分式知识点总结及章末复习
知识点一：分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式，A为分子，B为分母。
知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（
）
②分式无意义：分母为0（
）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（
）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（
或
）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（
或
）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
经典例题
1、代数式
是（ ） A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式
2、在
，
，
，
，
中，分式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种 糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克
元，因此，甲种糖果每千克 元，总价9元的甲种糖果的质量为 千克.
4、当
是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、当
时，分式①
，②
，③
，④
中，有意义的是（ ）
A.①③④ B.③④ C.②④ D.④
6、当
时，分式（ ）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义
7、使分式
的值为0，则等于（ ） A.
B.
C.
D.
8、若分式
的值为0，则的值是（ ） A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2
9、当 时，分式的值为正数. 10、当 时，分式的值为负数.
11、当
时，分式
的值为1. 12、分式
有意义的条件是（ ） A.
B.
且 C.
且 D.且
13、如果分式
的值为1，则的值为（ ） A.
B.
C.且
D.
14、下列命题中，正确的有（ ）
①
、
为两个整式，则式子
叫分式； ②
为任何实数时，分式
有意义；
③分式
有意义的条件是
； ④整式和分式统称为有理数.
A.1个 B .2个 C.3个 D.4个
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：
，
，其中A、B、C是整式，C
0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
经典例题
1、把分式
的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A.不变 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.扩大4倍
2、下列各式正确的是（ ）
A.
B.
C.
，（
） D.
3、下列各式的变式不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、在括号内填上适当的数或式子：
①
；②
；③
；④
.
知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
经典例题
1、约分：①
；②
；③
；
④
.
2、下列化简结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、下列各式与分式
的值相等的是（ ）
A.
B. C.
D.
4、化简
的结果是（ ）A、
B、
C、
D、
知识点五：分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
经典例题
1、分式
，
，
的最简公分母是（ )
A.
B.
C.
D.
2、通分：①
； ②
.
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
经典例题
1、下列运算正确的是（ ） A.
B.
C.
D.
2、下列各式的计算结果错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、计算： ①
；②
4、计算：①
； ②
.
5、下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、计算：①
； ②
.
7、计算：
.8、化简
.
9、当
，
，则代数式
的值为（ ）
A.1 B.－1 C.4011 D.－4011
10、先化简，再求值：
，其中
.
11、已知
，求分式
的值.
12、计算：
.
13、已知
，那么
的值为（ ） A. B.2 C. D.－2
③ 分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
知识点六整数指数幂
★
★
★
★
（
）
★
★
（） ★
（）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
科学记数法 如
0.000000125=
如
120 000 000=
经典例题
1、计算：①
；②
.
2、化简
的结果是（ ） A.
B.
C.
D.
3、化简
的结果是（ ）A.
B.
C.
D.
4、计算： ①
； ②
； ③
.
5、计算
的结果是（ ） A.－4 B.4 C.
D.
6、化简
的结果是（ ） A.
B.1 C.
D.－1
7、计算：①
； ②
；
③
； ④
； ⑤
.
8、设
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
9、若
，求
的值.
10、已知
与
互为相反数，求
的值.
知识点七：分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
知识点八列分式方程
基本步骤
1.审—仔细审题，找出等量关系。 2.设—合理设未知数。 3.列—根据等量关系列出方程（组）。
4.解—解出方程（组）。注意检验 5.答—答题。
经典例题
1、已知方程①
；②
；③
；④
， 其中是分式方程的有（ ）A.①② B.②③ C.①③ D.①④
2、分式方程
，去分母时两边同乘以 ，可化整式方程
3、如果与互为相反数，则的值为
5、若关于的方程
有增根，则的值为
6、如果分式方程
无解，则的值为
7、当为何值时，关于的方程
无解？
8、若关于的分式方程
有正数解，则实数的取值范围是
10、某中学要购买一批校服，已知甲做5件与乙做6件的时间相等，两人每天共完成55件，设甲每天完成件，则下列方程不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、某工地调来72人参加挖土与运土，已知3人挖出的土1人能恰好运走，怎样分配才能使挖出来的土能及时运走？设派人挖土，其余运土，则可列方程为①
； ②
；③
；④
，其中所列方程正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
13.某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了
，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了
．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润
售价
进价，利润率
）
第二篇：中考数学系统复习 专题 分式知识点总结、配套习题及答案
专题三 分式
考点1 分式的概念
1、 一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式，A为分子，B为分母。
2、 分式的相关条件
①分式有意义：分母不为0（
）
②分式无意义：分母为0（
）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（
）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（
或
）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（
或
）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
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A．x=-2 B．x=0 C．x=1或2 D．x=1
分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．这种 题一定要考虑到分母不为0.
解答：
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∴{ x-1=0 ①
{ x+2≠0 ② ，解得x=1．
故选D
例2、当
时，分式
有意义。 当 时，分式
的值为零。
当 时，分式
的值为负数。 当 时，分式
的值为－1。
分析：分别根据题中给出的条件，在保证分母不为零的基础上，列出关于x的方程或者不等式，解出x的取值或者取值范围即可。
解答：x≠±2；x=8;x＞2;x=1或2.
考点2 分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：
，
，其中A、B、C是整式，C
0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：
例3
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A．-7/2 B．7/2 C．2/7 D．-2/7
分析：先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把1/x-1/y=3代入就可以进行计算．
解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，
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故选B．
考点3 分式的运算
① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：
③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
例4
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分析：根据已知条件求出（a-b）与ab的关系，再代入所求的分式进行求值．
例5 先化简，再求值：
，其中
。
分析：将除法换成乘法，再通过运用分配律约分化简。
解答：原式=
分式专题训练
一、填空题：
1、(2012苏州市吴中区教学质量调研)要使分式
有意义，则x须满足的条件为 ．
2、计算：
①
＝ 。
②
＝ 。
③
＝ 。
④
＝ 。
3、已知
。则分式
的值为 。
4、若＜0，则
＝ 。
5、若分式
的值是整数，则整数的值是 。
6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值：
＝ 。
二、选择题：
1、在代数式
、
、
、
、
、
中，分式的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、已知
的值为零，则
的值是（ ）
A、－1或
B、1或 C、－1 D、1
3、甲瓶盐水含盐量为
，乙瓶盐水含盐量为
，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（ ）
A、
B、
C、
D、随所取盐水重量而定
4、.对于非零的两个实数
、
，规定
.若
则的值为（ ）
A. 
B. 1 C. 
D. 
5、化简
的结果是( )
A．
B．
C．
D．1
6、（2012昆山一模）如果
＝3，则
等于
A．
B．xy C．4 D．
7、(20##年吴中区一模)化简
的结果是( )
A.
B.－ C.
D.
8、(20##年春期福集镇青龙中学中考模拟)计算
结果是（ ）．
A．0 B．1 C．－1 D．x
三、计算题：
1、
2、
3、
4、
5、（20##年上海黄浦二模）化简：
．
6、（浙江金华一模）求代数式的值：
，其中
.
7、先化简，再求值：
，其中
8、（2012山东省德州一模）化简求值 
9、 （20##年，广东二模）先化简，再求值：÷，其中a＝2－.
10、（2012兴仁中学一模）计算：先化简代数式：
，再从你喜欢的数中选择一个恰当的作为x的值，代入求出代数式的值。
11、（20##年北京中考数学模拟试卷）已知
，求
的值．
12、（20##年北京市顺义区一诊考试）已知
，求代数式
的值．
四、阅读下面题目的计算过程：
＝
①
＝
②
＝
③
＝
④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。
（2）错误原因是 。
（3）本题的正确结论是 。
五、问题探索：
（1）已知一个正分数
（
＞
＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论。
（2）若正分数（＞＞0）中分子和分母同时增加2，3…
（整数＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。
参考答案
一、填空题：
1、≠3；2、
，
，
，
；3、
；4、
；5、2或0；6、略
二、选择题：CDACBCAC
三、计算题：
1、
；2、
；3、
；4、
5、答案：解：原式
．
6答案：
7、答案：原式化简=
，当时
原式
8、答案：
当x=-
时
原式=
………………………5’
9、解：原式＝÷
＝·
＝.
当a＝2－时，原式＝.
10、解：＝
＝
（注：若x取
或0，以下步骤不给分）
当x＝2时
原式＝1
11、答案：解：原式=
=
=
=
=
∴当时，原式=
=
12、答案：解：
当时，原式=
．
四、阅读题：
（1）②；（2）去了分母；（3）
五、问题探索：
（1）＜
（＞＞0）
证明：∵－＝
＜0（条件是＞＞0）
∴＜
（2）＜
（＞＞0，＞0）
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为、
，增加面积为，则由（2）知：
＞
，所以住宅的采光条件变好了。
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