勾股定理知识总结
一：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
二：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：
用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
四：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错 误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，?那么这个三角形是直 角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加 深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
勾股定理练习
一． 填空题：
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。
3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。
4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘 1
米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.
5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”)
6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；??；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。
7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c2＝ ＋ ,
2
cb
第8题图
8．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
二． 选择题：
9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ） A. 6 B.４ C. 64 D. 8 11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ Ａ． １３ Ｂ． Ｃ．１３或 Ｄ． 不能确定
12.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、②④
13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）
A、40 B、80 C、40或360 D、80或360
16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
东
第16题图 2
第14题
三．解答题：
17．如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH
（C）AB、CD、GH （D）AB、CD、
EF
图1
18.(1)在数轴上作出表示 2 的 点.
(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1- 2和 2 +1的点.
19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。
20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
A
A
O ′
第20题图
3
21.如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，
求证：DE：DM：EM=3：4：5。
图5
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
4
第二篇：勾股定理知识点与类题总结(适合打印,供学生复习)
别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30
人教版八年级下册勾股定理全章
类题总结
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC中，∠
AC=7，BC=24，CD⊥AB于（1）求AB的长； （2）求CD的长。
ACB=900
，
B
千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M
B
求出总费用是多少？
L
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高
类型二：面积问题
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,
2
则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。
ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从
点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。 （2）求∠ADC的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD是正方形，
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处
AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影
部分的面积是______.
【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194
25
B
169
牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，
他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分
22
【练习1】已知△ABC的三边分别为m－n,2mn,
类型六：构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：
在
中
，
，
m+n(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
22
，. 求：BC的长.
【练习2】若△ABC的三边a、b、c满足条件
a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.
【练习3】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足
(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）三角形
A.直角 B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为
(a?b)2?c2
?2ab,则这个三角形是( ) 三角形
（A）等边（B）钝角（C） 直角（D）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。
【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
类型七：利用勾股定理作长为n的线段
例1在数轴上表示的点。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为
。
【练习】在数轴上表示的点。
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边
长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是
【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落（ ） A、8，15，17
在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
的长。
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地 毯的长至少需________米．
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分
线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。
【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
类型十：翻折问题