第五章二元一次方程组

2. 求解二元一次方程组（第1课时）

文昌学校     李丽青

一.学生起点分析

学生的知识技能基础：在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组.

学生活动经验基础：有同学间相互交流合作、自主探索的经验，有在活动过程中总结经验、归纳知识点的经验.

二.教学任务分析

《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第二节，要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组，本节体现的消元方法有代入消元法、加减消元法，教材安排了2个课时分别完成.本节课为第1课时.基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想.为此，本节课的教学目标是：

（1）会用代入消元法解二元一次方程组；

（2）了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

本节课的教学重点是：

用代入消元法解二元一次方程组.

本节课的教学难点是：

在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

三.教学过程设计：

本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

第一环节：情境引入

内容：

教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.

设他们中有x个成人，y个儿童，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程和方程的解，从而得知这个解既是的解，也是的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.

提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

目的：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.

设计效果：通过对已有知识的回顾和思考，学生知识获得既感到自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情.

第二环节：探索新知

内容：

回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？ （由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）

解：设去了x个成人，则去了个儿童，根据题意，得：

解得：

将代入,

解得：8－5=3.

答：去了5个成人， 3个儿童.

在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）

1.列二元一次方程组设有两个未知数：x个成人，y个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出个.因此y应该等于.而由二元一次方程组的一个方程，根据等式的性质可以推出.

2.发现一元一次方程中与方程组中的第二个方程相类似，只需把中的“y”用“”代替就转化成了一元一次方程.

教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.

（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将中的①变形，得③，我们把代入方程②，即将②中的y用代替，这样就有.“二元”化成“一元”.

教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.

（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）

解：

由①得：.  ③

将③代入②得：

.

解得：.

把代入③得：.

所以原方程组的解为：

（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误）

下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.

（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）

目的：通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.

设计效果：通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法，从中体会到解方程组中“消元”的本质.

第三环节：巩固新知

内容：

1.例：解下列方程组：

(1)                     (2)

（根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）

 (1)解：将②代入①，得：.

解得：.

把代入②，得：.

所以原方程组的解为：

 (2)由②，得：. ③

将③代入①，得：.

解得：.

将y=2代入③，得：.

所以原方程组的解是

（⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）

（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）

2.思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）

⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？

⑵上面解方程组的基本思路是什么？

⑶主要步骤有哪些？

⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价)

1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.

3.解上述方程组的步骤：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.

第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.

第五步：把方程组的解表示出来.

第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.

4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.

目的：进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.

设计效果：通过本环节的学习，学生能够独立地运用代入消元法解二元一次方程组.

第四环节：练习提高

内容：

1.教材随堂练习（在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）

2.补充练习：用代入消元法解下列方程组：

(1) (2) ⑶

（注：[2]题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为，再将它代入第一个方程，得；[3]题分数线有括号功能；[4]题如果有时间，学生学有余力可作为补充题目.）

目的：对本节知识进行巩固练习.

设计效果：通过练习，巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方法.

第五环节：课堂小结

内容：

师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.

目的：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对 “温故而知新” 的体会，知道“学而时习之”.

设计效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.

第六环节：布置作业

1.课本习题5.2

2.解答习题5.1第3题

3.预习下一课内容

四.教学设计反思

1.引入自然.二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.

2.探究有序.回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅.

3.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想，以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实.

 4.值得注意的方面.在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察归纳能力，提高学生学习能力.

第二篇：7.2解二元一次方程组第二课时教学设计

§7.2.2  解二元一次方程组(二)

一．教学目标

(一)教学知识点

1.用加减消元法解二元一次方程组.

2.进一步了解解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”化归思路.

(二)能力训练要求

1.会用加减消元法解二元一次方程组.

2.根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路——消元.

(三)情感与价值观要求

1.进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐.

2.根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识.

二．教学重点

1.掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤.

2.能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组.

三．教学难点

1.解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想.

2.数学研究的“化未知为已知”的化归思想.

四．教学方法

启发——比较——自主探索相结合.

由一个引例启发学生除可以利用代入消元法可以消去一个未知数，获得问题的解答.通过观察比较可以发现如果某个未知数的系数相反或相同，这时我们就可以依据等式的性质将方程两边相加或相减，从而消去一个未知数，从而更进一步引导学生自主探索解二元一次方程组的加减消元法直至熟练掌握.

五．教具准备

投影片一张：问题串(记作§7.2.2 A).

六．教学过程

Ⅰ.提出疑问，创设问题情景，引入新课

［师］怎样解下面的二元一次方程组呢？

［生1］解：把②变形，得x=  ③

把③代入①，得

3×+5y=21,

解得y=－3.

把y=3代入②，得

x=2.

所以方程组的解为

［生2］解：由②得5y=2x+11  ③

把5y当做整体将③代入①，得

3x+(2x+11)=21

解得x=2

把x=2代入③，得

5y=2×2+11

y=3

所以原方程的解为

［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单.有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元”.那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元”.

［生］我发现了方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y.

［师］很好.这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们就用刚才这位同学的方法解上面的二元一次方程组.

解：

由①+②，得

(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11),

即3x+2x=10,

x=2,

把x=2代入②中，得

y=3.

所以原方程组的解为

［师生共析］一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果.回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见.

［生］我们组认为课本P₁₉₂的随堂练习的(3)(4)小题用加减消元法简单.

［师］你们组能派两位同学有加减消元法把这两个方程组解一下吗？

［生］可以.

(学生黑板板演，接着听其他组讨论的结果)

［生］我们组认为习题7.2.1(2)也可以用加减消元法，我可以到黑板上做.

［生］老师，习题7.2.1(4)把方程组变形后，得也可以用加减消元法.我在黑板上做.

［师］下面，我们讲评一下刚才这几位同学解方程组的方程.(1) (2)这两个方程组中，y的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用了用方程组中的两个方程相加，从而把y消去，将二元转化为一元，最后解出了方程的解，很好.(3)         我们观察此方程y的系数都是1，因此这位同学想到了用②－①,得x=3，代入①就解出y=2.(4)        这位同学将方程组整理，得         由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5.这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组.

［生］老师，我有一个问题：习题7.2的(3)小题，用代入消元法解，较麻烦.用加减消元法解，x、y的系数不相同也不相反，没有办法用加减消元法.是不是还有别的方法.

［师］这个同学提的问题太好了.能发现问题是我们学习很重要的一个方面，同学们应该向他学习.接下来，同学们分组讨论，方程组         不用代入消元法如何解？

［生］老师，我们组想出了一个办法，能不能用等式的性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或相反)呢？

［生］可以.我只要在方程①和方程②的两边分别除以3和4，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.

［生］我不同意.这样做，y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦.我觉得应该找到y的系数－2的绝对值和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得9x－6y=－12③,在方程②两边同乘以2，得8x+6y=－22④,然后③+④，就可以将y消去，得17x=     －34,x=－2.把x=－2代入①得，y=－1.所以方程组的解为

［师］同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺他.其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是象习题7.2.1.(3)题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.下面我们看一个例子.

解方程组

分析：未知数的系数没有绝对值是1的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反.我们观察可以发现，x的系数绝对值较小，因此我们找到2和3的最小公倍数6，然后①×3，②×2，便可将①②的x的系数化为相同.

解：①×3得6x+9y=36  ③

②×2,得6x+8y=34  ④

③－④，得y=2.

将y=2代入①，得x=3.

所以原方程组的解是

［师］我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题：

出示投影片(§7.2.2 A)

(由学生分组讨论、总结)

［师生共析］(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤.

第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数.

第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元.

第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.

Ⅲ.随堂练习

课本P₁₂₆.用加减消元法解下列方程组：

1.解：(1)

①+②，得16x=－16

x=－1

把x=－1代入①，得

y=－5

所以原方程的解为

(2)

②－①，得6y=－18

y=－3

把y=－3代入①，得

x=－2

所以原方程组的解为

(3)

①－②×2得5t=15

t=3

把t=3代入②，得

s=－1

所以原方程组的解为

(4)

①×2－②×3,得－11x=33

x=－3

把x=－3代入①得y=－4

所以原方程组的解为

注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一.

Ⅳ.课时小结

关于二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法我们全部学完了.比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.

Ⅴ.课后作业

1.课本P₁₂₈、习题7.3

2.阅读P₁₂₇读一读·你知道计算机是如何解方程组吗.

Ⅵ.活动与探究

解三元一次方程组：

过程：解二元一次方程组的实质是消元，即通过消去一个未知数，由“二元”变为“一元”，于是我们联想，能否借助解二元一次方程组消元的思路，将三元一次方程组消元，由“三元”消为“二元”，不就是我们刚学过的二元一次方程组吗.我们观察这个方程组②中不含未知数z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一个和②一样只含x,y的二元一次方程④，将②和④联立成二元一次方程组.也就将三元一次方程组消元，由“三元”变为“二元”.

结果：解：由①－③得

－x+2y=8  ④

联立②、④得

由②+④得y=9

把y=9代入②，得x=10

把x=10、y=9代入①得z=7

所以三元一次方程组的解为：

七．板书设计