数学建模课程论文

【摘要】：本文主要针对依据市场随机信息求解报摊每天的最优订购量问题给出了2个数学模型。模型A主要采用增量分析法，通过对每多订购一份报纸所需的成本或损失与不多订购一份报纸所需的成本或损失进行对比来确定最优订购量。模型B主要采用概率分布方法，列出报摊每天的平均收入即目标函数，将需求量视为连续随机变量求解出使目标函数取得最大值时的最优解。问题二、三是在问题一的基础上求解，适当改变问题一中的成本数值便可求出问题三中的最优解。对模型A和模型B的求解方法均比较简单，主要通过查阅标准正态分布表并加上一些简单的数学计算求解出最佳订购量。

关键词：最优   增量分析  概率分布    查表

一、        问题重述

一个很受欢迎的报摊想决定一下它一天应购入多少份当地的报纸，该报纸的需求量D~N(450, ),这种报纸的购入价为每份35 美分，而售出价为每份50美分，这个报摊从过剩的的报纸上得不到任何价值，因而接受其100%的损失。试求：

（1）：每天应购入多少份报纸？

（2）：这个报摊出现断货的概率为多少？

（3）：该报摊的管理人员考虑到如果断货情况将会影响报摊的信誉，顾客通常来到报摊后还会想要买其他物品，而经常性的断货会令顾客跑到其他的报摊去，该管理人员认为每次断货的信誉成本为50美分，试确定此时订购量以多少为宜？断货出现的概率为多少？

二、模型的假设

假设该报摊报纸的需求量完全服从D~N(450, ),已经包含所有主客观因素，对问题（1）不考虑由于缺货导致的信誉损失。问题(3)中考虑信誉损失时只考虑由于断货造成的信誉损失而不考虑由于老板有事外出歇业等客观因素造成的信誉损失。

三、        符号说明

四、模型的建立与求解

问题一的求解：

模型A：市场需求为随机的库存模型，采用增量法来确定最优订购量。定义如下两种成本：

（1）：高估市场需求量导致的成本,它表示每多订一份报纸并发现它不能卖出时的损失；

（2）：低估市场需求导致的成本，它表示每少订一份报纸并发现它能卖出去时造成的机会损失，即把本来可以赚到的钱而没有赚到看成是一种损失。

本题中易确定；

由于D~N(450, )，.因而在一般情况下，零售商希望优先考虑平均的或期望值下的市场需求量做为订购量，即Q=450份。根据上诉增量分析原理中的成本比较，将Q=450（不多买一份）与Q=451（多订购一份）相应的成本比较列表如下：

 于是易得Q=451与Q=450时的期望损失EL分别为：

这表明，随着Q的增加，相应的EL会增大，可以采用不断减1的分析，比如Q=449,Q=448,…,直到找到一个值，使得每多顶一份报纸的期望损失与不增加时的期望损失相等，即.

而

,

由于

所以

解得

将=35美分；=15美分代入上式可得

再由D~N(450, ),，可得即查表得,解得。

即该报摊依据其市场需求信息每天订购400份当地的报纸为宜。

模型B:

采用概率分布方法建模。报纸每天的需求量D~N(450, ),即

不考虑信誉损失的情况下，报摊每天收入

每天的平均收入（目标函数）

。

通常的取值及Q都相当大，将视作连续随机变量便于计算。此时可设的密度函数为。则

从而

          

令，得

即，又由D~N(450, )得

将b=50美分，a=35美分带入上式，求得

上述方程的解就是的最优值。

问题二的求解：

当该报摊的订购量时，其缺货的概率

问题三的求解：

模型A根据题意，断货产生的信誉成本C=50美分。则由于断货产生的总成本=15美分+50美分=65美分。

则根据问题一的求解模型可得

即，查表得到=0.4，解得=490份

此时

即此时报摊的订购量以490份为宜，断货出现的概率为35%。

模型B此时每少订购一份报纸而发现它可以卖出去的损失为65美分，相当于售出价=100美分，而其他条件不变，则根据问题一得求解

又由D~N(450, )得，求解得=490份。

此时

即此时报摊的订购量以490份为宜，断货出现的概率为35%。

 

五、模型的分析比较

这两个模型都很好的解决了如何依据市场随机需求信息求解单时段，订单的最优订购量问题，这种随机市场需求的单时段库存模型在现实生活中比比皆是。模型思路清晰且求解简单，非常实用。

六、模型的改进与推广

本题中由于当天卖不出去的报纸对管理员没有丝毫用处所以没有考虑库存费用，若是其他的商品，如衣物、游泳衣等可以存放的物品，则还需要考虑其库存费用。

参考文献

【1】       熊德之 张志军，《概率论与数理统计及其应用》第五章   北京：科学出版社，2005

第二篇：数学建模课程论文选题

数学建模 课程论文选题 （附论文格式规范）

A题车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

B题：食品安全问题的定量评估

近年来，地沟油、硫磺姜、回炉面包、三鹿牛奶等食品安全事件频发，食品安全问题似乎是当下中国最热门的一幕丑剧。今年，瘦肉精事件尚未平息，4月，上海染色馒头又像一重磅炸弹引爆全国；随后接棒的则有温州毒馒头、广东墨汁粉条、辽宁毒豆芽等。常年风起云涌的食品安全事件，像一双双粗重的钢琴手，一次次肆虐地撩拨人们敏感的神经。为此，人大常委会建议：把食品安全作为国家安全组成部分，其重要性不亚于金融安全、粮食安全、能源安全、生态安全；加大对违反食品安全行为的惩处力度，以法治的方式维护公民的“食品安全权”；推进食品，尤其是农产品的规模化、产业化生产经验，从根本上保证食品质量；参照科学依据，结合中国国情，制定出全国统一的食品安全检验和认定标准；充分发挥社会组织作用，强化食品生产行业协会的作用，加强行业自律；加强宣传力度，将涉及到食品安全方面的法律法规汇编成册，针对从业者流动性强等特点，加大宣传力度并从严考核；充分发挥社会监督的作用，鼓励全社会共同参与食品安全监督等。

请你们选择感兴趣的关于食品安全问题的某个侧面(比如：食品中污染物的分布，食品安全事件预警，您也可以选择其它方面研究)，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估食品安全问题。

C题 抢渡长江

“渡江”是武汉城市的一张名片。19xx年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

20xx年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。20xx年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

20xx年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃,江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。

请你们通过数学建模来分析上述

情况, 并回答以下问题:

1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大

小和方向不变，且竞渡区域每点的

流速均为 1.89 米/秒。试说明2002

求她游泳速度的大小和方向。如何

根据游泳者自己的速度选择游泳方

向，试为一个速度能保持在1.5

米/起点: 武昌汉阳门 长江水流方向 1160m 终点: 汉阳南岸咀 秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他

(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 19xx年和20xx年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向) ：

?1.47米/秒，0米?y?200米?v(y)??2.11米/秒，200米?y?960米

?1.47米/秒，960米?y?1160米?

游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，

估计他的成绩。

4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如

?2.28?200y，0?y?200

?v(y)??2.28，200?y?960

?2.28?(1160?y)，960?y?1160?200

或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。

5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。

6. 你们的模型还可能有什么其他的应用？

抢渡长江路线图抢渡长江竞赛现场

D题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

1． 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2． 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3． 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4． 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5． 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

E题：体能测试时间安排

某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。

身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。

每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。

学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。

学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。

请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。

最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。

附表参加体能测试的各班人数

F题 地面搜索

5.12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。在其它场合也常有类似的搜索任务。在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。通常，每个搜索人员都带有GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。队伍中还有一定数量的卫星电话。GPS可以让搜索人员知道自己的方位。步话机可以相互进行通讯。卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。

下面是一个简化的搜索问题。有一个平地矩形目标区域，大小为11200米×7200米，需要进行全境搜索。假设：出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为20米，搜索时平均行进速度为0.6米/秒；不需搜索而只是行进时,平均速度为1.2米/秒。每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。

现在有如下问题需要解决：

1．假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务?如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。

2．为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组进行搜索。每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。按照你的搜索方式, 搜索完整个区域的时间是多少?

课程论文格式规范

1. 论文用白色A4纸双面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。

2. 论文第一页为封皮，具体内容和格式见本规范后一页。

3. 论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文，论文不能有页眉。

4. 论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

5. 论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。

6. 提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。

7. 论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。

8. 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：

[编号]作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

[编号]作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为：

[编号]作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

数学建模课程论文

题目：

选择的题号是（从A/B/C/D/E/F中选择一项填写）： 小组成员 (班级学号姓名) （打印并签名）：

1.

2.

3.

4.

二0一三年月 日