数学建模一周论文
论文题目：
乒乓球比赛问题
队长1： 学号： 电话： 队员2： 学号：
队员3： 学号：
专 业：
班 级：
指导教师：
2012 年06月10日
摘要 通过对高中数学新教材的教学，结合新教材的编写特点和高中研究性学习的开展，对如何加强高中数学建模教学，培养学生的创新能力方面进行探索。
乒乓球的建模问题可以与数学建模问题联合起来看的，并且利用数学建模解决它。数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。他将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到相应的帮助和指正。他们有以下步骤：
关键词：创新能力；数学建模；研究性学习。
对学生提出新的教学要求，要求学生：
（1）学会提出问题和明确探究方向；
（2）体验数学活动的过程；
（3）培养创新精神和应用能力。
其中，创新意识与实践能力是新大纲中最突出的特点之一，数学学习不仅要在数学基础知识，基本技能和思维能力，运算能力，空间想象能力等方面得到训练和提高，而且在应用数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的，必须要有实践、培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。
一．问题重述
二．模型的合理假设
三．模型建立与求解
四．模型的优缺点分析
五．模型的推广
一、 问题的重述
五局三胜制是乒乓球团体赛常用赛制，一方赢完散场比赛即终止赛事。
1、如何赢得一局比赛？
2
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方；10平后，先多得两分的一方为胜方。
2、攻击次序和方位
在获得两分后，接发球方变为发球方，依次类推，直到该局比赛结束，或直至双方比分为10平，或采用轮换发球法时，发球和接发球次序不变，但每人只轮发1分球。在双打中，每次换发球时，前面的接发球员应成为发球员，前面的发球员的同伴应成为接发球员。在一局比赛中首先发球的一方，在该场比赛的下一局中应首先接发球，在双打比赛的决胜局中，当一方先得5分以后，接发球的一方必须交换接发球次序。一局中，在某一方位比赛的一方，在该场比赛的下一局应换到另一方位。在决胜局中，一方先得5分时，双方应交换方位。
五场三胜制
一、二、四、五场为单打，第三场为双打。
（1）一个队由三名运动员组成，每名运动员出场2次。
（2）比赛顺序是： 主队VS客队 第一场 A —— X 第二场 B —— Y 第三场 C+A或B —— Z+X或Y 第四场 A或B —— Z 第五场 C —— X或Y
（3）在打完前两场比赛后再确定双打运动员的出场名单。
A或B及X或Y如果参加了双打比赛，就不能参加后面的单打比赛；不参加双打比赛的运动员才可以参加后面的单打比赛。
此题是以“五局三胜制”进行乒乓球赛事，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果，所以合理的安排是取得成功的关键，题中所给矩阵也只是打满五局A队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有哪些结果，若站在某队的角度，应采取那种出场方案，对“五局三胜制”进行的乒乓球赛事进行评价。
A、 B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选
手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为 和 ）。根据过去
的比赛记录，可以预测出如果A队以 次序出场而B队以 次序出
场，则打满5局A队可胜 局。由此得矩阵 如下：
（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？
（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？
（3） 如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？
（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的
情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点
乒乓球团体赛的比赛规则如下：从一个队中挑选出的三名比赛队员和一个队长
3
（可由参赛队员兼任，亦可由其他人员专任）组成。比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的 队伍名单。现行的比赛顺序：第一场A—X，第二场B—Y，第三场 C—Z，第四场 A—Y，第五场 B—X。每场比赛为三局两胜制。当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是：A1、A2、A3，乙队挑选出的三名比赛队员分别是：B1、B2、B3，根据以往的历史资料，甲队与乙队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率如表B.1所示。
表B.1：两队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率
队员 B1 B2 B3
A1 0.50 0.55 0.60
A2 0.45 0.50 0.55
A3 0.40 0.45 0.50
你所要完成的问题如下：
1. 甲队教练将如何安排上场运动员的次序，使得本队获胜的概率最大。建立相应的数学模型，并说明你的理由。
2. 如果每一局比赛，A1胜B3的概率改为0.45，A3胜B1的概率改为0.55。在这种情况下，甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序？
某中学将举行乒乓球比赛,小明他们班有5人先进行淘汰赛,选出一人参加学校的决赛,班主任杨老师计算了一下比赛的次数:"嗯,由于5是奇数,所以第一轮有一个队员轮空,第二轮中还得出现一次轮空,一共需要进行4场比赛.选拔出一个队员后,学校共有37个班级参加决赛,也采用淘汰赛,你知道需要多少场比赛吗?你还没有算出来吗?哈哈!还在画表格呀?告诉你吧,每场比赛淘汰一名队员,一共要淘汰36名队员,所以要进行36场比赛.不过,如果你想轻易地算出轮空的次
数却没有这么容易,那么,怎样计算轮空的次数呢?,请看如下的分析:
不知道你注意了没有,如果比赛人数正好是2的幂,那么轮空次数就是0,也就是说,如果比赛人数是2,4,8,16,32等等,就不会出现轮空,如果不是这样类型的数,则至少要有一次轮空.假设有n个队员参赛,如果是奇数,那么第一轮就有一名队员要轮空,从第二轮开始的轮空数与(n+1)/2个队员参赛的轮空数是一样的,所
以这时总的轮空数是: (用L(n)表示n个队员参赛的轮空数)
L(n)=1+L((n+1)/2)
如果n是偶数,那么,第一轮没有轮空,从第二轮开始的轮空数与n/2个队员参赛
的轮空数是一样的,所以有:
L(n)=L((n)/2)
我们可以统一处理以上两个公式:
L(n)=a0+L((n+a0)/2)
其中a0为1或为0取决于n的奇偶性,下面的a1,a2,a3...也一样,假定2k<n<2k+1,并且规定n>=2,因为最后总是冠亚军决赛,所以最后一场比赛总是2名队员.继
续往下推,我们有:
4
L(n)=a0+a1+L(a0/4+a1/2+n/4)
=a0+a1+a2+L(a0/8+a1/4+a2/2+n/8)
=a0+a1+a2+...+ak-1+L(a0/2k+a2/2k-1+...+ak-1/2+n/2k)
k-1 k-1
= ∑as+L(1/2k∑as2s+n/2k)
s=0 s=0
由于最后总有:
k-1
1/2k∑as2s+n/2k=2
s=0
即:
k-1
∑as2s=2k+1-n
s=0
我们看到,L(n)=a0+a1+a2+...+ak-1
所以,只要将2k+1-n化成二进制表示,其系数和就是轮空数,也就是其中1的个数.对于n=37,我们可以算出2k+1-n=64-37=27=11011,其中有4个1,所以共有四次轮空
二、模型的合理假设
乒乓球规则的变化对各种因素的影响进行模糊综合评判。首先进行一定程
度的社会调查，得到一个模糊关系矩阵，再利用模糊数学的综合评判方法进行定量化分析。
乒乓球采用的
21分记分制若改为11分记分制，将对很多方面的因素起影响作用，这就
需要我们进行模糊综合评价。显然，本题的关键是通过调查获取较为客观的数据，通过对数
据的分析建立模糊矩阵
-
（
5
1） 调查对象具有代表性，调查到的数据较严密。
（2） 乒乓球规则的变化只对赛场激烈程度、胜负的偶然性、球员的技术发挥、战术发挥、
心理因素起影响作用。 U:
因素集;
V：评语集;
iu: U
中第i个元素;
iv: V
中第i个元素;
Ri:
模糊关系矩阵;
Si:
第i种乒乓球赛制变化影响的评语得分.
设因素集
U={激烈程度u1，偶然性u2，技术发挥u3，战术发挥u4，心理因素u5}；
评语集V={影响v1，较影响v2，有些影响v3，不大影响v4，毫不影响v5}
。 根据我们的社会调查，得到两个因素论域U与评语论域V之间的模糊关系矩阵为
10.7370.2330.0200.0100
6
0.5670.2830.1230.0270
0.0570.4360.4300.0770
0.2700.4270.2630.0400
0.4730.2770.1500.0530.047
其中
R1为乒乓球21分制3盘2胜改为11
分制5盘3胜的模糊关系矩阵。
R2为乒乓球
21分制5盘3胜改为11分制的7盘4胜的模糊关系矩阵。
又经调查，各个因素u1，u2，u3，u4，u5的权为
A=（0.32 0.028 0.005 0.10 0.25）,
从而两种规则的变化对应的模糊综合评判分别为
110.7370.2330.0200.0100
0.5670.2830.1230.0270
0.320.280.050.100.25
0.0570.4360.4300.0770
0.2700.4270.2630.0400
0.4730.2770.1500.0530.047
现对B1评语进行定量化处理，把
[0，1]区间等分成5份，第i份对应评语集V中的iv元素，
记C1∈[0，1/5）（影响）， C2∈[1/5，2/5）（较影响），C3∈[2/5，3/5）（有些影响），C4
∈[3/5，4/5）（不大影响），C5∈[4/5，1）（毫不影响） 得到一个关于评语的 7
分数向量C=
（C1，C2，C3，C4，C5），从而得分S=1
由于S1低＜
1/5，1/5＜S1高＜2/5，故该影响充其量属于“较影响”。同理，对于乒乓球21
分5盘三胜制改为11分7盘4胜制有： S高
=1
0.0390.1350.1200.0690.030????（
0.039 0.135 0.120 0.069 0.030）1/5
2/5
3/5
4/5
1
由于S2低＜2/5
，2/5＜S2高＜3/5，故该影响总体充其量属于“有些影响”。
本模型计算出乒乓球
21分3盘2胜制改为11分5盘3胜制和21分5盘3胜制改为11
分7盘4胜制影响的模糊综合评判，并在此基础上进行定量化分析。对于前者，我们获得的
评价结果是“较影响”，主要原因是：赛场将变得更加激烈，胜负的偶然性变大，球员的技
术发挥和战术发挥将受到影响。而对于后者，我们获得的评价结果是“有影响”，原因是：
胜负的偶然性不再像前者那样大，主要是个人的实力因素影响。
8
：由于在一局开始时，如果输了球，比分会拉开距离，而每局只有11分，可能
没有追赶时间，因此在开局时尽可能使用“杀手锏”，及时进入状态。球员不仅要尽快适应
新赛制，在训练中进行技术和战术创新，而且要培养稳重的心理素质。
由于我们对问题进行定量分析，所得结果还是客观全面的。但鉴于社会调查的局限性，
调查对象虽在一定程度上具有代表性，但具体上还存在着误差，而调查到的数据由于只靠人
工统计，也存在着误差;乒乓球赛制的变化，对很多方面起作用，不仅仅是假设中提到的因
素，这也存在着误差。
以后如果进行社会调查时，要广泛深入，多参考专家的评价，尽多地利用计算机统计数
据。
又如：
?1?2
?1R??2
?3?2??0?5?133?34??4?1??
当A队以?i次序出场、B队以?j次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概
pij率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并
不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。这样，5局比 9
赛就是一个独立重复试验序列。
比赛实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举。
当A选?1的时候，他能得到2，1，4。为赢1盘，输2盘，赢得总局数为7，最不利情况为1局。
当A选?2的时候，他能得到0，3，4。为赢2盘，输1盘，赢得总局数为7，最不利情况为0局。
当A选?3的时候，他能得到5，3，1。为赢2盘，输1盘，赢得总局数为9，
?3都不利。而对比?2最不利情况为1局。 综上所述，可得，不论B选择什么方案，?1比a?2和
和?3，?3的战况和满意程度都比?2的高。故，A队最稳妥的方案是?3。 同理，B队最稳妥的方案是?1。
三、模型建立与求解
数学应用题如何建模：
建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：
第一层次：直接建模。
根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为： 将题材设条件翻译
成数学表示形式
应用题 审题 题设条件代入数学模型 求解
选定可直接运用的
数学模型 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型 10
中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。
第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数 学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。
根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？
?1?2
?1R??2
?3
?34?? 4?1???2??0?5?133
设?是A队在5局比赛中获胜的局数，显然，?服从二项分布b(5,pij)，概率分布为
P{??k}?C5kpikj(1?pij)5?k，k?0,1,?,5 。
R矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是9种不同的出场次序出现的概率相同，都是9，那么，就可以求出A队在每一局比赛中获胜的局数
A=（2+1+4+0+3+4+5+3+1）/9=2.777778
2.777778大于2.5从每五局比赛来说，A队的实力比B队略微强一些。由五局的实力可得每局获胜的概率分别为2/5，1/5，4/5，0/5，3/5，4/5，5/5，3/5，1/5，我们可以得到这样一个矩阵
11
?0.40.20.8?
P?(pij)??00.60.8? 。
????10.60.2??
比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。
下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率： A队最后获胜，可以分成下列几种情况： （1）A队前三局获胜。这种情况的概率为 pi3j ；
（2）在前三局中A队胜二局，B队胜一局，第五局A队又胜一局。这种情况的概率为
C32pi2j(1?pij)pij?3pi3j(1?pij) ；
（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为
22C4pij(1?pij)2pij?6pi3j(1?pij)2 ；
把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率
qij?pi3j?3pi3j(1?pij)?6pi3j(1?pij)2
?pi3j[1?3(1?pij)?6(1?2pij?pi2j)]?pi3j(10?15pij?6pi2j) 。
?0.40.20.8?
将P?(pij)??00.60.8? 各数值代入上式，可以计算出A队最后获胜
????10.60.2??的一个矩阵
?0.31744Q?(qij)???0
??1
0.057920.682560.68256
0.94208?
0.94208?? 。 0.05792??
矩阵Q中元素qij表示：当A队以?i次序出场、B队以?j次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率（也就是B队最后失败的概率）。
如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ 从矩阵
12
?1Q?(qij)??2
?3
可以看出：
?1?0.31744?0???1?20.057920.682560.68256?30.94208?0.94208??0.05792??
“稳妥的方案”对于B队来说，需考虑最坏的情况，采用出场次序?1时，最坏的情况是A队出场次序?3，B队失败的概率为1，采用出场次序?2时，最坏的情况是A队出场次序?2，?3，B队失败的概率为0.68256，采用出场次序?3时，最坏的情况是A队出场次序?1，?2，B队失败的概率为0.94208，3个失败概率中，0.68256为最小，所以，B队最稳妥的方案是采用出场次序?2。 对于A队来说，采用出场次序?1时，最坏情况是B队采用出场次序?2，A队获胜概率为0.05792；采用出场次序?2时，最坏情况是B队采用出场次序?1，A队
获胜概率为0；采用出场次序?3，最坏情况是B队采用出场次序?3，A队获胜概
率为0.05792。3个获胜概率中，0.05792为最大，所以，A队最稳妥的方案是采用出场次序?1或?3。
若B队采用，?2A队采用?1，则B队获胜，若B队采用?2，A队采用?2?3，则A队获胜。
若A队采用?1，B队采用?1，则B队获胜，B队采用?2，则A队获胜，B队采用?3，则A队获胜。
若A队采用?3，B队采用?1，则A队获胜，B队采用?2，则A队获胜，B队采用?3，则B队获胜。
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如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？
从A队角度来看，采用最稳妥的方案?3时获胜的概率最大
四、模型的优缺点分析
数学应用题的特点
我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：
第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。
第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问 题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。
第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。
比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。
优点：
虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场 14
方案
缺点：
这只是在打满五局的情况下得到的，并不符合实际参赛规格，因此以上处理也仅供参考，但并不能完全凭借。
五、模型推广
针对其他赛事，如网球，排球，以及下棋等，我们也可以采取上述类似的方案，建立相应的模型，从而找到最优解。
建立数学模型应具备的能力：
从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。
1提高分析、理解、阅读能力。 阅读理解能力是数学建模的前提，数学应用题一般都创设一个新的背景，也针对问题本身使用一些专门术语，并给出即时定义。如19xx年高考题第22题给出冷轧钢带的过程叙述，给出了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义， 能否深刻理解，反映了自身综合素质，这种理解能力直接影响数学建模质量。 2强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。
将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。 例如：一种产品原来的成本为a元，在今后几年内，计划使成本平均每一年比上一年降低p%，经过五年后的成本为多少?
将题中给出的文字翻译成符号语言，成本y=a(1-p%)5
3增强选择数学模型的能力。
选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例， 15
以下实际问题所选择的数学模型列表：
函数建模类型 实际问题
一次函数 成本、利润、销售收入等
二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等
幂函数、指数函数、对数函数 细胞分裂、生物繁殖等
三角函数 测量、交流量、力学问题等
4加强数学运算能力。 数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在，忽视运算能力，特别是计算能力的培养，只重视推理过程，不重视计算过程的做法是不可取的。
利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。
加强高中数学建模教学培养学生的创新能力
四、培养学生的其他能力，完善数学建模思想。
由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算
术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键，我认为这就要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想：
（1）理解实际问题的能力；
16
（2）洞察能力，即关于抓住系统要点的能力；
（3）抽象分析问题的能力；
（4）“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力；
（5）运用数学知识的能力；
（6）通过实际加以检验的能力。 只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简，如下例就要用到各种能力，才能顺利解出。
例2：解方程组 x+y+z=1 (1) x2+y2+z2=1/3 (2)
x3+y3+z3=1/9 (3) 分析：本题若用常规解法求相当繁难，仔细观察题设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，即可构造各种等价数学模型解之。
方程模型：方程（1）表示三根之和由（1）（2）不难得到两两之积的和（XY+YZ+ZX）=1/3，再由（3）又可将三根之积（XYZ=1/27），由韦达定理，可构造一个一元三次方程模型。（4）x,y,z 恰好是其三个根
t3-t2+1/3t-1/27=0 (4)
函数模型：
由（1）（2）知若以xz(x+y+z)为一次项系数，（x2+y2+z2）为常数项，则以3＝（12＋12＋12）为二次项系数的二次函
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f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+(x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2为完全平方函数3(t-1/3)2，从而有t-x=t-y=t-z，而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3，也适合（3） 平面解析模型
方程（1）（2）有实数解的充要条件是直线x+y=1-z与圆x2+y2=1/3-z2有公共点后者有公共点的充要条件是圆心(O、O)到直线x+y的距离不大于半径。 总之，只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题，根据当地及学生的实际，使数学知识与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而提高学生的创新意识与实践能力。
数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题 的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。
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