导数或微分的计算典型例题

熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有

    （1）利用导数（或微分）的基本公式

    （2）利用导数（或微分）的四则运算法则

    （3）利用复合函数微分法

    （4）利用隐函数求导法则

    例求下列导数或微分：

    （1） 设，求；

    解  利用导数乘法法则

                           

    （2）设，求y¢

    解     

                      =

                           =

    （3）设函数由方程确定，求。

    解   方程两边对x求导，得： 

                                                 

整理得         

                     

    （4）设，求。

    解    因为         

    所以

第二篇：§ 2 导数与微分习题与答案

第二章              导数与微分

（A）

一、填空题

1、设一质点按作直线运动，则质点在时刻的速度=__________，加速度=__________________。

2、设在点处可导，且,,则

。

3、设在可导，且则

。

4、设函数在点处可导，且，则

=__________。

5、设在点处可导，且，则

。

6、若在点处可导且，则。

7、曲线上平行于直线的切线方程为。

8、曲线上点处的法线斜率是___________。

9、若直线是曲线的一条切线，则______________。

10、设为可导的偶函数，，则。

11、函数在处的切线方程是_____________。

12、椭圆上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为_____________。

13、设，则

，。

14、函数在处的切线方程为___________________。

15、设，则=_________________________。

16、设，则=____________________。

17、设，则______________。

18、设，则=__________________。

二、计算题

1、  求曲线上点处的切线方程和法线方程。

2、  讨论函数在处的可导性与连续性：

3、  设函数，，试求：

 1）；2）在处是否连续？3）在处是否可导？

4、  求下列函数的导数

1）；                  2) ；

3）.

5、  求下列函数在给定点的导数值

1），求；      2），求；

3），求。

6、  求下列函数的导数

1）；                        2）；

3）；

4）设，其中存在，求。

5）设，求。

7、  求下列函数的导数

1）由方程，求；

2）由方程确定，求；

3）求由方程确定隐函数导数；

4）设由方程确定，求；

5）已知，求；

6）由确定函数，求；

7）设，求；           8），求；

9）设，求。

8、  求曲线在处的切线方程。

9、  求下列函数的高阶导数

1）设，求；              2），求；

3）设，求；       4）设，求；

5）设，求 ；

6）设，求；           7），求。

10、求下列函数的导数

1）  设，求

2）  设，求，；

3）  已知，求；

4）  设，求，；

5）  设，求；

6）  设，求，；

7）  设，求，。

11、求下列函数的微分

1）  设，求；            2)求dy；

3)，求；     4)求；

5)设，求；             6)，求；

7)，求；

8)设方程确定了是的函数，求。

12、落在平静水面上的石头，产生同心的波纹。若最外一圈波半径的增大率总是，问在末扰动水面面积的增大率为多少？

（B）

1、根据定义，求的导数。

2、判定是否存在：。

3、讨论函数在处的连续性和可导性。

4、求下列函数的导数

1）；             2）；

3） 。

5、设函数和可导，且，试求函数的导数。

6、求下列函数的高阶导数

1），求；              2），求。

7、设函数由方程所确定，求。

8、求下列由参数方程所确定的函数的导数

1），求；

2），求。

10、              求由曲线在相应点处的切线方程和法线方程。

(C)

1、设,求。

2、设，求。

3、，求。

4、，求。

5、求曲线在点处的法线方程。

习  题  答  案

第二章 导数与微分

（A）

一、填空题

1、，；2、-1；3、；4、；

5、1；6、3；7、；8、；9、3；

10、；11、；12、；13、0，1；14、；

15、；16、；17、；18、

二、计算题

1、切线：；法线

2、在处连续且可导

3、1）；2）连续；3）不可导

4、1）；2）；

3）

5、1）；2）、；

   3）

6、1）；2）；

   3）

   4）

   5）

7、1）；2）

3）；4）；5）；

6）；7）；8）；

9）         8、

9、1）；2）；3）；4）；

  5）；6）；

  7）

10、1）；2）；

3) ；4）；

5）；

6）

；

7）

11、1）；2）；

3）；

4）；5）；

6）；

7）；

     8）

12、

（B）

2、提示：用导数定义求在点处的左右导数，，存在。

3、在处连续不可导。

4、1）；2）；3）取对数，

5、提示：与是的复合函数，。

6、1）提示：用莱布尼茨公式，

   2）       7、

8、1）；

   2）

9、切线方程为：；法线方程为。

(C)

1、解：

       

2、解：，从而

3、解：

4、解：

5、解：，

  从而所求的法线方程为：，即