因式分解（难点）

因式分解的定义．

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

 二、熟练掌握因式分解的常用方法．

1、提公因式法

例： （1）＝                       (2)4x²+6xy==                    

（3）＝                  (4)=___________________

（5）=                     (6)                       

（7）写出一个二项式使它们都有公因式2a²b：_____．

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①用平方差公式分解因式

平方差公式：  a²－b²＝（a＋b）（a－b）

例：利用平方差公式因式分解

（1）＝                       （2） ＝                        

（2） ＝                        (4)=________________________

 (5)=__________________    (6)=____________________

针对练习

题型(一)：把下列各式分解因式

1、                  2、               3、 

4、                 5、            6、  

7、             8、           9、  

10、               11、       12、

13、              14、  

15、                    16、

题型(二)：把下列各式分解因式

1、             2、   

3、           4、  

5、         6、  

题型(三)：把下列各式分解因式

1、             2、            3、   

4、            5、           6、  

7、           8、           9、  

10、      11、        12、  

题型(四)：利用因式分解解答下列各题

1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。

2、计算

⑴           ⑵         ⑶

②完全平方公式因式分解

完全平方公式：a²＋2ab＋b²＝（a＋b）²

                a²－2ab＋b²＝（a－b）²

例、利用完全平方公式因式分解

（1）＝                      （2）=                    

（3）＝                     （4）＝               

（5）（6）=_______________

针对练习题

题型(一)：把下列各式分解因式

1、                 2、               3、    

4、                 5、                 6、  

7、                 8、              9、  

10、                11、               12、

13、          14、                  15、  

题型(二)：把下列各式分解因式

1、              2、  

3、             4、  

5、               6、  

题型(三)：把下列各式分解因式

1、       2、      3、  

题型(四)：把下列各式分解因式

1、                  2、  

3、                   4、  

5、             6、  

题型(五)：利用因式分解解答下列各题

1、已知：    

2、 

3、用十字相乘法把二次三项式分解因式

例

                           

用十字交叉法分解

                               

综合练习

一、选择题。

1、下列从左到右的变形是分解因式的是（　　）

    A、（x+1）（x﹣1）=x²﹣1       B、

    C、x²+x+=（x+）²        D、3x²﹣6x²+4=3x²（x﹣2）+4

2、下列各式从左到右的变形错误的是（　　）

A、（y﹣x）²=（x﹣y）² B、﹣a﹣b=﹣（a+b）C、（a﹣b）³=﹣（b﹣a）³     D、﹣m+n=﹣（m+n）

3、下列各式分解正确的是（　　）

    A、12xyz﹣9x²y²=3xyz（4﹣3xy）       B、3a²y﹣3ay+3y=3y（a²﹣a+1）

    C、﹣x²+xy﹣xz=﹣x（x+y﹣z）     D、a²b+5ab﹣b=b（a²+5a）

4、在多项式x²﹣4x+4，1+16a²，x²﹣1，x²+xy+y²中，是完全平方式的有（　　）

    A、1个     B、2个C、3个     D、4个

5、把（a+b）²﹣c²分解因式的结果为（　　）

A、（a+b﹣c）（a﹣b+c）         B、（a+b+c）（a+b﹣c）

C、（a+b+c）（a﹣b﹣c）         D、（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）

6、如果a²+8ab+m²是一个完全平方式，则m的值是（　　）

    A、b²       B、2b     C、16b²     D、±4b

7、若xⁿ﹣81=（x²+9）（x+3）（x﹣3），则n等于（　　）

    A、2       B、4    C、6      D、8

8、对于多项式（1）x²﹣y²；（2）﹣x²﹣y²；（3）4x²﹣y；（4）﹣4+x²中，能用平方差公式分解的是（　　）

    A、（1）（2）       B、（1）（3）    C、（1）（4）      D、（2）（4）

9、若a+b=7，ab=10，则a²b+ab²的值应是（　　）

    A、7       B、10      C、70      D、17

10、对于任意整数m，多项式（m+7）²﹣m²都能被（　　）整除．

    A、2       B、7     C、m     D、m+7

二、填空题。

11、把一个多项式化为　              　的形式，叫做把这个多项式分解因式．

12、分解因式：2x²﹣18=　                 　．

13、若9x²+mxy+16y²是一个完全平方式，则m=             ．

14、﹣9x²+3xy²﹣12x²y的公因式是　          ．

15、分解因式：（a+b）²﹣6（a+b）+9=　            　．

16、计算：2003²﹣2002×2003=　               　．

17、若x+5，x﹣3都是多项式x²﹣kx﹣15的因式，则k=　         　．

18、计算5.76²﹣4.24²=               　．

19、若y²+4y﹣4=0，则3y²+12y﹣5的值为            　．

20、分解因式的结果是　                   　．

三、解答题。

21、分解因式：

（1）﹣21a²b+14ab²﹣7ab；                        （2） 6x³﹣24x；

（3）p（x﹣y）+q（y﹣x）；                       （4） （x﹣y）²﹣（y﹣x）

22、分解因式：

（1）2m﹣2m⁵；                          （2）；

（3）x³﹣2x²+x；                        （4）（m+2n）²﹣6（m+2n）（2m﹣n）+9（n﹣2m）²

23、已知：，求的值。

24、 已知：，求的值。

25、若是三角形的三条边，求证：

附加：立方和、立方差公式 

第二篇：初二数学上册(人教版)第十四章整式的乘法与因式分解14.3知识点总结含同步练习及答案

初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解

一、学习任务

1. 了解因式分解的含义及它与整式乘法的区别与联系．

2. 掌握因式分解的几种方法，能够熟练准确把一个多项式进行因式分解．

二、知识清单

因式分解

三、知识讲解

1.因式分解

描述：因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积，且每个整式不能再化成几个整式的积的过程叫做因式分解（factorization），也叫做分解因式．

因式分解的基本的方法

① 提公因式法

多项式各项都有的一个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）．

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即 ma+mb+mc=m(a+b+c) ．② 公式法

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．平方差公式法： a2?b2=(a+b)(a?b) ；完全平方公式法： a2+2ab+b2=(a+b)2，a2?2ab+b2=(a?b)2 ．

③ 十字相乘

拆项法的一个变形，就是 (cx+a)(dx+b)=cdx2+(ad+cb)x+ab 的逆运算．

例如：因式分解 cdx2+(ad+

cb)x+ab ．

十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．④ 分组分解法

分组分解的目的就是在分组后能提取公因式或用公式、十字相乘，然后再分解，常见的四项式有两种方式：一、三分组和二、二分组．

分解因式：（待定系数法） x?x?5x?6x?4 ．

解：设原式

=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

a+c=?1,???∴?ac+b+d=?5, ??ad+bc=?6,?bd=?4.a=1,???解得 ?b=1,??c=?2,?d=?4.

四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学kuailexue.com）

1. 因式分解 (x?1)2?9 的结果是 (

A．(x+8)(x+1)

答案：B)B．(x+2)(x?4)D．(x?10)(x+8)C．(x?2)(x+4)

解析：7．B 解析：(x?1)2?9=(x?1)2?32=(x?1+3)(x?1?3)=(x+2)(x?4)．

)

B．?1

D．2×20042?12. 计算 20042?2003×2005 的结果是 (A．1

C．0

答案：A

解析：20042?2003×2005=20042?(2004?1)?(2004+1)=20042?(20042?1)=1.

)

C．m2?nD．m2?2m+13. 下面的多项式中，能因式分解的是 (

A．m2+n

答案：DB．m2?m+1

解析：根据分解因式的方法,首先是提公因式,然后考虑用公式,如果项数较多,要分组分解,本题给出四个

选项,问哪个可以分解,对照选项中的多项式,试用所学的方法分解.就能判断出只有D项可以. m2?2m+1=(m?1)2 故选D.

4. 把代数式 x3?8x2+16x 分解因式，下列分解结果正确的是 (

A．x(x+4)2

答案：B)C．x2?4x(2x?4)B．x(x?4)2D．x

2(x?8)+16x

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