第一章   函数

第一节:函数

教学目标：1、理解和掌握函数相关概念

          2、掌握绝对值的性质

教学重点：绝对值的性质

教学难点：函数的定义

教学过程：

1、  常量与变量

一个量是变量还是常量是相对而言的

 例如：g

（1）       表示：常量abc  变量xyz

（2）       变量的范围：区间表示

2、  绝对值与邻域

（1）       绝对值

定义：任意实数a的绝对值，用符号|a|表示，定义|a|=

（2）       绝对值的性质

① 

②|x| < k , (k>0)  同理|x-a|<k (k > 0)

③|x| > k , (k>0) x>k 或 x<-k

④

 证明：由性质①可证

⑤

证明：由性质④可证

⑥|a.b| = |a| *| b|

⑦

（3）       邻域

定义：设a与是两个实数，且>0，则满足不等式|x - a|<的全体实数x称为点a的邻域，点a称为邻域的中心，称为邻域的半径

记作：U（a, ）

3、  函数的概念

定义：设A是非空数集，若存在对应关系f，对A中的任何x，按照对应关系f, 对应唯一一个，则称f是定义在A上的函数。

表示：

定义域  值域 自变量 因变量

习惯表示：y=f(x)

（1）函数的定义域

注意符合实际意义；注意一般代数式的有意义

（2）函数相同

定义域相同；表达式

（3）       函数的记号

（4）       函数值

    注意区别与f(x)

例：设f(x+1)=, 求f(x)

解法一：

解法二：

4、  函数的表示

（1）       表格法

（2）       图示法

（3）       公式法（解析法）

5、  几个常见函数

（1）       y=a( 常数函数)

（2）       二次函数

（3）       绝对值函数

（4）       高斯函数

（5）       符号函数

第二节 四种具有特殊性质的函数

教学目标：了解四种具有特殊性质的函数

教学重点：有界函数、单调函数、周期函数、函数的奇偶性。

教学难点：有界函数、周期函数

教学过程：

1、 有界函数

定义：设函数f(x)的定义域为D，区间ID,如果存在正数M，使得与任一xI所对应的函数值都满足不等式|f(x)|M，则称函数f(x)在I上有界。

例1：f(x)=sinx 是有界的

例2：函数f(x)=在（0，1）内无界，在

（1，2）内有界

注意：函数是否有界不仅与函数有关，还与指定的区间有关。

2、 单调函数

定义：设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点,当时，恒有，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的（单调减少的）

   如果时，恒有，则称函数f(x)在区间I上是严格单调增加的（严格单调减少的）

例：高斯函数与符号函数都是单调增加的

3、 奇函数与偶函数

定义：设函数f(x)的定义域是D关于原点对称，如果对于任一恒有f(-x)=f(x),则称函数f(x)是偶函数（奇函数）

4、 周期函数

定义：设函数f(x)的定义域是D，如果存在一个不为零的常数T，使得对于任一有,且f(x+T)=f(x)恒成立，则称函数f(x) 是周期函数，T称为函数f(x)的周期。

最小正周期

例：的最小正周期

解：设所求周期为T

f(x+T)=f(x)

5、习题

第三节 复合函数与反函数

教学目标：1、理解复合函数的构成

          2、了解反函数的定义和性质

教学重点：复合函数的构成

教学难点：复合函数的分解

教学过程：

1、 复合函数

定义：设函数y=f(u)定义在数集B上，函数定义在数集A上，G是A中使的x的非空子集。对G中任意x，按照对应关系，对应唯一一个y，即对G中任意x都对应唯一一个y，于是，在G上定义了一个函数，称为函数与y=f(u)的复合函数。

记作：y=f[(x)]

2、 反函数

定义：设函数y=f(x)，定义域为D，如果对其值域f(D)中的每一个y值，都可以通过关系式y=f(x)在D中有唯一一个确定的x值与它对应，则得到一个定义在f(D)上以y为自变量的函数，称此函数为函数y=f(x)的反函数。

记作：（或

定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是严格单调的，则它的反函数存在且是严格单调的。

例：反正弦函数

由y=sinx 反解出y=Arcsinx是多值的

所以，需要限定原函数的区间使其是单调的。

3、 初等函数

（1）       基本初等函数

幂函数  指数函数  对数函数 三角函数 反三角函数

（2）       初等函数

定义：由基本的初等函数与常数经过有限次的四则运算及复合步骤所构成的，且用一个解析式表示的函数称为初等函数。

4、 习题

本章的复习总结

一、基本知识结构

二、基本方法技巧

三、典型例题

四、巩固提高练习题

五、小结

第二篇：大学数学公式(1)

高等数学复习公式

高等数学公式

导数公式：

(tgx)??sec2x

(ctgx)???csc2x

(secx)??secx?tgx

(cscx)???cscx?ctgx

(ax)??axlna

1(logax)??xlna

基本积分表： (arcsinx)??1?x21(arccosx)????x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2

?tgxdx??lncosx?C

?ctgxdx?lnsinx?C

?secxdx?lnsecx?tgx?C

?cscxdx?lncscx?ctgx?C

dx1x?arctg?C?a2?x2aa

dx1x?a?ln?x2?a22ax?a?C

dx1a?x??a2?x22alna?x?C

dxx?arcsin?C?a2?x2a

?

2ndx2?sec?cos2x?xdx?tgx?Cdx2?sin2x??cscxdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2

In??sinxdx??cosnxdx?

00n?1In?2n

?

?

?x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22

三角函数的有理式积分：

2u1?u2x2dusinx?，　cosx?，　u?tg，　dx? 21?u21?u21?u2

高等数学复习公式

一些初等函数： 两个重要极限：

ex?e?x

双曲正弦:shx?

2ex?e?x

双曲余弦:chx?

2

shxex?e?x

双曲正切:thx??

chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)

11?x

arthx?ln

21?x

三角函数公式： ·诱导公式：

sinx lim?1x?0 x

1

lim(1?)x?e?2.718281828459045...x?? x

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?

22??????

sin??sin??2cossintg??tg?22tg(???)?

1?tg??tg?第 2 页cos 共 ?16 2 cos ???cos????cos页??ctg??ctg??122ctg(???)?

ctg??ctg???????

cos??cos??2sinsin

22

sin??sin??2sin

???

cos

???

高等数学复习公式

高等数学复习公式

·倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?

ctg2??1ctg2??2ctg?

2tg?tg2??1?tg2?

·半角公式： sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??1?3tg2?

sin

tg?2?????cos???cos?　　　　　　　　　　　　cos??2221?cos?1?cos?sin???cos?1?cos?sin???　　ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?

abc???2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC?2 ·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx??

2?arccosx　　　arctgx??

2?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuv

k?0n

?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)uv?????uv???uv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

f(b)?f(a)f?(?)?F(b)?F(a)F?(?)

曲率： 当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

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弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?

平均曲率：K?????:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?s

y????d?M点的曲率：K?lim??. 23?s?0?sds(1?y?)

直线：K?0;

1半径为a的圆：K?.a

定积分的近似计算：

b

矩形法：?f(x)?

a

bb?a(y0?y1???yn?1)nb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2

b?a[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n 梯形法：?f(x)?ab抛物线法：?f(x)?

a

定积分应用相关公式：

功：W?F?s

水压力：F?p?A

mm引力：F?k1

22,k为引力系数 r

b1函数的平均值：y?f(x)dxb?a?a

12f(t)dt?b?aa

空间解析几何和向量代数： b

高等数学复习公式

空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：Prju?cos?,?是u轴的夹角。

????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,

两向量之间的夹角：cos??

i???c?a?b?ax

bxjaybyaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222k??????az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bz

ay

by

cyaz???bz?a?b?ccos?,?为锐角时， czax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

?1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)

2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0

xyz3???1abc

平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?D

A2?B2?C2

?x?x0?mtx?xy?y0z?z0??0???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?

二次曲面：

x2y2z2

12?2?2?1abc

x2y2

2??z（,p,q同号）2p2q

3、双曲面：

x2y2z2

2?2?2?1abc

x2y2z2

2?2?2?（马鞍面）1abc

多元函数微分法及应用

高等数学复习公式

全微分：dz?

?z?z?u?u?udx?dy　　　du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z

全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：

dz?z?u?z?v

z?f[u(t),v(t)]????　

dt?u?t?v?t

?z?z?u?z?v

z?f[u(x,y),v(x,y)]????

?x?u?x?v?x

当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du?

?u?u?v?v

dx?dy　　　dv?dx?dy　?x?y?x?y

隐函数的求导公式：

FxFFdydyd2y??

隐函数F(x,y)?0??2?(?x)＋(?x)?

dxFy?xFy?yFydxdxFyF?z?z

隐函数F(x,y,z)?0??x??

?xFz?yFz

?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u

隐函数方程组：　　　J????GG(x,y,u,v)?0?(u,v)?

?u

?u1?(F,G)?v1?(F,G)???????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)???????yJ?(y,v)?yJ?(u,y)

微分法在几何上的应用：

?F

?v?Fu?GGu?v

FvGv

?x??(t)

x?xy?y0z?z0?

空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)0??

???(t)?(t)??(t0)00?z??(t)

?

在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?

GGGxGx?yzGz?G(x,y,z)?0

曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：

?

1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03??

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与梯度：

Fy

Gy

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0

高等数学复习公式

?f?f?f

函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l?cos??sin?

?l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。

?f??f?

函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?i?j

?x?y

???f??

它与方向导数的关系是?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的

?l

单位向量。?f

?是gradf(x,y)在l上的投影。?l

多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，??

?A?0,(x0,y0)为极小值??2

则：值?AC?B?0时，　　　　　　无极?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???

重积分及其应用：

??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?

D

D?

曲面z?f(x,y)的面积A???

D

??z???z?

1???????y??dxdy?x????

2

2

?

Mx?M

??x?(x,y)d?

D

???(x,y)d?

D

D

,?

MyM

?

??y?(x,y)d?

D

???(x,y)d?

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?,　　对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??

D

?(x,y)xd?

(x?y?a)

2

2

22

Fy?f??3

D

?(x,y)yd?

(x?y?a)

2

2

22

Fz??fa??3

D

?(x,y)xd?

(x?y?a)

2

2

3

22

柱面坐标和球面坐标：

高等数学复习公式

?x?rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?,　　　??????z?z?

其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)

?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??

2? ?r(?,?)

2F(r,?,?)rsin?dr?0????f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d???d??d??002

?1

M???x?dv,　　?

?

?1M???y?dv,　　???1M???z?dv，　　其中M??????dv???转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：?y??(t)?

?L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t?2(t)???2(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)??

高等数学复习公式

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

?x??(t)设L的参数方程为，则：?y??(t)?

?

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?

??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL

两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

?Q?P?Q?P格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy?????x?y?x?yDLDL

?Q?P1当P??y,Q?x??2时，得到D的面积：A???dxdy?xdy?ydx?x?y2LD

·平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：

?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y

(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y

u(x,y)?

(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。

曲面积分：

22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x,y?z(x,y)?z(x,y)dxdyxy????

?Dxy

对坐标的曲面积分：，其中：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy

?

号；??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正

?Dxy

号；??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正

?Dyz

号。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正

?Dzx

两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds

??

高斯公式：

高等数学复习公式

???(

??P?Q?R??)dv?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??

高斯公式的物理意义——通量与散度：

??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，

?因此，高斯公式又可写成：???divAdv?Ands

?????

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??(

??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?

cos?

?

?y

Qcos???zR

dydzdzdxcos?????上式左端又可写成：??????x?y?z?x??PQRP?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无????y?z?z?x?x?y

ijk????旋度：rotA??x?y?z

PQR???向量场A沿有向闭曲线?Pdx?Qdy?Rdz?A?tds

??

常数项级数：

1?qn

等比数列：1?q?q???q?1?q

(n?1)n等差数列：1?2?3???n? 2

111调和级数：1?????是发散的23n2n?1

级数审敛法：

高等数学复习公式

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：

???1时，级数收敛?设：??limun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?

2、比值审敛法：

???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?

3、定义法：

sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：

? ?un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rnrn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；

(2)u1?u2?u3???un??

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(?1)n

调和级数：?n发散，而?n1　　级数：?n2收敛；

?１时发散1　　p级数：?npp?1时收敛

幂级数：

高等数学复习公式

1x?11?x1?x?x2?x3???xn??x?1时，发散

对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x?R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。

x?R时不定

1 ??0时，R?

求收敛半径的方法：设liman?1??，其中an，an?1是(3)??0时，R???n??an????时，R?0?函数展开成幂级数：

f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!

f(n?1)(?) 余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!

f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!

一些函数展开成幂级数：

m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??　　　(?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1??　　　(???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?

欧拉公式：

?eix?e?ix

cosx???2 eix?cosx?isinx　　　或?ix?ix?sinx?e?e

?2?

三角级数：

a0?

f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1

其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。

傅立叶级数： ?

高等数学复习公式

a0?

f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1

??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx　　　????其中??1?b?(n?1,2,3?)?n??f(x)sinnxdx　　　

???

11?2

1?2?2???835　111?2?????24224262

正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?111?21?2?2?2???6234111?21?2?2?2???12234f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??b??0 2?nsinnx是奇函数2?

??0f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?a0??ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

高等数学复习公式

a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l2n?1ll

l?1n?xdx　　　(n?0,1,2?)?an??f(x)cosl?ll?其中?l?b?1f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3?)?nl?l?l?

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。

dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：

dxx

ydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy1?P(x)y?Q(x)dx

?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?

P(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dx?C)e?

dy2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：

?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0?P(x,y)?Q(x,y) ?x?y

?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x)?0时为齐次d2ydy ?P(x)?Q(x)y?f(x)2dxdxf(x)?0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；

2、求出(?)式的两个根r1,r2

高等数学复习公式

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型