树型动态规划的实例分析
中山市华侨中学——李彦亭
一、什么是树型动态规划
顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：
1． 根—>叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。
2． 叶－>根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。
二、例题与解析
加分二叉树
【问题描述】
设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历
【输入格式】
第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。
【输出格式】
第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
【输入样例】
5
5 7 1 2 10
【输出样例】
145
3 1 2 4 5
[分析]很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：
value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j], value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j], value[j,j]+value[i,j-1]}
题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示
[PASCAL源程序]
{$N+}
program NOIP2003_3_Tree;
const
maxn=30;
var
i,j,n,d:byte;
a:array[1..maxn]of byte;
value:array[1..maxn,1..maxn]of comp;
root:array[1..maxn,1..maxn]of byte;
s,temp:comp;
f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string;
procedure preorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}
begin
if p2>=p1 then begin
write(f2,root[p1,p2],' ');
preorder(p1,root[p1,p2]-1);
preorder(root[p1,p2]+1,p2);
end;
end;
begin
write('Input fileNo:');readln(fileNo);
fn1:='tree.in'+fileNo;fn2:='tree.ou'+fileNo;
assign(f1,fn1);reset(f1);
assign(f2,fn2);rewrite(f2);
readln(f1,n);
for i:=1 to n do read(f1,a[i]);
close(f1);
fillchar(value,sizeof(value),0);
for i:=1 to n do begin
value[i,i]:=a[i];{计算单个节点构成的二叉树的加分}
root[i,i]:=i;{记录单个节点构成的二叉树的根节点}
end;
for i:=1 to n-1 do begin
value[i,i+1]:=a[i]+a[i+1];{计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分}
root[i,i+1]:=i;{记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是，两个节点构成的二叉树，其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树；若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此，最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0或2，则最后输出的前序遍历结果是唯一的。}
end;
for d:=2 to n-1 do begin{依次计算间距为d的两个节点构成的二叉树的最大加分}
for i:=1 to n-d do begin
s:=value[i,i]+value[i+1,i+d];{计算以i为根节点，以i+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分}
root[i,i+d]:=i; {记录根节点i}
for j:=1 to d do begin
temp:=value[i+j,i+j]+value[i,i+j-1]*value[i+j+1,i+d];{计算以i+j为根节点，以i至i+j-1间所有节点为左子树，以i+j+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分}
if temp>s then begin{如果此值为最大}
s:=temp;root[i,i+d]:=i+j;{记下新的最大值和新的根节点}
end;
end;
temp:=value[i,i+d-1]+value[i+d,i+d];{计算以i+d为根节点，以i至i+d-1间所有节点为左子树的二叉树的最大加分}
if temp>s then begin
s:=temp;root[i,i+d]:=i+d+1;
end;
value[i,i+d]:=s;
end;
end;
writeln(f2,value[1,n]:0:0);{输出最大加分}
preorder(1,n);{输出最大加分二叉树的前序遍历序列}
close(f2);
end.
[点评]基本题。考查了二叉树的遍历和动态规划算法。难点在于要记录当前最大加分二叉树的根节点。疑点是最大加分二叉树的前序遍历序列可能不唯一。
Ps：其实这题真正意义上来说还是一道普通的dp题目，但它批上了树的外表，所以都拿来作对比和讨论，解题报告出自湖北省水果湖高中 伍先军写的第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛（N0IP2003）复赛提高组解题报告。
Ural 1018 二*苹果树
题目
有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）
这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。
我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树
2 5
\ /
3 4
\ /
1
现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。
给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。
输入格式
第1行2个数，N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。
N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。
每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。
每根树枝上的苹果不超过30000个。
输出格式
一个数，最多能留住的苹果的数量。
样例输入
5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20
样例输出
21
解析：因为题目一给出就是二叉的，所以很容易就可以写出方程：
a(I,j):=max(a(i.left,k)+a(i.right,j-k)),0<=k<=j
源程序代码：
由于比较简单便不给完全的代码了。
Function treedp(x,y:longint):longint;
Var I,j,k:longint;
Begin
J:=0;
For I:=0 to y do
begin
k:=treedp(b[x].l,I)+treedp(b[x].r,y-I);
if k>j then j:=k;
end;
treedp:=j;
End;
选课
[问题描述]
在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？
输入：
第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1<=N<=200,1<=M<=150)
接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1<=ki<=N, 1<=si<=20）。
输出：
只有一行，选M门课程的最大得分。
样例：
解析：
这题比苹果树多了一个步骤就是把一棵普通树转化为二叉树。
读入数据时把二叉树建好：第一个孩子作为父节点的左子树，其它孩子作为第一个孩子的右子树。
F（x，y）：表示节点x取y门课得最高学分，则
F（x，y）＝max（f（x.l,k-1）+x.v+f(x.r,y-k)）k=0,1,..y
f（x.l,k-1）+x.v(课程x的学分) :表示选了课程x,左孩子选k-1门课,共k门课。
f (x.r,y-k)表示右孩子只能选y-k门课。
标程中节点－1表示空节点，0是根节点，1—n是n门可选课程的节点.
思考:若本题加上选那些课程可得到这个最大学分,怎样修改程序？
实现：
怎么实现，是在竞赛中的很重要的一个问题，如果你想ac了这道题目的话，你应该熟悉怎么把一棵树转化成二叉树，完后怎么用递规的思想来实现动态规划。所以坚实的基础是很重要的东西，如果没有了基础，什么都是空中楼阁。
程序中已经边读边把二叉树建立好了。
源程序代码：
program bluewater;
type
tree=record
l,r,k:longint;
end;
var
s:string;
i,j,k,l:longint;
n,m:longint;
a:array[0..200] of tree;
b:array[-1..200,0..150] of integer;
f:array[0..200] of longint;
procedure treedp(x,y:longint);
var i,j,k,l:longint;
begin
if b[x,y]>=0 then exit;
treedp(a[x].r,y);{只有右子树的情况}
j:=b[a[x].r,y];
for k:=1 to y do{左右子树都有的情况}
begin
treedp(a[x].l,k-1);
treedp(a[x].r,y-k);
i:=b[a[x].l,k-1]+b[a[x].r,y-k]+a[x].k;
if i>j then j:=i;
end;
b[x,y]:=j;
end;
begin
readln(s);
assign(input,s);reset(input);
readln(n,m);
fillchar(f,sizeof(f),0);
for i:=0 to n do
begin a[i].l:=-1;a[i].r:=-1;a[i].k:=-1;end;
{build tree}
for i:=1 to n do
begin
readln(k,l);
a[i].k:=l;
if f[k]=0 then a[k].l:=i
else a[f[k]].r:=i;
f[k]:=i;
end;
{bianjie}
for i:=-1 to n do
for j:=-1 to m do
if (i=-1) or (j=0) then b[i,j]:=0 else b[i,j]:=-1;
{tree dp}
treedp(a[0].l,m);
{output}
writeln(b[a[0].l,m]);
end.
Tju1053 技能树
Problem
玩过Diablo的人对技能树一定是很熟悉的。一颗技能树的每个结点都是一项技能，要学会这项技能则需要耗费一定的技能点数。
只有学会了某一项技能以后，才能继续学习它的后继技能。每项技能又有着不同的级别，级别越高效果越好，而技能的升级也是
需要耗费技能点数的。
有个玩家积攒了一定的技能点数，他想尽可能地利用这些技能点数来达到最好的效果。因此他给所有的级别都打上了分，他认为
效果越好的分数也越高。现在他要你帮忙寻找一个分配技能点数的方案，使得分数总和最高。
Input
该题有多组测试数据。
每组测试数据第一行是一个整数n（1<=n<=20）,表示所有不同技能的总数。
接下来依次给出n个不同技能的详细情况。
每个技能描述包括5行。
第一行是该技能的名称。
第2行是该技能在技能树中父技能的名称，名称为None则表示该技能不需要任何的先修技能便能学习。
第3行是一个整数L（1<=L<=20），表示这项技能所能拥有的最高级别。
第4行共有L个整数，其中第I个整数表示从地I-1级升到第I级所需要的技能点数（0级表示没有学习过）。
第5行包括L个整数，其中第I个整数表示从第I-1级升级到第I级的效果评分，分数不超过20。
在技能描述之后，共有两行，第1行是一个整数P，表示目前所拥有的技能点数。
接下来1行是N个整数，依次表示角色当前习得的技能级别，0表示还未学习。这里不会出现非法情况。
Output
每组测试数据只需输出最佳分配方案所得的分数总和。
Sample Input
3
Freezing Arrow
Ice Arrow
3
3 3 3
15 4 6
Ice Arrow
Cold Arrow
2
4 3
10 17
Cold Arrow
None
3
3 3 2
15 5 2
10
0 0 1
Sample Output
42
Source
浙江省2004组队赛第二试
解析：这题是选课的加强版，但并难不倒我们
还是把一棵树转换为二叉树，完后从子节点到根节点作一次dp，最后得到最优解
由于和上题很相像就不写方程了。
源代码程序：
program bluewater;
type
tree=record
s,sf:string;
l,r,m:longint;
c:array[1..20] of longint;
d:array[1..20] of longint;
end;
var
i,j,k,l,m,n:longint;
a:array[0..20] of tree;
b:array[0..20] of longint;
learn:array[0..20] of longint;
f:array[0..20,0..8000] of longint;
function treedp(x,y:longint):longint;
var i,j,k,l,max,o,p,q:longint;
begin
if f[x,y]<>-1 then begin treedp:=f[x,y];exit;end;
max:=treedp(a[x].r,y);
{learn>0}
if learn[x]>0 then
begin
for k:=0 to y do
begin
i:=treedp(a[x].l,k)+treedp(a[x].r,y-k);
if i>max then max:=i;
end;
end;
{learn=0}
l:=0;p:=0;i:=0;
for o:=1 to a[x].m do
begin
if o>learn[x] then
begin l:=l+a[x].c[o];p:=p+a[x].d[o];end;
for k:=0 to y-l do
begin
i:=treedp(a[x].l,k)+treedp(a[x].r,y-l-k)+p;
if i>max then max:=i;
end;
end;
f[x,y]:=max;
treedp:=max;
end;
function find(x:string):longint;
var i,j:longint;
begin
for i:=0 to n do
if a[i].s=x then break;
find:=i;
end;
begin
while not(eof(input)) do
begin
{input}
readln(n);
fillchar(a,sizeof(a),0);
fillchar(b,sizeof(b),0);
a[0].s:='None';
for i:=1 to n do
with a[i] do
begin
readln(s);
readln(sf);
readln(m);
for j:=1 to m do read(c[j]);readln;
for j:=1 to m do read(d[j]);readln;
end;
readln(m);
if m>8000 then m:=8000;
for i:=1 to n do read(learn[i]);readln;
{build binary tree}
for i:=1 to n do
begin
k:=find(a[i].sf);
if b[k]=0 then
begin b[k]:=i;a[k].l:=i;end
else begin a[b[k]].r:=i;b[k]:=i;end;
end;
{bian jie}
for i:=0 to 20 do
for j:=0 to 8000 do
f[i,j]:=-1;
for i:=0 to 8000 do f[0,i]:=0;
{main}
writeln(treedp(a[0].l,m));
end;
end.
战略游戏
Problem
Bob喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。
他要建立一个古城堡，城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能了望到所有的路。
注意，某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被了望到。
请你编一程序，给定一树，帮Bob计算出他需要放置最少的士兵.
Input
第一行为一整数Ｍ，表示有Ｍ组测试数据
每组测试数据表示一棵树，描述如下：
第一行 N，表示树中结点的数目。
第二行至第N+1行，每行描述每个结点信息，依次为：该结点标号i，k(后面有k条边与结点I相连)。
接下来k个数，分别是每条边的另一个结点标号r1，r2，...，rk。
对于一个n(0<n<=1500)个结点的树，结点标号在0到n-1之间，在输入数据中每条边只出现一次。
Output
输出文件仅包含一个数，为所求的最少的士兵数目。
例如，对于如下图所示的树：
答案为1（只要一个士兵在结点1上）。
Sample Input
2
4
0 1 1
1 2 2 3
2 0
3 0
5
3 3 1 4 2
1 1 0
2 0
0 0
4 0
Sample Output
1
2
Source
sgoi
分析：这题有2种做法，一种是比较简单但不是很严密的贪心，如果测试数据比较刁钻的话就不可能ac，而这题是一道比较典型的树型动态规划的题目，这题不但要考虑子节点对他的根节点的影响，而且每放一个士兵，士兵所在位置既影响他的子节点也影响了他的根节点。不过状态还是很容易来表示的，动规实现也不是很难，不过这在这些例题中也有了些“创新”了。而且这题不是一个对二叉树的dp，而是对一颗普通树的dp，所以更具代表性。
源程序代码：
program bluewater;
const
maxn=1500;
var
i,j,k,l:longint;
m,n,p,q:longint;
a:array[0..maxn,0..maxn] of boolean;
b:array[0..maxn] of longint;
c:array[0..maxn] of boolean;
function leaf(x:longint):boolean;
var i,j:longint;
t:boolean;
begin
t:=true;
for i:=0 to n-1 do
if a[x,i] then begin t:=false;break;end;
leaf:=t;
end;
function treedp(x:longint):longint;
var i,j,k,l:longint;
begin
j:=0;{add}
k:=0;{leaf}
l:=0;{not put not leaf}
for i:=0 to n-1 do
if (a[x,i]) and (x<>i) then
if leaf(i) then inc(k) else
begin
j:=j+treedp(i);
if not(c[i]) then inc(l);
end;
{puanduan}
if (k>0) or (l>0) then begin c[x]:=true;treedp:=j+1;exit;end;
if (j>0) and (l=0) then begin treedp:=j;exit;end;
end;
begin
{input}
readln(m);
for p:=1 to m do
begin
fillchar(b,sizeof(b),0);
fillchar(a,sizeof(a),false);
fillchar(c,sizeof(c),false);
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
read(k,l);
for j:=1 to l do
begin
read(q);
a[k,q]:=true;
b[q]:=1;
end;
readln;
end;
{main}
for i:=0 to n-1 do
if b[i]=0 then break;
fillchar(b,sizeof(b),0);
if leaf(i) then writeln('1') else writeln(treedp(i));
end;
end.
Ural 1039 没有上司的晚会
背景
有个公司要举行一场晚会。
为了能玩得开心，公司领导决定：如果邀请了某个人，那么一定不会邀请他的上司
（上司的上司，上司的上司的上司……都可以邀请）。
题目
每个参加晚会的人都能为晚会增添一些气氛，求一个邀请方案，使气氛值的和最大。
输入格式
第1行一个整数N（1<=N<=6000）表示公司的人数。
接下来N行每行一个整数。第i行的数表示第i个人的气氛值x(-128<=x<=127)。
接下来每行两个整数L，K。表示第K个人是第L个人的上司。
输入以0 0结束。
输出格式
一个数，最大的气氛值和。
样例输入
7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5
0 0
样例输出
5
http://acm.timus.ru/submit.aspx?space=1&num=1039
分析：
f[i,1]表示邀请i的最大值
f[i,2]表示不邀请i的最大值
f[i,1]=sigma(f[i.sons,2])
f[i,2]=sigma(max{f[i.sons,1],f[i.sons,2]})
这个又是树型动态规划的一种分类，每个结点都有二种状态既选与不选。
总结：看完了上面的这些关于叶子－>根的树型动态规划，我想您已经对这种treedp有了一些了解，其实一样新的东西你并不该去怕它而是坦然的面对，树型动态规划也就是动态规划的一种，再怎么也走不出动态规划的范围，只要充分了解了树的结构后，树型动态规划还是很好实现的。
参考资料
1． 第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛（N0IP2003）复赛提高组解题报告——伍先军