二次函数基础点

（一）、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。        这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

（二）、二次函数的性质

  1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

  2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

（三）、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

练习

1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)(    )
A.      B.       C.     D.

2. 函数y=x²-2x+3的图象的顶点坐标是(   )
  A. (1，-4)    B.(-1，2)     C. (1，2)      D.(0，3)
3. 抛物线y=2(x-3)²的顶点在(   )
A. 第一象限       B. 第二象限     C. x轴上       D. y轴上

 4. 抛物线     的对称轴是(    )

 A. x=-2       B.x=2        C. x=-4         D. x=4
 5. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(　 )
 A. ab>0，c>0         B. ab>0，c<0
 C. ab<0，c>0         D. ab<0，c<0

6. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则点在第__ 象限(     )
 A. 一   B. 二   C. 三     D. 四
 7. 如图所示，已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是(   )
 A. 4+m       B. m       C. 2m-8      D. 8-2m
 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax²+bx的图象只可能是(  )
 

9、  抛物线的对称轴是（    ）

A. 直线                 B. 直线                    C. 直线                 D. 直线

10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(   )
 A.         B.   
 C.      D.
二、填空题

1、下列函数中，哪些是二次函数？

（1）          （2）

（3）   （4）

2、二次函数的图象开口方向    ，顶点坐标是   ，对称轴是    ；

3、当k为何值时，函数为二次函数？画出其函数的图象．

3、函数，当为        时，函数的最大值是           ；

4、二次函数，当           时， ;且随的增大而减小； 

5. 二次函数y=x²-2x+1的对称轴方程是______________.

6. 若将二次函数y=x²-2x+3配方为y=(x-h)²+k的形式，则y=________.

7. 若抛物线y=x²-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.

8. 抛物线y=x²+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.
9、二次函数的对称轴是        ．

10二次函数的图象的顶点是          ，当x      时，y随x的增大而减小．

11抛物线的顶点横坐标是-2，则=     ．

12、抛物线的顶点是，则、c的值是多少？

13．已知抛物线y=﹣x－３x－

（１）  写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（２）  求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；

（３）  画出草图

（４）  观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.

14、（20##年宁波市）如图，已知二次函数

的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。

（1）求这个二次函数的解析式

（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，求点C的坐标

第二篇：中学数学二次函数知识点总结教案

二次函数知识点总结

二次函数知识点：

1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a、b、c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b、c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二次函数的基本形式

y?a(x?h)2?k的性质：

总结：

二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a(x?h)?k，确定其顶点坐标(h,k)； ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：

2

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】 2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成“自变量加减左右移，函数加减上下移”．

二次函数y?ax?bx?c的性质 对称轴为x??

2

b2a

，顶点坐标为(?

b2a

,

4ac?b4a

b2ab2a

2

)

1.当a?0时，抛物线开口向上，． 当x??

b2ab2a

时，y随x的增大而减小；当x??

b2ab

时，y随x的增大而增大；当x??

时，ymin?

4ac?b4a

2

．2.

当a?0时，抛物线开口向下， 当x??

时，y随x的增大而增大；当x??

2a

时，y随x的增大而减小；当x??

y时，

ymax?

4ac?b4a

2

．

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y?ax2?bx?c(a,b,c为常数，a?0)；

2. 顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k为常数，a?0)，其中h??

2

b2a

4a

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

，k?

4ac?b

2

；

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示． 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2)，其中的x1,x2是一元二次方程

ax?bx?c?0(a?

0)的两根．这两点间的距离AB?|x1?x2|?

2

|a|

.

② 当??0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；

2'

当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

2

2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

2