实验五   测量刚体的转动惯量

转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度．它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置．对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定．

    转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义．测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量．

【实验目的】

1．学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法．

2．观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况，验证平行轴定理．

3．学会使用智能计时计数器测量时间．

【实验原理】

1．恒力矩转动法测定转动惯量的原理

根据刚体的定轴转动定律

                                                                                          （1）

只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J．

设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J₁，未加砝码时，在摩擦阻力矩M_μ的作用下，实验台将以角加速度β₁作匀减速运动，即：

                                                                                   （2）

将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动．若砝码的加速度为a，则细线所受张力为T= m (g - a)．若此时实验台的角加速度为β₂，则有a= Rβ₂．细线施加给实验台的力矩为T R= m(g - Rβ₂) R，此时有：

                                （3）

将（2）、（3）两式联立消去M_μ后，可得：

                                       （4）

同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J₂，加砝码前后的角加速度分别为β₃与β₄，则有：

                                       （5）

由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J₃为：

                                             （6）

测得R、m及β₁、β₂、β₃、β₄，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量．

2．β的测量

实验中采用智能计时计数器记录遮挡次数和相应的时间．固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数器记下遮档次数k和相应的时间t．若从第一次挡光（k=0，t=0）开始计次，计时，且初始角速度为ω₀，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（k_m，t_m）、（k_n，t_n），相应的角位移θ_m、θ_n分别为：

                                  (7)

                                   (8)

从（7）、（8）两式中消去ω₀，可得：

                                      (9)

由（9）式即可计算角加速度β．

3．平行轴定理

理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量J₀最小．当转轴平行移动距离d后，绕新转轴转动的转动惯量为：

                                           （10）

4．转动惯量实验组合仪简介

转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小．塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩．载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动．随仪器配的被测试样有1个圆盘，1个圆环，两个圆柱；试样上标有几何尺寸及质量，便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较．圆柱试样可插入载物台上的不同孔，这些孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，便于验证平行轴定理．铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记．一只光电门作测量，一只作备用，可通过智能计时计数器上的按钮方便的切换．

图1  转动惯量实验组合仪

智能计时计数器如图2所示:

图2 智能计时计数器

智能计时计数器可测量时间、速度、加速度等多种物理量．在本实验中利用单电门、多脉冲测量时间．

上电开机后显示“智能计数计时器    成都世纪中科”画面延时一段时间后，显示操作界面：上行为测试模式名称和序号，例：“1 计时    ”表示按模式选择/查询下翻按钮选择测试模式．下行为测试项目名称和序号，例：“1－1 单电门     ”表示项目选择/查询上翻按钮选择测试项目．

选择好测试项目后，按确定键,LCD将显示“选A通道测量     ” ，然后通过按模式选择/查询下翻按钮和项目选择/查询上翻按钮进A或B通道的选择，选择好后再次按下确认键即可开始测量．一般测量过程中将显示“测量中*****”，测量完成后自动显示测量值，若该项目有几组数据，可按查询下翻按钮或查询上翻按钮进行查询，再次按下确定键退回到项目选择界面．如未测量完成就按下确定键，则测量停止，将根据已测量到的内容进行显示，再次按下确定键将退回到测量项目选择界面．

【实验内容】

1．实验准备

在桌面上放置ZKY-ZS转动惯量试验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，利用水准仪，将仪器调平．将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的线绕塔轮槽等高，且其方位相互垂直，并且用数据线将智能计时计数器中A或B通道与转动惯量实验仪其中一个光电门相连．

2．利用天平测量砝码和样品的质量，游标卡尺测量样品的尺寸．

3．测量并计算实验台的转动惯量J₁

（1）测量β₁

上电开机后LCD显示“智能计数计时器    成都世纪中科”欢迎界面延时一段时间后，显示操作界面：

①选择“计时   1—2 多脉冲” ．

②选择通道．

③用手轻轻拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动．

④按确认键进行测量．

⑤载物盘转动多圈后按确认键停止测量．

⑥查阅数据，并将查阅到的数据记入表格中；

采用逐差法处理数据，将第1和第5组，第2和第6组……,分别组成至少4组，用（9）式计算对应各组的β₁值，然后求其平均值作为β₁的测量值．

⑦按确认键后返回“计时   1—2 多脉冲”界面．

（2）测量β₂

①选择塔轮半径R及砝码质量，将1端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上，细线另1端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩，用手将载物台稳住；

②重复（1）中的2、3、4步

③释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动；记录至少8组数据后停止测量．查阅、记录数据于表格中并计算β₂的测量值．

由（4）式即可算出J₁的值．

4．测量并计算实验台放上试样后的转动惯量J₂ ，计算试样的转动惯量J₃ 并与理论值比较．将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按与测量J₁同样的方法可分别测量未加法码的角加速度β₃与加砝码后的角加速度β₄．由（5）式可计算J₂的值，已知J₁ 、J₂ ，由（6）式可计算试样的转动惯量J₃ ．

已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为：

                                              （11）

圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为：

                                        （12）

    计算试样的转动惯量理论值并与测量值J₃ 比较，计算测量值的相对误差：

                                      （13）

5．验证平行轴定理

将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量．将测量值与由（11）、（10）式所得的计算值比较，若基本一致即验证了平行轴定理．

理论上，同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化．

6．利用控制变量法，改变塔轮半径或砝码质量（五个塔轮，五个砝码），保持其它实验条件不变，进行测量并对数据进行分析，探索其规律，寻求发生误差的原因，探索测量的最佳实验条件．

【实验仪器】

ZKY—ZS转动惯量实验仪．电子天平，游标卡尺．

【思考题】

1．  分析影响实验精度的各种因素，如何减少这些因素影响？

2．  是否可以通过实验和作图，既求出转动惯量，又求出摩擦力矩？

第二篇：实验五 用三线摆测量刚体的转动惯量

实验五　 用三线摆测量刚体的转动惯量

【实验目的】

1. 学会正确测量长度、质量和时间。

2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。

【实验器材】

    三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。

【实验原理】

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。

图1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO^‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。

设下圆盘质量为，当它绕OO^＇扭转的最大角位移为时，圆盘的中心位置升高，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：

    　　（为重力加速度）

当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为，重力势能被全部转变为动能，有：

式中是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO^‘轴的转动惯量。

如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：

　　                    （1）

    设悬线长度为，下圆盘悬线距圆心为R₀，当下圆盘转过一角度时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C₁，如图2所示，则：

因为　　　　　　　

所以          

在扭转角很小，摆长很长时，sin，而BC+BC₁»2H，其中

H=

 式中H为上下两盘之间的垂直距离,则

　　　　　　　　　                  　　　（2）

由于下盘的扭转角度很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是

式中， 是圆盘在时间t时的角位移，是角振幅，是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：

经过平衡位置时t=0 ,的最大角速度为：

                              （3）

将（2）、（3）式代入（1）式可得

                            （4）

实验时，测出、及，由（4）式求出圆盘的转动惯量。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有

               　　 　　 　　　　（5）

从（5）减去（4）得到被测物体的转动惯量为

                    　　 　    　　（6）

在理论上，对于质量为，内、外直径分别为、的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为

而对于质量为、直径为的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为

【实验步骤】

测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量

1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。

2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间，重复测量5次求平均值，计算出下盘空载时的振动周期T₀。

3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。

4. 测出圆环质量（）、内外直径（、）及仪器有关参量（等）。

因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/。

    5.将实验数据填入下表中。先由（4）式推出的相对不确定度公式，算出的相对不确定度、绝对不确定度，并写出的测量结果。再由（6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。

【数据处理】

1. 实验数据表格

下盘质量           g，     圆环质量           g

 

2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：

下盘:               ,

                    ,              

　　　　＝＝(        ±     )

圆环:　            ,

       ＝            ,   ＝          

　　  　＝＝        ±     （g.C）

【思考题】

1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R₀，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?

2． 当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?