椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质：

双曲线的定义、标准方程、图象及几何性质：

抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质：

圆锥曲线的统一定义：

若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。

当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。

1.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）

（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：

（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；

（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

2、焦点三角形问题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。

设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，

（1）在椭圆中， ①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；

（2）对于双曲线的焦点三角形有：①；②。

3．你了解下列结论吗？

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。若，焦点在x轴上，若，焦点在y轴上。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（5）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

(6)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等，即a=b, 从而离心率e=.

（7）抛物线的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为，则 .

以上述焦点弦AB为直径的圆与其准线相切。

8.4 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.

一。直线与圆锥曲线的交点：

    直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

二。直线与圆锥曲线的位置关系：

  判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线的r的方程：F(x,y)=0,消去y得到一个关于x的一元方程。

 即，消去y得

(1) 当a0,则有>0，直线l与圆锥曲线相交；当=0时，直线与曲线r相切；<0时，直线r与曲线r相离。

(2) 当a=0，即得到一个一次方程，则直线l与曲线r相交，此时，若r是双曲线，则直线l与双曲线r的渐近线平行；r是抛物线，则直线r与抛物线的对称轴位置关系是：平行或重合。

注意：开放型曲线（双曲线和抛物线）的特殊性:

①相交：直线与椭圆(圆)相交

     直线与双曲线相交

直线与抛物线相交

②相切：直线与椭圆(圆)相切直线与椭圆(圆)只有一个公共点；

直线与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点；

直线与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点；

三．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。若该弦通过了圆锥曲线的焦点，此时得到的弦也叫焦点弦。当直线的斜率存在时，

弦长

当斜率k存在且非零时，.

8.5  轨 迹 问 题

一．坐标法：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，它解决的主要问题是：

①根据已知条件，求平面曲线的方程； ②通过曲线的方程研究平面曲线的性质。

二．曲线与方程的概念：

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解——纯粹性；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点——完备性；

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系： 

①若曲线C的方程是f(x,y)=0，则：点P₀(x₀,y₀)在曲线C上f(x₀,y₀)=0；

点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上f(x₀,y₀)≠0

②若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则

方程组 有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点。   点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点

三．求曲线方程(动点轨迹方程)的常用方法：

 （1）直接法（直译法）：把题中提供的等量关系直接转换为关于x,y的方程。用此法求轨迹方程的一般步骤是：①建立适当的坐标系，设出动点的坐标；②列出等量关系式；③用坐标将等量关系式化为方程f(x,y)＝0; ④化简方程; ⑤检验曲线完备性、纯粹性（要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x.,y的取值范围）。

 （2）定义法：若动点的轨迹满足常见曲线的定义，则根据定义直接求出轨迹方程。

 （3）待定系数法：已知曲线的类型，如：直线、圆、圆锥曲线等，则可设出含有待定系数的方程，再根据题设中的条件，确定系数，从而求得曲线的方程。

注：求圆锥曲线方程的问题，可按照“先定形，后定式，再定量”的步骤.

定形——指的是二次曲线对称轴的位置与焦点位置。

定式——根据“形”设方程的形式，如：当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)；如果双曲线的渐近线为时，可设方程为.

定量——由题设中的条件求出待定系数的值，从而得到所求的曲线方程。

（4）代入法（相关点法，转移法）动点P随着曲线C上动点Q变化而变化，可考虑此法。其关键是用点P的坐标表示出点Q的坐标，再将Q的坐标代入曲线C的方程，从而得到点P的轨迹方程。

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(5)参数法：有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却容易发现（或经过分析发现）这个动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距，或时间等）的制约，即动点的坐标（x,y）分别随另一个变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程。如果需要得到普通方程，只要消参就可以了。

 （6）交轨法：在求动点时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法常与参数法并用。

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注意：求轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹不但要求出方程，还必须说明所求轨迹的形状、位置、大小等。而求轨迹方程只需求出方程即可。

第二篇：圆锥曲线性质的综合总结

圆锥曲线性质的综合总结

（高三复习用）

                        梁山一中    齐绪浩

一、椭圆的几何性质

二、双曲线的几何性质

三、抛物线的几何性质

*【补充】：一、焦半径：

1、椭圆的焦半径（两条）：椭圆上的点到两个焦点的距离。（利用第二定义可推出）

2、双曲线的焦半径（两条）：双曲线上的点到两个焦点的距离。（利用第二定义可推出）

3、抛物线的焦半径：抛物线上的点到焦点的距离。

二、通径    (过焦点的所有弦中，通经最短。)

1、椭圆的通径：经过焦点，并且垂直于长轴的弦。通径长为

2、双曲线的通径：经过焦点，并且垂直于实轴的弦。通径长为

3、抛物线的通径：经过焦点，并且垂直于对称轴的弦。通径长为