结构优化设计－基于结构分析技术，在给定的设计空间实现满足使用要求且具有最佳性能或
最低成本的工程结构设计的技术
优化设计的三要素:设计变量;约束条件;目标函数
凸域:基于n维空间的区域s里，如果取任意两点x1和x2，连接这两点的线段也属于s，该
区域称凸域（ =αx1+(1-α)x2 ）
凸函数:如果函数f(x)定义在n维空间的凸域s上，而且对s中的任意两点x1和x2和任意常
数α,0.0<=α<=1.0,有f[αx1+(1- α)x2]<=αf(x1)+(1- α)f(x2),则f(x)称为s上的凸函数
严格凸函数:上式小于严格成立
凸规划:如果可行域是凸域，目标函数是凸函数，这样构成的数学规划问题为凸规划问题。
准则设计法:依靠工程经验;效率高;缺乏严格数学基础
最优准则法基于库塔克（K-T）条件:需构造迭代求解算法;通用性不强
数学规划方法:有严格的数学基础，有较好的通用性，计算效率要考虑。
结构优化问题的求解布骤
I. 建立优化模型。给定初始设计方案。
II. 结构分析(有限元）
III.优化（收敛性）检验。满足则结束程序，否则继续IV
IV. 灵敏度分析
V. 求解优化问题，修改结构模型，返回II。
优化求解的两大类方法：准则法；数学规划法
准则设计方法：用优化准则代替原来的优化问题
同步失效准则设计的评价：
{优点：简单、方便，特别是独立约束个数n=m时；工程实用；适合于构件设计。
缺点：只能处理简单构件设计；缩小了设计空间，不能保证最优解；若n < m ，可能无解；当n > m时，确定哪些破坏模式应同时发生比较困难。
改进： 为了弥补等式约束代替不等式约束的缺陷，引入松弛因子ψi
σ i (X ) =ψ iσ ip , 0 ≤ψ i ≤1, i =1,2,......n
启发：用准则代替原来的优化问题，准则法的基本思想；如果将桁架的每根杆看作一种可能
的破坏模式，桁架看作一个元件。可以得到满应力准则
满应力方法的缺点：完全无视重量会漏掉最轻设计；中间点一般是不可行设计，对工程实际不利。希望得到可行的中间设计点。
齿形法：采用射线步进行可行性调整，适用于桁架一类刚度与设计变量成正比的结构。
将所有设计变量同时乘以一个常数ξ：Ani =ξA io}
线性函数都是凸函数，线性规划是凸规划。
满应力法的评价：
{优点：简单，概念易于接受，收敛快（特别适合大型结构优化）；对于大多数实际工程结构，满应力解往往很接近于最优解；在有位移、频率等约束时，应力比方法（处理应力约束）也可以与其他方法混合使用；应力比方法也同样适用于膜单元，对于梁、板、柱结构，有推广的近似满应力步和射线步来寻求满应力设计；满应力法的基本思想?用一种准则来代替原来的严格的数学规划，在结构优化中得到广泛的应用和推广。
缺点:满应力解可能不是最优解；简单的应力比方法可能产生振荡，不收敛；迭代次数与超静定情况有关，正常结构迭代少，内力重分布严重的结构迭代次数多；}
射线步结合满应力设计的应力比方法：
K-T条件：几何意义：在极值点，目标函数的负梯度应该为所有约束梯度向量的线性组合。
K-T条件静定问题迭代法（单个位移约束，重量最小，面积有下限）
1. 给定初始设计Ak进行结构分析，求得实荷载与虚荷载的内力分布
2. 划分主被动变量Dn，被动变量一律取下限
3. 计算被动设计变量对重量位移贡献：Wp,ujp
4. 计算“最优”重量W*
5. 计算主动变量断面积分布Ak ，
6. 将Ak和面积下限比较，决定新的主被动变量， 将新的主被动变量
划分D’与Dn比较，如果不相同， Dn= D’返回3),否则结束迭代
K-T条件超静定问题迭代法（单个位移约束，重量最小，面积有下限）
1. 给定初始设计，k=0
2. 进行结构分析，求得实荷载与虚荷载内力分布Si,Sjiv，计算：
3. 根据Aik值和的条件，划分主被动变量Dn，被动变量一律取下限
4. 根据迭代公式计算新的主动设计变量值
a) 计算被动设计变量对重量位移贡献：Wp,ujp
b) 计算“最优”重量W*,λk
c) 计算主动变量面积分布Aik+1 ，并和面积下限比较，决定新的主被动变量
d) 将Aik+1的主被动变量划分D’与Dn比较，如果不相同， Dn= D’返回a),否则进入5）
5. 比较|Aik+1-Aik|<ε,则计算结束，否则以Aik+1作为初始设计返回2）
准则法的优缺点： 优点：收敛速度快且与问题规模无关
缺点：迭代算法较难构造
第四章
准则法是从结构力学原理出发，建立一些最优准则，从而寻求用解析形式表达的结构设计参数，或者通过直观的迭代运算决定结构各单元的截面参数
特点：计算量小，通用性差，依赖具体问题
数学规划法是从解极值问题的数学原理出发，运用数学规划中的各种方法，求得一系列设计参数的最优解。它直接针对如下数学模型
特点：通用性好，不依赖具体问题，计算量大
线性规划：单纯形法 二次规划：兰姆克算
无约束非线性规划：无约束最优化算法：
0阶算法：0.618法，单纯形法，Powell法，智能和仿生类算法
一阶算法：最速下降法(梯度法），共轭梯度法，二分法，弦切法
二阶算法：牛顿法及其改进
约束非线性规划算法：1：转化法——罚函数法
2：直接法：（1）与无约束优化算法对应（2）可行方向法（3）最佳矢量法
3：序列近似规划算法（SLP,SQP)
最速下降法的计算步骤：1. 选择初始解x(0)
2. 求出▽f (x(k)), 并取-▽f(x(k))为探索方向
3. 求步长α(k),使函数值有最大下降（一维函数优化）
4. 得到k+1次迭代的变量值
5.判断收敛否？如收敛，停机；否则令k=k+1,返回2
最速下降法的评价：从局部看，最速下降法是目标函数值下降最快的方向，但全局看，相邻两个搜索方向为正交，因此迭代路径出现锯齿现象，收敛速度并不是最快的。
适用范围：前期迭代，或间插步骤，接近最小点时并非有利。
牛顿法的计算步骤：1. 选择初始解x(0)；2. 计算▽f (x(k))；3. 计算H-1k；4. 进行迭代计算；5.判断收敛否？如收敛，停机；否则令k=k+1,返回2
牛顿法的特点：
1）变量值离最优点接近时，收敛
快，但是较远时，不一定；
2) H-1 不存在，算法无法进行；
3) H-1 存在，但不正定，不能保证下
山方向；
4) 由于步长固定，可能f(x(k+1))>f(x(k))
5) 需要计算H-1 ，计算量大。
改进：
1) 先采用最速下降法，后用牛顿法；
2) 转向最速下降法，用d(k)=-▽f(x(k))
3) 如果(d(k))T▽f(x(k))>0, d(k)= - d(k)，
如果(d(k))T ▽f(x(k))=0, 转向最速下
降法；
4) 采用阻尼牛顿法
5）拟牛顿法。
两种罚函数方法的共同特点：
1 方法简单, 易编程
2 对目标函数和约束函数要求不高
3 求一系列无约束优化问题, 计算量大
4 tk不断增大，rk,不断减小, 造成函数病数值求借困难.
外罚函数法：
优点: (1)既能处理不等式，又能处理等式 (2)初始点是任意的，不要求可行
缺点: (1)中间点不可行 (2)导数间断
内罚函数法：
优点: 中间点可行
缺点: （1） 初始点要求可行，对复杂问题难以做到
（2）要控制步长，以免走到可行域外
（3）不能处理等式约束
遗传算法：是模拟自然选择及自然遗传过程的一种搜索最优解的方法。
基本遗传算法的组成：（1）编码（产生初始种群） （2）适应度函数
（3）遗传算子（选择、交叉、变异） （4）运行参数
运行参数：（1）M ： 种群规模 （2）T ： 遗传运算的终止进化代数
（3）Pc ： 交叉概率 （4）Pm ： 变异概率
第二篇：大连理工大学化工机械总结
