经济数学基础12期末复习指导

第一部分 课程考试的有关说明

（一） 考核对象 本考试范围适应对象是广播电视大学财经、管理各专业的学生。

（二） 命题依据 本课程的命题依据是中央广播电视大学经济数学基础课程教学大纲要求。内容包括微积分（不含多元函数）和线性代数（不含行列式）两部分。教材是由黎诣远主编的《经济数学基础》和李林曙等编的《跟我学经济数学》（均由高等教育出版社出版），另外还配有《经济数学基础速查卡》和《经济数学基础CAI课件》等辅助教学媒体。

(三) 命题原则 本课程的考试命题在教学大纲规定的教学目的、教学要求和教学内容的范围之内。

(四) 试题类型及结构

试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题，解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。

试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2。

微积分和线性代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比与它们在教学内容中所占的百分比大致相当，微积分约占三分之二，线性代数约占三分之一

1. 填空题（每小题3分，共15分），

2. 单项选择题(每小题3分，共15分)，

3. 微积分计算题 （每小题10分，共20分），

4. 线性代数计算题（每小题15分，共30分），

5. 应用题（20分），微分或积分部分的题。

答题时限。本课程期末考试的答题时限为90分钟。

第二部分 题型讲解

(一)单项选择题应试

单项选择题是电大考试的常见题型，尤其是注册视听生的考试，单项选择题占40％，所以，认识，学会解单项选择题是挺重要的．

单项选择题的特点是题量大，知识的覆盖面宽，信息量多，答案也告诉了大家，应试时间短．目的是考核同学的基本概念、基本的知识和极简单的计算的掌握程度和熟练程度．常用方法有

1. 直接推导法就是按照题目的已知条件或结论，采用常规的解题程序，运用概念、定理、法则等，经过分析或计算，得出正确结果，推出正确选项．如

1??1?23?2?46?2???02?4?2??的秩是( ) 矩阵A＝?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

求矩阵的秩，就是将矩阵化为阶梯形矩阵，数一数有几个非0行．容易看出，矩阵的第1行的(－2)倍加到第2行上，第2行变为0行，可见矩阵的阶梯形有2个非0行．故选项（C）正确．

2. 排除法 （筛选法或淘汰法）

由已知条件和选项，通过观测、分析或简单计算，把不可能成立的选项排除，剩下的选项为应选的选项．排除法有完全排除法和部分排除法．而常用的是部分排除法，缩小选择范围，再配合其它方法．如

某商品的需求弹性为 Ep＝－bp(b>0) 那么当价格p提高1％时，需求量将会( )

减少bp (B) 增加bp (C) 增加bp% (D) 减少bp%

需求弹性是需求量的相对变化和价格的相对变化比的极限，带负号．而实际意义也是价格提高，需求量会减少．故增加的两个选项应该排除，在选项(A)和(D)中选一．

又需求弹性是两个相对量的比，因此，当价格p提高1％时，需求量的减少量也应是百分比．选项(A)被排除，选项（D）正确．

3. 验证法

把所给选项的结果，一一代入题设条件进行验证，或验算已知条件是否满足选项，从而得到正确选项．如 积分2x2?dx＝( )

12x?112x2?C2?C2x?1?C (D) ln2(A) 22x＋C (B) ln2 (C) ln2?2

xxee因为只有的导数或积分才是(+C)，现在的指数底是“2”，故选项(A)排除．将选项(B)求导，得

12x?12(2?ln2)?22x

ln2，可见应该选 (B)．

线性方程组部分的单项选择题，判断选项是不是解，用验证法也较好．

单项选择题在考试中占有较大比例，也的确是，单项选择题看来很简单，只有2分，但是解题的方法很多．要求大家对单项选择题引起足够的重视．

(二)填空题应试

填空题也是考核同学们的基本概念、基本理论和基本计算的掌握程度．填空题的解题方式比较单纯，一般采用直接思考的方法．填空题相当一个命题，要么填条件，要么填结论，当然，也可能填写中间某个过程．要求大家记好定义、定理、公式、法则以及重要结论等．

如曲线y=x3－2x+1在点(0，1)处的切线的斜率

切线斜率即导数的几何意义．故先求导数，再将值代入．导数y?＝3x2－2，当x=0时，y?=－2．曲线y=x3－2x+1在点(0，1)处的切线的斜率是 －2

这是个简单计算题，当然填空题与概念密切相关．

(三)计算题应试

计算题是电大考试的重要题型，计算题的分数所占比重也比较大．它主要考核同学的基本的运算能力和速度．这就需要大家多做习题，提高自己的计算能力．当然，在做计算题的过程中，概念清楚、定理和公式记熟是很重要的．

计算题主要集中在(1) 极限计算;(2) 求导数 (包括求简单的二阶导和一阶偏导数(注册视听生不要求)；(3) 积分计算 (包括不定积分、定积分和微分方程)；(4) 概率计算 (事件的概率，随机变量取值的概率和正态分布的概率和期望、方差的计算)；(5) 矩阵的计算 （加法、数乘、乘法、转置、求逆矩阵、求秩等）；(6) 求解线性方程组 （线性方程组解的情况判别、求线性方程组的一般解）．我们学习了四编的内容，各编的计算题都有自己的特点和解题方法．辅教材中“跟我学解题”的[分析]、[归纳]基本上是对习题特点的分析和解题方法小结．另外，附录的“解题方法和应答分析”对解题方法做了一些归纳，大家应该认真阅读．

(四)应用题应试

应用题主要考核同学运用所学的概念、理论、公式和法则，分析和解决实际问题的能力．应用题主要指微积分部分的应用题：如求平均成本最小、收入最大、利润最大和平面曲线围成图形的面积等；

用数学方法解决应用问题，首先建立数学模型，即列数学表达式．通常有(1) 审清题意(2) 确定变量 有自变量、因变量（目标函数），这一步很重要，变量设准了，列关系式，解方程就会变的简单．(3) 列表达式 根据题意，把自变量和因变量所设的符号，用数学的运算符号连接起来，得到方程式．(4) 求一阶导数 令一阶导数为0，解方程求驻点.(5) 判断 判断(4)的解是否为所求最值(最大或最小）．

应用题带有综合性，前边讲过的知识和解题方法，都应该是做应用题的前提，把它们掌握好．

(五)证明题应试

证明题考核同学运用概念、性质、定理及重要结论等进行论证和逻辑推理的能力．我们这课所涉及的主要证明题方面有：1. 函数的基本性质证明，如函数的奇偶性等；2. 函数在某点处是否连续、可导的证明；3. 定积分的等式的证明 ；4. 事件独立性，随机变量期望、方差的有关证明；5. 矩阵可逆、可交换，特殊矩阵的证明；6. 线性方程组解的证明.

证题方法．一般有二：其一：是验证．由计算结果，代入看是否满足等式．其实是计算题．如给定函数，验证函数的导数满足某等式其二，由已知条件出发，分析、推断，最后得到结论；或由结论入手，经过分析，运用已知条件，推出所求结论．写出证明过程．

证明题常常遇见证明“充分必要条件”的问题，

必要条件是某结论成立必须具备的条件，但不是充分的；充分条件是某结论的完备条件，即此条件成立，则结论必成立．如期末考试，“参加考试”是“考试通过”的必要条件，要想“考试通过”就必须参加考试，但参加考试，不一定就能通过．“得100分”是“考试通过”的充分条件．但“考试通过”不一定必须得100分．“考试通过”的充分必要条件是“得60分”．

任何一门学科，解决问题的方法一般没有一成不变的固定方法．题目类型五花八门，解题方法也是各式各样．学习方法不能靠记下来，一劳永逸．而是理解实质，要掌握好各种解题方法，唯一方法是多做练习，

不断总结，增强记忆．

第三部分 复习重点及例题

重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数;

导数概念，极限、导数和微分的计算。

函数的极值及其应用??最值问题。

不定积分、原函数概念，积分的计算。

积分在几何问题与经济分析中的应用及微分方程的解法。

矩阵概念，矩阵乘法运算，可逆矩阵及逆矩阵求法，矩阵的秩，初等行变换。

线性方程组，有解判定定理和解法。

例题:

一.填空题

?x?2,?5?x?0f(x)??2?x?1,0?x?2的定义域是 1．函数

。 2．已知某商品的需求函数为q = 160 – 2p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 。

(x?a)y?e,g?a?cosx，则y(g)? 。 3．若2

x?sinx?x??x4. 。 lim

?x2?1?f(x)??x?1?a?5. 已知x?1x?1，若f(x)在(??,??)内连续，则a? 。

2y?3(x?3)6. 函数 的单调减少区间是 。

7．函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为 。

??8. 已知f(x)?ln(1?x)，则f(0)= 。

?0.2pq?500e9. 设某产品的需求量q为价格p的函数，且，则需求对价格的弹性为

。

10. 如果?f(x)dx?cos5x?C, 则f'(x)? 。

11. ?f(x)dx?(2x?1)2?c，则f(x)? 。

x?x?1

12. 若?f(x)dx?1?c

，则f(x)? 。 de

xln(x2?1)

13. d?1dx? .

14．?0x

??e3dx 。

?102?

A???a03?

15. 设??1?

?23??，当a? 时，A是对称矩阵。

16.设A,B为两个已知矩阵，且I?B可逆，则方程A?BX?X的解X?

17. 线性方程组AX?b的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

?12010?

???051?11?

?00d?5?

?00??

则当d 时，方程组AX?b有无穷多解。

A??

18.当a 时，矩阵?13???1a??可逆。

?12???300???2??

?011???0

19．计算矩阵乘积??

??1??= 。 。

?x1?x2?0?x??x2?020.当?? 时，齐次方程组?1有非0解.

二、单项选择题

1. 列函数中，（ ）不是基本初等函数。

11xy?y?()y?2x D． y?ln(x?1) 2 C． A． B．

???x?0?x?3,?f(x)??2x,0?x?2

?ln(x?2),2?x????2．若函数，则( )成立。

A．f (-1) = f (0) B．f (0) = f (1) C．f (-1) = f (3) D．f (-3) = f (3)

f(x)?1?

3.已知sinxx，若f(x)为无穷小量，则x的趋向必须是（ ）。

A. x??? B. x??? C. x?1 D. x?0

4. 曲线y?sinx在点(0, 0)处的切线方程为（ ）。

1

A. y = x B. y = 2x C. y = 2x D. y = -x

5. 若f?(x0)?0，则x0是f(x)的（ ）。

A. 极大值点 B. 最大值点 C. 极小值点 D.驻点

6．下列定积分中积分值为0的是（ ）。

x?x1e?eex?e?x

xx???1?122 A． B． 1

C．????(x3?cosx)dx D．????(x2?sinx)dx

?xdx?7. =（ ）。

2

? A．? C．

1

01

(1?x)dx

?+?+

2

12

(1?x)dx(x?1)dx

? B．? D．

1

01

(x?1)dx(x?1)dx

?+?+

2

12

(x?1)dx(1?x)dx

(1?x)dx

101

? 8.微分方程y?y的通解是y?（ ）。

x2x?x

y?e?c 0.5x?cceceA. B. C. D.

9. 设A,B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ ）。

?1

A．AB?B B．AB?BA C．AA?I D．A?I

?120?3?A??00?13?

????24?1?3??，则r(A) =（ ）10．设。

A．4 B．3 C．2 D．1

11.线性方程组AX?0只有0解，则AX?b(b?0)（ ）。 A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解

12.当（ ）时，线性方程组AX?b(b?0)有唯一解，其中n是未知量的个数。 A. 秩(A)?秩() B. 秩(A)?秩()?1 C. 秩(A)?秩()?n D. 秩(A)?n,秩()?n?1 三、解答题 1．设 y

?xxx?lnx，求dy．

x?2．已知f(x)?2sinx?lnx，求f(x) ．

dy

ydxy?y(x)y?1?xe3. 设函数由方程确定，求x?0。

ysiny?xe?0确定y是x的隐函数，求y?(x). 4. 由方程

5.设某工厂生产某产品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），且已知需求函数q?100?2p（其中p为价格，q为产量），这种产品在市场上是畅销的.

试分别列出该产品的总成本函数C(p)和总收入函数R(p)的表达式；

（2） 求使该产品利润最大的产量； 答案：当产量为为q?45单位时，利润最大

（3） 求最大利润.

q2

C(q)?180?20q?q20（万元）6．已知某厂生产件产品的成本为．问：要使平均成本最少，应生产多

少件产品？

1

0?7.xcos?xdx

1 ex

?0(1?ex)2x

8．

9.?ln30ex(1?ex)2dx

10.生产某产品的边际成本为 C?(x)?8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)?100?2x（万元/百台），其中x为产量，问：

(1) 产量为多少时，利润最大？

(2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

11 设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元。又已知需求函数q?2000?4p，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并

求最大利润.

xy??y?

12.求微分方程xlnx的通解.

?63??12??102????120??4?1??，计算(AB)-1． ?，B =?13.设矩阵 A =?

??2?3???1?X??3??2?4????． 14 ．解矩阵方程

?1?1?2?2A???30??2115.求矩阵210?4?20??6?11??421?的秩

16.已知线性方程组AX?b的增广矩阵经初等行变换化为

1??1?16?3?A????01?330???00??6??00?

问?取何值时，方程组AX?b有解？当方程组有解时，求方程组AX?b的一般解.

17..当?取何值时，线性方程组

18.求解线性方程组 ?x1?x2?x3?1??2x1?x2?4x3????x?5x3?1?1 有解？并求一般解.

?x1?x2?2x3?x4?1??2x1?x2?2x3?3x4?2

?x?3x?x?2x?0234?1

第二篇：电大经济数学基础期末复习指导小抄版(精)[1]

经济数学基础

第一部分　  微分学

一、单项选择题

1．函数的定义域是（     且）

2．若函数的定义域是[0，1]，则函数的定义域是(         )．

3．下列各函数对中，（ ，）中的两个函数相等．  

4．设，则=（     ）．

 5．下列函数中为奇函数的是（           ）．

 6．下列函数中，（不是基本初等函数．

 7．下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的．   

8. 当时，下列变量中（ ）是无穷大量．

 9. 已知，当（ ）时，为无穷小量.

10．函数 在x = 0处连续，则k = ( 1)．

 11. 函数 在x = 0处（右连续 ）．

12．曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）． 

13. 曲线在点(0, 0)处的切线方程为（y = x ）．

14．若函数，则=（ ）．

15．若，则（ ）．

16．下列函数在指定区间上单调增加的是（e ^x）．

17．下列结论正确的有（x₀是f (x)的极值点   ）．

 18. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为E_p=（ ）．   

二、填空题

1．函数的定义域是   [-5，2]

2．函数的定义域是(-5, 2 )

3．若函数，则

4．设函数，，则

5．设，则函数的图形关于y轴对称．

6．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6

7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q ²

8. 　　1　　.

9．已知，当       时，为无穷小量．

10. 已知，若在内连续，则　2  .

11. 函数的间断点是

12．函数的连续区间是    ，，

13．曲线在点处的切线斜率是   

14．函数y = x ² + 1的单调增加区间为(0, +)

15．已知，则= 0

16．函数的驻点是

17．需求量q对价格的函数为，则需求弹性为

18．已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性E_p =  

三、极限与微分计算题

1．解  = =  =       

2．解：= 

          = 

3．解  =    

                     ==22 = 4 

4．解  =

                      = = 2 

5．解 

                    

6．解  =     

          =

7．解：(x)== 

                =

8．解 

9．解  因为

    所以    

10．解  因为  

                

所以             

11．解  因为  

                

所以          

12．解  因为  

                

所以          

13．解 

            

14．解：

                        

15．解  在方程等号两边对x求导，得

           

                

          

故                  

16．解  对方程两边同时求导，得

          

          

          =.

17．解：方程两边对x求导，得                 

           

当时，

    所以，

18．解  在方程等号两边对x求导，得

            

                      

                    

                             

故                              

四、应用题

1．设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,

求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本；

   （2）当产量为多少时，平均成本最小？

1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

，      

    所以，

          ，

             

    （2）令 ，得（舍去）

因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小.  

       

2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）

2．解  （1）成本函数= 60+2000．

    因为  ，即，

    所以  收入函数==()=．  

    （2）因为利润函数=- =-(60+2000)

= 40--2000

且            =(40--2000=40- 0.2

令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点．

所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？

3．解   （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(20##-4p)

             =250000-400p

        R(p) =pq = p(20##-4p)= 2000p-4p ²                        

利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p ² -250000，且令       

         =2400 – 8p = 0

得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.  

（2）最大利润 （元）．

4．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q²（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？

4．解  （1）由已知

利润函数 

则，令，解出唯一驻点.

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，    

（2）最大利润为

   （元）

5．某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

5. 解  因为 ==  （）             

            ==                 

    令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.

=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.   

    所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为

                ==176  （元/件）

6．已知某厂生产件产品的成本为（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？

6．解 （1） 因为  ==            

         ==         

    令=0，即，得=50，=-50（舍去），

    =50是在其定义域内的唯一驻点．

    所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．

   

第二部分　  积分学

一、单项选择题

1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x² + 3 ）．

2. 若= 2，则k =（1）． 

3．下列等式不成立的是（ ）．    

4．若，则=（）.

5. （ ）．                  

6. 若，则f (x) =（ ）．

7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是()．  

8．下列定积分中积分值为0的是（）

 9．下列无穷积分中收敛的是（）．

10．设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（350 ）．

11．下列微分方程中，（     ）是线性微分方程．

12．微分方程的阶是（1）.

二、填空题

1．

2．函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数)

3．若，则

4．若，则=

5．0

6．0

7．无穷积分是收敛的（判别其敛散性）

8．设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + ．

9. 是　　2      阶微分方程.

10．微分方程的通解是

三、计算题

⒈ 解  

2．解

3．解 

4．解  = 

                      =  

5．解  == =  

6．解   

7．解  ===     

8．解  =-==

9．解法一   =  

              =＝=1                                

   解法二    令，则

            = 

10．解  因为  ，        

    用公式     

                    

由   ， 得

    所以，特解为         

11．解  将方程分离变量：    

等式两端积分得            

将初始条件代入，得 ，c =      

所以，特解为：         

12．解：方程两端乘以，得

即

       

两边求积分，得  

    通解为：    

    由，得

    所以，满足初始条件的特解为：               

13．解  将原方程分离变量             

     两端积分得  lnlny = lnC sinx       

  通解为         y = e^{C sinx}                 

14. 解  将原方程化为：，它是一阶线性微分方程，

        ，

用公式  

           

           

15．解 在微分方程中，

由通解公式 

16．解：因为，，由通解公式得

            

          = =

          =     

四、应用题

1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

1．解  当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

          == 100（万元）         

又  = =     

令  ， 解得.

 x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

2．已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

2．解  因为边际利润

        =12-0.02x –2 = 10-0.02x      

    令= 0，得x = 500                   

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.

    当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

         =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

3．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？          

3. 解  (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x                 

令(x)=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.             

    又     

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.

4．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

4．解：因为总成本函数为

           =         

当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18

即         C(x)=      

    又平均成本函数为         

令 ， 解得x = 3 (百台)

该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

            (万元/百台) 

5．设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：

    (1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

5．解：(1)  因为边际成本为 ，边际利润 = 14 – 2x

令，得x = 7      

由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.          

 (2)  当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为

       =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）

即利润将减少1万元. 

第三部分  线性代数

一、单项选择题

1．设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（AB     ）可以进行.

2．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（

3．设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（秩秩秩 ）．

4．设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（）

5．设是可逆矩阵，且，则（ ）.

6．设，，是单位矩阵，则＝（）

7．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（AB = AC，A可逆，则B = C ）成立.

8．设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（）．

9．设，则r(A) =（ 2  ）．

10．设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1  ）．

11．线性方程组 解的情况是（无解）．

12．若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（）时线性方程组无解．

13． 线性方程组只有零解，则（可能无解）.

14．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（无解）．

15．设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（只有零解）．

二、填空题

1．两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是与是同阶矩阵

2．计算矩阵乘积= [4]

3．若矩阵A = ，B = ，则A^TB=

4．设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式

5．设，当0时，是对称矩阵.

6．当时，矩阵可逆

7．设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解

8．设为阶可逆矩阵，则(A)=

9．若矩阵A =，则r(A) =2

10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解

11．若线性方程组有非零解，则-1

12．设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于n – r

13．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为  (其中是自由未知量)

14．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

则当时，方程组有无穷多解.

15．若线性方程组有唯一解，则只有0解

三、计算题

    1．设矩阵，，求．

2．设矩阵 ，，，计算．

    3．设矩阵A =，求．

    4．设矩阵A =，求逆矩阵．

    5．设矩阵 A =，B =，计算(AB)^-1．

    6．设矩阵 A =，B =，计算(BA)^-1．

    7．解矩阵方程．

8．解矩阵方程.         

9．设线性方程组

               

讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.

    10．设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.

    11．求下列线性方程组的一般解：

    12．求下列线性方程组的一般解：

    13．设齐次线性方程组

问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.

    14．当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.

15．已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为

问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解.

 三、计算题

1．解  因为 =

                   ==

所以  ==   

2．解：=

                 = =  

3．解 因为 (A  I )=

                

             

    所以  A^-1 =             

4．解  因为(A  I ) =

     

                     

    所以 A^-1=         

5．解 因为AB ==  

         (AB  I ) = 

                 

所以  (AB)^-1=    

6．解  因为BA==  

         (BA  I )= 

                  

所以    (BA)^-1=     

7．解  因为

        

即          

所以，X ==        

8．解：因为  

即                      

    所以，X ===

9．解  因为  

              

所以当且时，方程组无解；

    当时，方程组有唯一解；

    当且时，方程组有无穷多解.       

10．解  因为

            

         

所以 r(A) = 2，r() = 3.      

又因为r(A) ¹ r()，所以方程组无解.                

11．解  因为系数矩阵

      

    所以一般解为  （其中，是自由未知量） 

12．解  因为增广矩阵

         

所以一般解为    （其中是自由未知量） 

13．解  因为系数矩阵

           A =  

所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为

  （其中是自由未知量）         

14．解  因为增广矩阵

            

                      

    所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：

                     是自由未知量〕    

15．解：当=3时，，方程组有解.       

    当=3时，   

    一般解为， 其中, 为自由未知量.        

四、证明题

四、证明题

1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA．

1．证  因为A^T = A，B^T = B，(AB)^T = AB           

 所以  AB = (AB)^T = B^T A^T = BA

  

2．试证：设是n阶矩阵，若= 0，则．

2．证  因为

               = ==    

  所以    

3．已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求  

3. 证  因为，且，即

，

得，所以是可逆矩阵，且.

4. 设阶矩阵满足，，证明是对称矩阵.

4. 证  因为

                 ==

所以是对称矩阵.

5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．

5．证  因为 ，且

              

                      

     所以 AB＋BA是对称矩阵．