1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

3.         证明的方法：

①、；③构造齐次方程组，证明其有非零解；④证明 ⑤证明0是其特征值；

                      2、矩阵

1.         是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2.         对于阶矩阵： 无条件恒成立；

3.        

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：Ⅰ、；Ⅱ、；

②、；（主对角分块）③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵、，若；

2.         行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.         初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、  若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

4.         初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

5.         矩阵秩的基本性质：

①、；②、；③、若，则；④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、；（※）

⑥、；（※）⑦、；（※）

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

6.         三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：

7.         伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；③、、

8.         关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）

②、，中有阶子式全部为0；③、，中有阶子式不为0；

9.   线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

10.     线性方程组的求解：

①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

4、向量组的线性相关性

11.     ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）

12.     矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)

13.     ；(例15)

14.     维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关          ；③、线性相关 共面；

②、线性相关       坐标成比例或共线（平行）；

15.     线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

16.     向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；

向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）

向量组能由向量组线性表示有解；（定理2）

       向量组能由向量组等价（定理2推论）

17.     方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；③、矩阵等价：（、可逆）；

18.     对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

④、矩阵的行秩等于列秩；

19.     若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

20.     齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、 只有零解只有零解；②、      有非零解一定存在非零解；

21.     设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）

（）

       其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

       注：当时，为方阵，可当作定理使用；

22.     ①、对矩阵，存在，   、的列向量线性无关；（）

②、对矩阵，存在，     、的行向量线性无关；

23.     若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关

5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.         施密特正交化：

；

      

       ;

3.         对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.         ①、与等价   经过初等变换得到；

，、可逆；

，、同型；

②、与合同   ，其中可逆；

                            与有相同的正、负惯性指数；

③、与相似   ；

5.         相似一定合同、合同未必相似；

若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.         元二次型为正定：

的正惯性指数为与合同，即存在可逆矩阵，使的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；(必要条件)

第二篇：20xx考研数学归纳-线性代数(基本公式)

线性代数

(一) 行列式

(二)矩阵

(三) 向量

(四)线性方程组

(五)矩阵的特征值和特征向量

(六)二次型