椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭   圆

1.         点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角.

2.         PT平分△PF₁F₂在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7.         椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

8.         椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

,( , ).

9.         设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.     过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A₁、A₂为椭圆长轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF.

11.     AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，     即。

12.     若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

13.     若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

双曲线

1.         点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的内角.

2.         PT平分△PF₁F₂在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.         以焦点半径PF₁为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5.         若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

6.         若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7.         双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.

8.         双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,

当在右支上时，,.

当在左支上时，,

9.         设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.     过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A₁、A₂为双曲线实轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF.

11.     AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.     若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

13.     若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

椭圆与双曲线的经典结论

椭   圆

1.         椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P_1、P₂时A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程是.

2.         过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3.         若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F₁, F ₂是焦点, , ，则.

4.         设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF₁F₂中，记, ,，则有.

5.         若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.

6.         P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F₁,F₂为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

7.         椭圆与直线有公共点的充要条件是.

8.         已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|²+|OQ|²的最大值为;（3）的最小值是.

9.         过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10.     已知椭圆（ a＞b＞0）  ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.

11.     设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

12.     设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .

13.     已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.     过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.     过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.  椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.  椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.  椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

1.         双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P_1、P₂时A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程是.

2.         过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3.         若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F₁, F ₂是焦点, , ，则（或）.

4.         设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF₁F₂中，记, ,，则有.

5.         若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.

6.         P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F₁,F₂为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.

7.         双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.

8.         已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.

（1）;（2）|OP|²+|OQ|²的最小值为;（3）的最小值是.

9.         过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10.     已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.

11.     设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

12.     设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).

(2) .(3) .

13.     已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.     过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.     过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.  双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17.  双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项

第二篇：解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法：

    1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r₁+r₂=2a。第二定义中，r₁=ed₁   r₂=ed₂。

    （2）双曲线有两种定义。第一定义中，，当r₁>r₂时，注意r₂的最小值为c-a：第二定义中，r₁=ed₁，r₂=ed₂，尤其应注意第二定义的应用，常常将  半径与“点到准线距离”互相转化。

    （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

    因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

    3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),弦AB中点为M(x₀,y₀)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

    （1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x₀,y₀)，则有。

    （2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x₀,y₀)则有

（3）y²=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x₀,y₀),则有2y₀k=2p,即y₀k=p.

【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y²_­=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

 (2)抛物线C: y²_­=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为             。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，）

连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y²=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（）

过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y²=4x得x=，∴Q()

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

（1）的最小值为               

（2）的最小值为               

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。

解：（1）4- 

    设另一焦点为，则(-1,0)连A,P

   

当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。

（2）3   

作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a²=4，b²=3，c²=1， a=2，c=1，e=，

∴

∴

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为

例3、动圆M与圆C₁:(x+1)²+y²=36内切,与圆C₂:(x-1)²+y²=4外切,求圆心M的轨迹方程。

分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。

解：如图，，

∴

∴   （*）

∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b²=15轨迹方程为

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。

分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=sinA   2RsinC-2RsinB=·2RsinA

∴

即    （*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=6，2c=10

∴a=3， c=5， b=4

所求轨迹方程为 （x>3）

点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x²上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x₁,x₁²)，B(x₂，X₂²)，又设AB中点为M(x₀y₀)用弦长公式及中点公式得出y₀关于x₀的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设A(x₁，x₁²)，B(x₂，x₂²)，AB中点M(x₀，y₀)

则

由①得(x₁-x₂)²[1+(x₁+x₂)²]=9

即[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]·[1+(x₁+x₂)²]=9  ④

由②、③得2x₁x₂=(2x₀)²-2y₀=4x₀²-2y₀

代入④得 [(2x₀)²-(8x₀²-4y₀)]·[1+(2x₀)²]=9

∴，

    ≥ 

当4x₀²+1=3  即 时，此时

法二：如图，

∴， 即，

∴， 当AB经过焦点F时取得最小值。

∴M到x轴的最短距离为

点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x₁，x₂，从而形成y₀关于x₀的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。

例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防

     

     

此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆中，a²=m，b²=m-1，c²=1，左焦点F₁(-1,0)

则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x²+my²-m(m-1)=0

得(m-1)x²+m(x+1)²-m²+m=0

∴(2m-1)x²+2mx+2m-m²=0

设B(x₁,y₁),C(x₂,y₂),则x­₁+x₂=-

（2）

∴当m=5时，

  当m=2时，

点评：此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x₀,y₀),通过将B、C坐标代入作差，得，将y₀=x₀+1，k=1代入得，∴，可见

当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。

【同步练习】

1、已知：F₁，F₂是双曲线的左、右焦点，过F₁作直线交双曲线左支于点A、B，若，△ABF₂的周长为（     ）

A、4a          B、4a+m          C、4a+2m          D、4a-m

    2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是

                                                                    （     ）

A、y²=-16x     B、y²=-32x        C、y²=16x         D、y²=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（     ）

A、                  B、 

C、            D、

4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是

                                                                （     ）

A、     B、

C、     D、

5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是    

6、抛物线y=2x²截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是         

7、已知抛物线y²=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是

                      

8、过双曲线x²-y²=4的焦点且平行于虚轴的弦长为            

9、直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的交点个数只有一个，则k=                  

10、设点P是椭圆上的动点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，求sin∠F₁PF₂的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，，求直线l的方程和椭圆方程。

12、已知直线l和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：。

【参考答案】

    1、C

，

∴选C

2、C

点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y²=16x，选C

3、D

∵，且

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。

4、A

设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得，∴ 

①又c<a,∴

∴(x-1)²+y²<4 ②，由①，②得x≠-1，选A

5、

左准线为x=-，M到左准线距离为 则M到左焦点的距离为

6、

设弦为AB，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)AB中点为(x，y)，则y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，y₁-y₂=2(x₁²-x₂²)

∴  ∴2=2·2x，

将代入y=2x²得，轨迹方程是(y>)

7、y²=x+2(x>2)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点M(x，y)，则

∵，∴，即y²=x+2

又弦中点在已知抛物线内P，即y²<2x，即x+2<2x，∴x>2

8、4

，令代入方程得8-y²=4

∴y²=4，y=±2，弦长为4

9、

y=kx+1代入x²-y²=1得x²-(kx+1)²-1=0

∴(1-k²)x²-2kx-2=0

①得4k²+8(1-k²)=0，k=

②1-k²=0得k=±1

10、解：a²=25，b²=9，c²=16

设F ₁、F ₂为左、右焦点，则F ₁(-4，0)F ₂(4，0)

设

则

    ①²-②得2r₁r_­2(1+cosθ)=4b²

    ∴1+cosθ=  ∵r₁+r₂，  ∴r₁r₂的最大值为a²

∴1+cosθ的最小值为，即1+cosθ

cosθ， 则当时，sinθ取值得最大值1，

即sin∠F₁PF₂的最大值为1。

11、设椭圆方程为

由题意：C、2C、成等差数列，

∴，

∴a²=2(a²-b²²DDFFF^{2+2222222大案要案  000}),∴a²=2b²

椭圆方程为，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

则① ②

①-②得

^2222222∴

即 ∴k=1

直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x²+2y²-2b²=0得x²+2(x+3)²-2b²=0

∴3x²+12x+18-2b²=0， 

解得b²=12，  ∴椭圆方程为，直线l方程为x-y+3=0

12、证明：设A(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，AD中点为M(x₀，y₀)直线l的斜率为k，则

        ①-②得  ③

设，

则      

④-⑤得 ⑥

由③、⑥知M、均在直线上，而M、又在直线l上 ，

若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立

若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立

若l不过原点且与x轴不垂直，则M与重合

∴

椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭   圆

1.         点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角.

2.         PT平分△PF₁F₂在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7.         椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

8.         椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

,( , ).

9.         设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.     过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A₁、A₂为椭圆长轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF.

11.     AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

12.     若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

13.     若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

双曲线

1.         点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的内角.

2.         PT平分△PF₁F₂在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.         以焦点半径PF₁为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5.         若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

6.         若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

7.         双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F₁，F ₂，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.

8.         双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,

当在右支上时，,.

当在左支上时，,

9.         设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.     过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A₁、A₂为双曲线实轴上的顶点，A₁P和A₂Q交于点M，A₂P和A₁Q交于点N，则MF⊥NF.

11.     AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.     若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

13.     若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

椭圆与双曲线的经典结论

椭   圆

1.         椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P_1、P₂时A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程是.

2.         过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3.         若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F₁, F ₂是焦点, , ，则.

4.         设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF₁F₂中，记, ,，则有.

5.         若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.

6.         P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F₁,F₂为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

7.         椭圆与直线有公共点的充要条件是.

8.         已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|²+|OQ|²的最大值为;（3）的最小值是.

9.         过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10.     已知椭圆（ a＞b＞0）  ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.

11.     设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

12.     设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .

13.     已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.     过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.     过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.  椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.  椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.  椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

1.         双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P_1、P₂时A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程是.

2.         过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3.         若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F₁, F ₂是焦点, , ，则（或）.

4.         设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF₁F₂中，记, ,，则有.

5.         若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF₁是P到对应准线距离d与PF₂的比例中项.

6.         P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F₁,F₂为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.

7.         双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.

8.         已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.

（1）;（2）|OP|²+|OQ|²的最小值为;（3）的最小值是.

9.         过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10.     已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.

11.     设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F₁、F₂为其焦点记，则(1).(2) .

12.     设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).

(2) .(3) .

13.     已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.     过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.     过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.  双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17.  双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.  双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.