排列与组合
1、排列与排列数
“排列”的定义包含两个基本内容：一是“取出元素；二是“按一定的书序排列。
“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是所有排列的个数，是一个数值。
或
（其中m≤n m,nÎZ）
全排列、阶乘的意义；规定 0!=1
2、组合与组合数
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m个元素合成一组”，它是一件事情，不是一个数；（隐含n≥m）
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数”，它是一个数值。
基本公式：
或
组合数公式具有的两个性质：（1）
常用的等式：
（3）
（由二项式定理知）
证明：∵
又 
∴
∴ 
＝
+
．
式（1）说明从n个不同元素中取出m个元素，与从n个不同元素中取出n-m个元素是一一对应关系，即“取出的”与“留下的”是一一对应关系；
式（2）说明从a，b，c……（n+1个元素）中取出m个元素的组合数可以分为两类：第一类含某个有元素（），第二类不含这个元素（）
要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关
排列问题的主要题型
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．
第一部分
1、⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
2、7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
3、7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
4、从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
5、⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？
⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？
⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？
6、⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？
⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？
7、用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．
⑴ 第114个数是多少？
⑵ 3 796是第几个数？
8、用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴ 能被25整除的数有多少个？
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
9、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
10、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
11、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？
变题2： 5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？
变题3： 5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？
12、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本；
⑵ 分为三份，每份两本；
⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
13、身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
14、⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？
15、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
16、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
17、平均分组问题除法策略
6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
18、重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
19、排列组合混合问题先选后排策略
有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
20、小集团问题先整体后局部策略
用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,
５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
第二部分
一．选择题
1、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有 （ ） （A）90种 （B）180种 （C）270种 （D）540种
2、从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）
A．1320 B．960 C．600 D．360
3、20个不加区别的小球放入编号为1号，2号，3号三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数，则不同的放法总数是 （ ）
（A）760 （B）764 （C）120 （D）91
4．从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （ ）A．
B．
C．
D．
5．编号1，2，3，4，5，6的六个球分别放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有 （ ）
A．20 B．40 C．120 D．480
6．如果一个三位正整数形如“
”满足
，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （ ）
A．240 B．204 C．729 D．920
7．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( )
A．234 B．346 C．350 D．363
8．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数( )
A．
B．
C．
D．
9．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( )
A． 12 种 B． 24 种 C 36 种 D． 48 种
10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有
A．210种 B．420种 C．630种 D．840种
11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( )
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
12．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）
A．48 B．36 C．28 D．12
13．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，设映射
，使集合B中的元素在A中都有原象，这样的映射个数共有 （ ）
A．16 B．14 C．15 D．12
14．ABCD—A1B1C1D1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第
段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是
A．1 B．
C．
D．0
15. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为( )
A.480 B.240 C.120 D.96
16.从1，2，3，4，5，6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( )
A
B.
C.
+
D.
17.有7名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )
（A）240 （B）192 （C）96 （D）48
二．填空题
1．五个不同的球放入四个不同的盒子，每盒不空，共有____ 种放法。
2．8个人坐成一排，现调换3个人的位置，基余5 人位置不动的调换方法数为____ 。
3．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派 1人，则这9个名额的分配方案共有____ 种.（用数字作答）
3.有四个好友A, B, C, D经常通电话交流信息, 已知在通了三次电话后这四人都
获悉某一条高考信息, 那么第一个电话是A打的情形共有________ 种.
4.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，
每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方
法共有___________种.（以数字作答）
5.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要
安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不
同的出场安排共有_____种（用数字作答）。
6.要将n+1个不同的小球放入n个不同的盒子，有____种不同的放法不出现空盒子？
8．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有_____________种.
9.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）
10.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.（用数字作答）
11. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有_____种？
12.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1 个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有__________种.（用数字作答）
13. 6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有______种不同的分配方法
将
名大学生分配到
个企业去实习，不同的分配方案共有________ 种
如果每个企业至少分配去
名学生，则不同的分配方案共有______种。
第三部分
高考再现
1.（北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
（A）
（B）
（C） 
（D）
2.（湖北文数）6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．
B. 
C. 
D.
3.（四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）
（A）36 （B）32 （C）28 （D）24
4.（四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ） （A）72 （B）96 
（C） 108 （D）144
5.（全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
6.（湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作
之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能
胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B.126 C.90 D.54
7.（重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）
（A）30种 （B）36种 （C）42种 （D）48种
8.（全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
9.(湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A.10 B.11 C.12 D.15
10.（重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
11.（天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点
涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
12.（全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
13.（浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.
14.（江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。