20##年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版）

（八下前情回顾）※平行四边的定义：两组对边分别       的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。

※平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的       相等，       互补。（3）平行四边形的          互相平分。

※平行四边形的判别方法：（1）两组对边分别       的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边        且        的四边形是平行四边形。

（4）两条对角线互相       的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

第一章  特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

菱形的定义：一组       相等的平行四边形叫做菱形。

※  菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质。

              （2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的两条对角线互相         。

（4）菱形的每一条对角线平分一组对角。

（5）菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：（1）一组邻边相等的            是菱形。

（2）对角线互相     的平行四边形是菱形。

（3）         都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质。

（2）矩形的对角线           。

（3）矩形的四个角都是        。

（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴。

※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

（2）对角线          的平行四边形是矩形。

（3）         都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的        线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定

正方形的定义：有一个角是直角，且有一组        相等的平行四边形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：（1）有一个角是直角，且有一组       相等的平行四边形是正方形。

（2）邻边相等的       是正方形；

（3）对角线相等的       是正方形；

（4）对角线           的矩形是正方形。

（5）有一个内角是直角的       是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第二章  一元二次方程

1认识一元二次方程

※只含有      个未知数的整式方程，且都可以化为              （a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

※把                      （a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

2用配方法求解一元二次方程

①配方法 <即将其变为的形式>

※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成1；

③把常数项移到方程的右边；

④两边加上一次项系数的一半的平方；

⑤把方程转化成的形式；

⑥两边开方求其根。

3用公式法求解一元二次方程

②公式法   （注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式）

4用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法  把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘法”）

5一元二次方程的根与系数的关系

※根与系数的关系：当b²-4ac        0时，方程有两个不相等的实数根；

当b²-4ac        0时，方程有两个相等的实数根；

当b²-4ac        0时，方程无实数根。

※如果一元二次方程的两根分别为x₁、x₂，

则有        ，         。

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x₁、x₂的对称式的值，特别注意以下公式：

①     ②      ③

④          ⑤ 

⑥      ⑦其他能用或表达的代数式。

（3）已知方程的两根x₁、x₂，可以构造一元二次方程：

（4）已知两数x₁、x₂的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根

6应用一元二次方程

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

※处理问题的过程可以进一步概括为：

第三章  图形的相似

1成比例线段

一. 线段的比

※1. 如果选用同一个           量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成

※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.

※3. 注意点:

①a:b=k,说明a是b的k倍;

②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;

③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;

④除了a=b之外,a:b≠b:a, 与互为倒数;

⑤比例的基本性质:若, 则ad=bc; 若ad=bc, 则

2平行线分线段成比例

※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的       线段成比例.

     如图2, l₁ // l₂ // l₃,则.

二. 黄金分割

※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果            ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 。

※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.

3相似多边形

¤1. 一般地，       相同的图形称为相似图形.

※2. 对应角        、对应边         的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

※1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.

※2. 对应角        、对应边        的三角形叫做相似三角形.相似三角形           的比叫做相似比.

※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于       .

※5. 相似三角形周长的比等于        .

※6. 相似三角形面积的比等于              .

※相似多边形的周长等于          ；面积比等于           .

4探索三角形相似的条件

※1. 相似三角形的判定方法:

※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

     如图2, l₁ // l₂ // l₃,则.

※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

5相似三角形的判定定理的证明

6利用相似三角形测高        

7相似三角形的性质      

8图形的位似

第四章  投影与视图

A）三视图 

? 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 

? 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等. 

? 虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成      线，看不见部分的轮廓线通常画成     线. 

B）投影 

? 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. 

? 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为        投影。 

?  在同一时刻,物体高度与影子长度成比例. 

? 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影. 

? 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称

为        投影 

? 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是         投影。

C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。 

.  眼睛所在的位置称为视点，

.  由视点发出的光线称为视线，

.  眼睛看不到的地方称为盲区

第五章  反比例函数

知识点1 反比例函数的定义

一般地，形如         （k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：

⑴     是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是         的一切实数，函数值的取值范围是        ；

⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

①（），

②（），

③（定值）（）；

⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会有与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是由反比例函数系数k的     决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知k___0。

☆反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，

则

☆  反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。

☆  双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。

第六章  概率的进一步认识

用树状图或表格求概率

相关知识点链接：

频数与频率

频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，

频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。

【知识点1】频率与概率的含义

在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即

把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。

【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率

在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。

我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

【知识点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）

第二篇：20xx年新北师大版八年级下册数学知识点预习__复习[1]

八年级下册数学知识点预习

第一章 证明（二）

一、全等三角形的判定及性质

1性质：全等三角形对应 相等、对应 相等

2判定：? 分别相等的两个三角形全等（SSS);

? 分别相等的两个三角形全等(SAS)

? 分别相等的两个三角形全等(ASA)

④ 相等的两个三角形全等(AAS)

⑤ 相等的两个直角三角形全等（HL）

二. 等腰三角形

1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.

2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．

3. 推论：等腰三角形 、 、 互相重合（即“ ”）．

4. 等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 ；等边三角形是轴对称

图形，有 条对称轴.

判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.

三.直角三角形

1. 勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的 等于 的平方．

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ．

2. 含30°的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 等于 的一半.

3.直角三角形斜边上的中线等于 的一半。

要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜

边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．

②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法．

四. 线段的垂直平分线

1. 线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到 的距离相等.

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 .

2.三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

五. 角平分线

1. 角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到 的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.

2. 三角形三条角平分线的性质定理xK b1 . C om

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组

一. 不等关系

1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做

2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是 的关系;不等式表示的是 的关系.

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0

非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0

二. 不等式的基本性质

1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向 ,即:

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向 ,即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, ab?. cc

(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 ,即:

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, ab? cc

2. 比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)

一般地:

如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,那么a<b;

即：a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0

(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

三. 一元一次不等式组解集

一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)

第三章 平移和旋转

一.图形的平移

1. 概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2. 性质：（1）平移前后图形全等； （2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。

二.图形的旋转

1. 概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

2. 性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等．

三.中心对称新- 课- 标- 第 -一- 网

1.概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2. 基本性质：

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3. 中心对称图形

（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那

么这两个图形成中心对称。

图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比

第四章 分解因式

一. 分解因式

第四章 因式分解

一．因式分解的定义

1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

二. 提公共因式法

1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. X k B 1 . c o m

如: ab?ac?a(b?c)

三. 运用公式法

1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

2. 主要公式:

(1)平方差公式: a2?b2?(a?b)(a?b)

(2)完全平方公式: a?2ab?b?(a?b) 222

a2?2ab?b2?(a?b)2

第五章 分式

一. 分式

1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.

整式A除以整式B,可以表示成

意一个分式,分母都不能为零.

AA的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任BB

2. 整式和分式统称为有理式,即有: 有理式??整式

?分式

3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. AA?M?,BB?MAA?M?BB?M(M?0)

4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.

二. 分式的乘除法

1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

即: ACACACADA?D?????, ? BDBDBDBCB?C

2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.

An?A?即: ???nB?B?n(n为正整数) nnAn?A?An?A?逆向运用n???,当n为整数时,仍然有???n成立. BB?B??B?

3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

三. 分式的加减法

1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

2. 分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

上述法则用式子表示是:ABA?B?? CCC

(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;

上述法则用式子表示是:

四. 分式方程

1. 解分式方程的一般步骤:

①去分母，在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

ACADBCAD?BC???? BDBDBDBD

②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根, 必须舍去.

2. 列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意; ②设未知数;

③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;

④解方程,并验根; ⑤写出答案.

第

6章 四边形

【几个重要结论】

1．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．正方形同样如此。

2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

3．直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半．