离散数学作业3

离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。

一、填空题

    1．设集合，则P(A)-P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A´ B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}             ．

2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为  1024    ．

3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

则R的有序对集合为　{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}      　．

4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系

R＝

那么R^－1＝{<6,3>,<8,4>}

    5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是　没有任何性质　　．

6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素　{<c,b>,<d,c>} 　，则新得到的关系就具有对称性．

7．如果R₁和R₂是A上的自反关系，则R₁∪R₂，R₁∩R₂，R₁-R₂中自反关系有    2    个．

8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|xÎA，yÎA, x+y =10}，则R的自反闭包为  {<1,1>,<2,2>}           ．

    9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>           等元素．

10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是  {<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>}  　．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则

(1) R是自反的关系；              (2) R是对称的关系．

解：（1）错误。R不具有自反的关系，因为<3,3>不属于R。

（2）错误。R不具有对称的关系，因为<2,1>不属于R。

    2．如果R₁和R₂是A上的自反关系，判断结论：“R^-1₁、R₁∪R₂、R₁∩R₂是自反的” 是否成立？并说明理由．

解：成立。

因为R₁和 R₂是A上的自反关系，即I_AÍR₁，I_AÍR₂。

    由逆关系定义和I_AÍR₁，得I_AÍ R₁^-1；

    由I_AÍR₁，I_AÍR₂，得I_AÍ R₁∪R₂，I_AÍ R₁ÇR₂。

所以，R₁^-1、R₁∪R₂、R₁ÇR₂是自反的。

 

3．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，

则集合A的最大元为a，最小元不存在．

解：错误。

集合A的最大元不存在，a是极大元。

    4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：，并说明理由．

(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}；    (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；

(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

解：（1）不构成函数。因为对于3属于A，在B中没有元素与之对应。

（2）不构成函数。因为对于4属于A，在B中没有元素与之对应。

（3）构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。

三、计算题

1．设，求：　

(1) (AÇB)È~C；    (2) (AÈB)-(BÇA)    (3) P(A)－P(C)；    (4) AÅB．

解：（1）(AÇB)È~C={1}È    

（2）(AÈB)-(BÇA)={1，2,4,5}-{1}={2,4,5}

（3）

（4）AÅB =(AÈB)－（AÇB）=

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（A-B）；    （2）（A∩B）；    （3）A×B．

解：（1）A-B ={{1},{2}}

（2）A∩B ={1,2}

（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2, {1,2}>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£4}，S={<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0}，试求R，S，R·S，S·R，R^-1，S^-1，r(S)，s(R)．

解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

S=空集  

R·S=空集 

S·R=空集

 R^-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>}

S^-1 =空集

r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

 4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．

(1) 写出关系R的表示式；           (2 )画出关系R的哈斯图；

    (3) 求出集合B的最大元、最小元．

 解(1)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}

(3)集合B没有最大元，最小元是2

四、证明题

    1．试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．

证明：设，若x∈AÈ (BÇC)，则x∈A或x∈BÇC，

即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C．

即x∈AÈB 且 x∈AÈC ，

即 x∈T=(AÈB) Ç (AÈC)，

所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC)．  

反之，若x∈(AÈB) Ç (AÈC)，则x∈AÈB 且 x∈AÈC，

    即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，

即x∈A或x∈BÇC，

即x∈AÈ (BÇC)，

所以(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC)．

    因此．AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．

2．试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC)．

证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，

    也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以SÍT．

    反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C，

    即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C

    也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TÍS．

    因此T=S．   

    3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：（1）对于任意<a，b>∈A×B，其中a∈A，b∈B,因为A×B= A×C，

必有<a,b>∈A×C,其中b ∈C因此BÍC

（2）同理，对于任意<a,c>∈A×C,其中，a∈A，c∈C，因为A×B= A×C

必有<a,c>∈A×B，其中c∈B，因此CÍB

由（1）（2）得B=C

4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

证明：若R与S是集合A上的自反关系，则任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜x,x＞∈S,

从而＜x,x＞∈R∩S,注意x是A的任意元素，所以R∩S也是集合A上的自反关系．

第二篇：离散数学作业3参考答案