圆 锥 曲 线 知 识 点 总 结

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视.若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支.

如方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）.方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）.

若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）

（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）.方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）.

如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）

（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时.

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上.如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）

（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.

提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，.

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁.

如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：.

（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线.

如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；

5.点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；

（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.

（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；

（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离.

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.

7.焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）

问题： ，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线.      练习：点P是双曲线上上一点，为双曲线的两个焦点，且=24，求的周长.

8.抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝.特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解.

10.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

弦所在直线的方程：                 垂直平分线的方程：

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=.

提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

11．了解下列结论（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）.

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②

（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

12.圆锥曲线中线段的最值问题：

例(1)抛物线C:y²_­=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

 (2)抛物线C: y²_­=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为             .

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小.

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小. 解：（1）（2，）（2）（）

第二篇：高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]_(1)

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

8表示的曲线是_____（）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2y2x2

（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。 abab

若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是___

（2）双曲线：

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?

则C的方程为_______（答：x2?y2?6）

（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时222的双曲线C过点P(4,?)，

x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 22

x2y2

如已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答： m?12?m

（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b。

4.圆锥曲线的几何性质： 22222222

x2y2

（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两ab

个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，

ca2

其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，ac

e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

x2y2如（1）若椭圆，则m的值是__（）； ??1的离心率e?5m5

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__

（2）双曲线；⑥两条渐近线：y??

2bx。 ap,0)，其中p2（3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(

的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

④准线：一条准线x??cp； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。 a2

如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（；

22x0y0x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；abab

2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1 abab

（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；

（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： S?btan

当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线S?

9、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB

2?2?c|y0|，b2tan?2。 如 1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝?

1y1?y2，若弦AB所在直线2k方程设为x?ky?b，则AB

y1?y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计

算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2

在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2； abay0

弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：

11．了解下列结论

13.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R时，距离和最小。 解：（1）（2，2）（2）（1,1） 4

x2

?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C11、

已知椭圆C1的方程为4

顶点分别是C1的左、右焦点。

(1) 求双曲线C2的方程；

19(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为C与直线y?x相切于坐标原点

x2y2

?1与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 0．椭圆2?a9

(1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分14分） Yx2y2

设b>0，椭圆方程为2?2=1，抛物线方2bbF2G程为x=8(y-b).如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴

G，已的平行线，与抛物线在第一象限的交点为

知抛物线在G点的切线经过椭圆的右焦点F1，

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线

图6 OF1BX方程；

（2）设A,B分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必求出这些点的

19.（本小题满分14分）

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为3,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一2

点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程

(2)求?AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l:x??2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直

平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求HO+HT的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜

率k的取值范围。

x2y2

20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?1,0)，且点P(0,1)在C1ab

上．

（1） 求椭圆C1的方程；

（2） 设直线l与椭圆C1和抛物线C2:y2?4x相切，求直线l的方程．