜爱。蔡氏电路的研究自20世纪80年代开始人们开始研究，已获得不少的控制混沌的方法，例如分岔控制，lypuno指数控制，xx控制，频谱分布控制，但没有确定利用和改变什么来控制电路的稳定。在本文中我将对蔡氏电路进行研究，对蔡氏电路进行动力学方程分析，利用 Fortran PowerStation软件和 origin软件解动力学三阶自治微分方程和绘图，以及不动点稳定性混沌图像，最后揭示蔡式电路中混沌稳定性分析的研究在实践其他复杂的混系统（譬如混沌保密通信混沌扩频通信)的展望。
2、混沌电路的研究方法
2.1、Fortran，origin的介绍
Fortran 是一种在科研中常用的高级计算语言，具有强大的计算功能. 可以利用它对非线性微分方程进行数值求解. 当在LC振荡电路和蔡氏电路中由基尔霍夫定律可以列出三阶自治微分方程. 利用Fortran软件可以对单摆运动进行数值求解,免去了三阶自治方程无法求解的情况。
Origin是一种可以利用数据直接画出二维图像，因此可以配合Fortran计算的数据进行绘图，可以模拟改变蔡氏电路中蔡氏二极管的常数分析相图来确定其稳定性,其结果非常直观、形象，有助于更好的分析蔡氏电路的稳定性。
2.1、分岔图法
分岔原指一种力学状态在临近点处发生的转变、分开或一分为二。在数学上，它是我们研究非线性微分方程当一个参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。物理学中很多问题都是非线性问题，当我们研究一个电学系统在其临界情况的运动时，便可以描绘这个系统的分岔图来了解其变化情况，并做具体分析的方法。这就是分岔图法。
3、混沌电路和蔡氏电路
3.1混沌电路分类
电子混沌电路基本上可以分三类：一是外激励的非线性LC谐振电路；二是模拟微分方程电子电路；三是实际动力学体系的电子模拟电路[4]。在以上的电路中都可以实现从分叉，倍周期到混沌。混沌电路可以进行对股市和天气的短期预测等实际的应用,变形蔡氏电路可以应用于检测微弱信号[5]，蔡氏电路的变形可以模拟神经元[6]，所以蔡氏电路的分析尤为重要
3.2、非线性蔡氏二极管介绍
蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管,可采用多种方式实现。一种较简单的实现电路见图1[7],它相当于两个非线性电阻RN1和RN2的并联。图3给出
RN1和RN2电路及其伏安特性,图2 中：
R2=R3, R5= R6, E1=R1R4 Vsat, E2= Vsat, R1?R2R4?R5
而Vsat是运放的输出饱和电压,
它与运放的工作电源有关。
图1 实现蔡氏二极管的电路
(a) RN1电路 (b) RN2电路 (c) RN1、RN2伏安特性
图2 两个非线性电阻及其伏安特性
适当选取电阻参数值, 使E2远大于E1,也远大于蔡氏电路工作时|VC1|的变化范围, 则在电路的工作范围内, RN2是一个线性负电阻, RN1和RN2并联后可实现非线
性电阻的伏安特性, 其中 E =E1=R1Vsat R1?R2
Ga =-1111– Gb = – R4R1R4R3
图4示出了平衡状态下蔡氏电路的等效电路和求平衡点的图解法, 其中蔡氏二极管的伏安特性及其负载线分别用实线和虚线表示。可见, 当电阻R满足一定条件时, 电路有Q1、Q2、Q33个平衡点。调节R,可改变平衡点的位置及平衡点处系统
的特征值。当电路的平衡点是满足一定条件的鞍焦平衡点时,系统有可能产生混沌[8]。选择电阻R作为可调参数, 调节R的大小, 可观察到蔡氏电路工作于稳定的
平衡状态、周期状态、单涡旋混沌状态及双涡旋混沌状态的情况。
图3 求平衡点等效电路及其图解法
由以上分析可知，该蔡氏二极管满足以下的电流电压的关系如下图：
图4 电流电压的关系图
3.3、蔡氏电路结构和动力学方程
在上节中我们介绍了蔡氏二极管，能够构造成电压与电流的非线性的情况，这节我们用蔡氏二极管构成蔡氏电路和动力学方程。
蔡氏电路包含4个线性元件:1个线性电阻、1个线性电感及2个线性电容,以及1个非线性电阻元件(蔡氏二级管). 电路结构如图1所示,其中非线性电阻及其伏安特性(v2i特性)如图5所示[9].
图5 蔡氏电路结构图
图6 蔡氏二级管伏安特性
根据图1根据欧姆定律可以写出所示电路的3阶微分方程组为?? Cdv1
1dt = G ( v2 - v1 ) - f ( v1)?
??Cdv2 = G ( v?
1
dt1 - v2 ) +il ?
?dil?
Ldt = -v2 式中: ir= f (v1 ) = f (vr) ,它是一个3段线性的分段 线性函数,
? m0v1 + E ( m1 -m0 )vri = f (v?
?v1?Er1) = ?
m1v1v1?E ??m0v1
-E ( m1 -m0 )vr?v1??E可以写成f (v1
1 ) =m0v1+2
(m1 -m0) {|v1 + E| -| v1 - E |}, x =v1 y =vil
2, z =E
α =
c2
c, β =c22 , 1
LG则原微分方程组(1)变为
(1) (2)
(3)
?dx? dt=?( y - x f?x? )
?dy??x?y?z (4) ?dt?dz????y?dt?
式中f(x)对应于分段线性电阻的特性，它可以写为
1 f?x?=x+g?x?=m1x+ (m0-m1) (|x+1 |- |x-1|) 2
若将其分三段来考虑，既有
? m1x+ ( m0 - m1), ?m0xf?x?=??mx-( m - m),101?x?1x?1x??1 (5)
4、在不动点情况下的稳定性分析
4.1、利用Fortran，origin对上面所取数据画图模拟
由于对于对上面的（4)式分析，可见该方程关于原点对称，即当式中坐标（x , y ,z)
12换成（-x, -y, -z)时，方程保持不变，令α=9，β=28，m0=，m1=，进行分岔和77
混沌控制的研究. 在上述参数取值下可得如图6 所示的蔡电路混沌吸引子[10]相图. 0.10a
0.05Uc20.00
-0.05
-0.10
0.4
0.0
-0.4Ib
-0.10-0.050.00Uc10.050.10
图7 蔡氏电路混沌吸引子相图
4.2、稳定控制的数学分析
用图像分析了特殊点的混沌现象，我们采用系统的一个变量和它的比例微分之和进行反馈实现蔡氏电路的分岔与混沌稳定控制, 具体控制方法描述如下: 将方程(4) 的状态变量y 加入其比例微分得
y′= y + k1y, (6)
式中k1 为可调的控制参数,将y′反馈到式(4)中的第1个子系统, 得受控后的系统
方程为
?dx?dt??(y'?x?f?x?)
?dy??x?y?z? (7) dt??dz???y?dt??y'?y?k1y?
f?x? = m1x + (1/2) (m0-m1) (| x +1 | - |x - 1| ) ,
因为在系统不动点处, y=0, 则有y ′= y , 所以受控后系统(7) 式与原系统(4) 式具有相同的不动点. 将(7)式变形得
?x?(?k1??)x??f?x??????k1?y??k1z?y?x?y?z (8) ??z???y?
受控后系统(5) 式在不动点处的jacobian矩阵为:
?( ?k1- ?) - ?f'( xeq)?-?k1?k1?? (9) 1-11J=????0-?0???
在不动点处的特征方程为:
?- ?k1+ ?+ ?f'( xeq) ?k1 -? -?k1
|?I – J|=
-10?+1?-1=0 (10) ?
在上述参数取值下, 系统(4)的两个不稳定的非零不动点为:
(-33, 0,) , 根据劳斯判据, 由(10)式可求出使不动点a1, 22a1 (3, 0,-3 ) , a2 22a2均为鞍点。
4.3、改变初值和蔡氏二极管常数，观察相图变化
4.3.1变初值
由于上述图像和理论分析得到的不动点都为不稳定的鞍点，我们改变初值x0=0.15264，y0=-0.02281，z0=0.38127，再利用Fortran软件和origin软件绘图
看其变化 0.08
0.040.00
-0.04
-0.08
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.10
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.08-0.04-0.050.00Uc1IUc20.050.100.15I0.00Uc20.040.08
图8 改变初值后的吸引子
由图可知改变初值并不严重改变其稳定性，只是得到一些奇怪的吸引子，称为双旋结构。
4.3.2改变蔡氏二极管常数
当改变蔡氏二极管常数，我们其他一切数据不变，仅改变初值m0 = -1.2768, m1=-0.6888，然后利用Fortran软件和origin软件绘图看其变化
我们从3.2节的分析和以上的改变可知：当蔡氏二极管的非线性斜率发生改变时，将会发生混沌性的变化，稳定性遭到破坏。
0.8
Uc2
I0.40.0-0.4-0.86420
-2
-4
-6-3-2-1U0
c1123
4
I0
-4
-0.8-0.4Uc20.00.40.8
图8 改变蔡氏二极管斜率后的吸引子
4.4稳定性总结
由以上的改变初值和改变蔡氏二极管的方式可以看到，在改变初值的过程并不影响方程的解，同时并不影响相图的稳定性。但是在改变蔡氏二极管的斜率时同时会改变方程的解和相图的稳定性，因此在此次分析中，我们要控制蔡氏电路，可以采用通过控制蔡氏二极管的常数或与之相关的量，来控制蔡氏电路的稳定，同时获得相关实际现象的模拟图像。
5、结束语
混沌现象为现在研究的一个前言领域，可以对超出宏观微观的量子力学，相对论之外一种物理探究方式，可以研究股票涨落，天气预报情况，和通信保密方面的应用，在对振荡电路的和蔡氏电路的稳定性分析，我们获得了一种可以改变电路的相图的方法和影响因子和一种利用不变点来分析稳定性的方法，为分析其他的应用和模拟获得了一种探究思路。我们相信在不久的将来混沌现象的应用将会变的很普遍，使人们的生活变得便捷，方便！
参考文献
[1]方锦清.非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景[J].物理学报,1996,16 (1) :1-70
[2]. [4] 陆同兴. 非线性物理概论[M].合肥：中科大出版社,2002 1-56，163-176
[3]Matsumoto T, Chua L O, et al .The double scroll [J].IEEE Trans ,C?S-32(8):797-818
[5]刘鹏,谷志刚.变型蔡氏电路在微弱信号检测中的应用[J].应用科技，2007，5（34)
[6]禹思敏 , 丘水生.混沌系统及混沌神经网络同步的研究，2000, 12 （17)
[7]Michael Peter Kennedy. Three Steps to Chao s2Part ?: A Chuaps Circuit Primer [J]. IEEE Trans on CA S I, 1993, 40(10): 657-674.
[8]Shuisheng Qiu. Refined and extended description of the cell model of chaotic attractors Part ?: theory [J]. J. South China Univ. 2000, 28 (12): 18-23
[9]曹建福,韩崇昭,方洋旺.非线性系统理论及应用[M].西安:西安交通大学出版社, 2001.
[10]Chua L O, Itoh M, Kocarev L , et al. Chaos synchronization in Chua’s circuits [J ]. Journal of
Circuits, Systems and Computers, 1993, 3 (1):93 —108.
安徽师范大学本科生毕业论文（设计)开题报告书
