赋值法在函数中的应用

赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法. 下面介绍它在函数问题中的应用.

  一、判断函数的奇偶性

例1  若(x + y) =(x) +(y) 对于任意实数x、y 都成立，且(x) 不恒等于零，判断函数(x) 的奇偶性．

解：在(x + y) =(x) +(y) 中令 x = y = 0 ，得(0) = 0．

又在(x + y) =(x) +(y) 中令  y =－x ，这样就有：(x－x) =(x) +(－x) ，

即(0) =(x) +(－x) ，又(0) = 0，所以(－x) =－(x) ，

由于(x) 不恒等于零，所以(x) 是奇函数．

二、讨论函数的单调性

例2  设(x) 定义于实数集上，当x＞0时，(x)＞1 ，且对于任意实数x、y ，有(x + y) =(x) ·(y)，求证(x) 在R 上为增函数．

证明：由 (x + y) =(x)(y) 中取x = y = 0 ，得(0) =，

若(0) = 0，令x＞0 ，y = 0 ，则 (x) = 0，与(x)＞1 矛盾．

∴ (0)≠ 0，即有(0) = 1 ．

当x＞0 时 ，(x)＞1＞0 ，当x＜0 时 ，－x＞0，(－x)＞1＞0 ，

而(x) ·(－x) =(0) = 1，∴ (x) =＞0 ．

又当x = 0 时 ，(0) = 1＞0 ，∴x∈R ，(x)＞0 ．

设 －∞＜x＜x＜+∞ ，则x－x＞0 ，( x－x)＞1 ．

∴ ( x) =[ x+ ( x－x)] =(x)( x－x)＞( x) ．

∴ y =(x) 在R 上为增函数．

三、求函数的值域

例3   已知函数f（x）在定义域x∈（0， ）上是增函数，且满足f（xy）=f（x）＋f（y）（x、y∈R^＋），求f（x）的值域.

解：因为x=y=1时，f（1）=2f（1），所以f（1）=0

又因为f（x）在定义域R^＋上是增函数，所以x₁>x₂>0时，令x₁=mx₂（m>1），则f（x₁）－f（x₂）=f（m·x₂）－f（x₂）=f（m）＋f（x₂）－f（x₂）=f（m）>0.

所以对于x>1有f（x）>0.

又设x₁=mx₂>0（0<m<1），则0<x₁<x₂.

因为函数(x)在R^＋上是增函数，所以f（x₁）－f（x₂）<0, 

即f（mx₂）－f（x₂） =  f（m）＋ f（x₂）－f（x₂）=f（m）<0.

所以对于0<x<1有f（x）<0.

综上所述：当x∈R^＋时，f（x）的值域为R.

四、求函数的解析式

例4 设对满足| x |≠1的所有实数x，函数f（x）满足+=x，求f（x）的解析式.

解：将x取为, 代入原等式，有+ f（x）=， （1）

将x取为 , 代入原等式，有f（x）+=.（2）

（1）＋（2），且将原等式代入即得(|x|≠1)

第二篇：20xx年最新编辑 浅淡赋值法在抽象函数中的应用

20xx年最新编辑 浅淡赋值法在抽象函数中的应用

我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面分类举例加以说明。

一、判断函数的奇偶性

例1. 若f(x?y)?f(x)?f(y)对于任意实数x，y均成立，且f(x)不恒为0，请判断函数f(x)的奇偶性。

解：令x?y?0，则有f(0)?f(0)?f(0)，故有f(0)?0

令y??x，则有f(0)?f(x)?f(?x)，故有f(?x)??f(x)，又因为f(x)不恒为0，所以函数f(x)是奇函数。

例2. 已知函数f(x)(x?R)为非零函数，若有f(xy)?f(x)?f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。

解：令x?1，y??1，则有f(?1)?f(1)?f(?1)，故有f(1)?0

令x?y??1，则有f(1)?f(?1)?f(?1)，故有f(?1)?0

令y??1，则有f(?x)?f(x)?f(?1)?f(x)，且f(x)为非零函数，所以函数f(x)是偶函数。

二、判断函数的单调性

例3. 函数f(x)(x?R)，当x?0时，0?f(x)?1，且对任何实数x，y恒有f(x?y)?f(x)f(y)，试判断函数f(x)的单调性。

解：令x?y?0，则有f(0)?f(0)，故有f(0)?0或f(0)?1

又有f(1)?f(0)f(1)?0，而f(1)≠0，所以f(0)?1

当x?0时，0?f(x)?1，当x?0时，?x?0，故有0?f(?x)?1，而2f(x)f(?x)?f(0)?1，故有f(x)?1?1?0。 f(?x)

又当x＝0时，f(0)?1?0，故对于任何x?R，有f(x)?0。

令???x1?x2???，则有x2?x1?0，故0?f(x2?x1)?1，

故f(x2)?f[x1?(x2?x1)]?f(x1)·f(x2?x1)?f(x1)

所以函数f(x)是减函数。

三、判断函数的周期性

例4. 函数f(x)(x?R)，对任何实数a、b恒有f(a?b)?f(a?b)?2f(a)f(b)，且存在常数c?0，使f()?0，求证：f(x)为周期函数。 证明：令a?x?c2cc，b?， 22

cc)·f()?0 22则f(a?b)?f(a?b)?f(x?c)?f(x)?2f(x?

即f(x?c)??f(x)

又f(x?2c)?f[(x?c)?c]??f(x?c)?f(x)

所以函数f(x)是周期函数，最小正周期为2c。

四、求函数的解析式

例5. 设x≠0，函数f(x)满足2f(x)?f()?10，求函数f(x)的解析式。 解：由题意知2f(x)?f()?10 1xx1

xx

11用x换代入上式得：2f()?f(x)?10x xx

则①×2－②得：3f(x)?2·10?10 x1x1

21x所以f(x)?·10?·10x 33

五、求函数的值域 1

增函数，且满足f(xy)?f(x)?f(y)，求函数f(x)的值域。 例6. 函数为

解：令x?y?1，则有f(1)?f(1)?f(1)，故有f(1)?0。

①当0?x1?x2时，不妨令x2?kx1(k?1)，

则有f(x2)?f(x1)?f(kx1)?f(x1)

?f(k)?f(x1)?f(x1)

?f(k)?f(1)?0

故当x?1时，有f(x)?0。

②当0?x2?x1时，有x2?kx1(0?k?1)

有f(x1)?f(x2)?f(k)?f(1)?0

故当0?x?1时，有f(x)?0

所以当x?R时函数f(x)的值域为R。

［练一练］

若对常数m和实数x?R，等式f(x?m)?

函数。 提示：f(x?2m)?f[(x?m)?m]?*1?f(x)恒成立，求证：函数f(x)是周期1?f(x)1?f(x?m)1， ??1?f(x?m)f(x)f(x?4m)??1?f(x)。 f(x?2m)