第十六章 分式知识点及典型例子
一、分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。
1.下列各式,,x+y,,-3x2,0中,是分式的有( )个。
2、在式子,,,,,,,
中是分式的____________________________________________________,
是整式的是_______________,
二、 分式有意义的条件是分母不为零;【B≠0】
分式没有意义的条件是分母等于零;【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】4
3、当x取何值时,分式有意义 ; 4、当a_______时,分式有意义
5、当x取何值时,分式有意义; 6、当x,y满足怎样关系时,分式有意义.
7、当b取何值时,分式有意义; 8、当x________时,分式有意义;
9、当m________时,分式有意义;
10、当a,b满足关系________时,分式有意义;
11、当x________时,分式有意义;
※12、当x__________时, 分式有意义;
※13、当x___________时,分式有意义;
14.下列分式,当x取何值时有意义。(1); (2)。
15.下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是( )。
A. B. C. D.
16.当x______时,分式无意义。 当x_______时,分式的值为零。
三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。 ()
四、分式的通分和约分:关键先是分解因式。
17、填空:
① ② ③ ④
18、下列各组中的两个分式是否相等?为什么?
① ② ③ ④
19、不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“—”号:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
20、下列各式中与相等的是( )
A B C D
21、.分式、、的最简公分母是
22.约分:
1、 2、
23、 2. 3.
4. 5. 6.
24、(1); (2)
25、下列各式中不成立的是( )
A B C D
26、与分式相等的是( )
A B C D
27、把分式中的x,y都扩大3倍,那么分式的值( )
A 扩大3倍 B 扩大9倍 C 缩小3倍 D 不变
28.通分:
(1), 与 (2), 与
(1)最简公分母是 , (2)最简公分母是 ,
= = . = = .
= = . = = .
29、模仿上面习题书写
(1) 与 (2) 与 (3) 与 (4) 与
30,通分:
(1) , (2) 与 (3) 与
(4) (5) 与 (6),
五、分式的运算:
分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。
分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
31、分式乘法、除法
(1)· (2)÷ (3)·
(4)÷8xy (5)(-3xy)÷ (6)·
(7)· (8)÷
(9)÷ (10)·
(11)· (12)、
(13)÷· (14)÷·
(15)·÷ (16)÷·
32、分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
33、分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减。
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
1, 2, 3,
4、 5, 6,
7, 8、 9、
10、 11、 12、
13.已知a+b=3,ab=1,则+的值等于_______。
14.计算:-。 15.计算:-x-1
16.先化简,再求值:-+,其中a=。
六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即;
当n为正整数时, ( =
七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)
(1)同底数的幂的乘法:;(2)幂的乘方:;
(3)积的乘方:;
(4)同底数的幂的除法:( a≠0);
(5)商的乘方:(b≠0)
(18)
八、科学记数法:把一个数表示成的形式(其中,n是整数)的记数方法叫做科学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时,其中10的指数是。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
例18.若,则等于( )。
A. B. C. D.
例19.若,则等于( )。
A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
例20.计算:(1) (2)
例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。
例22.计算。
例23.自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一门新学科,这就是“纳米技术”,已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为___ ______。
例24.计算+-得( ) A.- B. C.-2 D.2
例25.计算a-b+得( ) A. B.a+b C. D.a-b
九、分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。
3、解分式方程的步骤:
(1)、在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程。
(2)、解这个整式方程。
(3)、把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去。
(4)、写出原方程的根。
增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4、分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
例26.解方程。
(1) (2)
(3) (4)
例27. X为何值时,代数式的值等于2?
例28.若方程 有增根,则增根应是( )
十、列方程应用题
(一)、步骤(1)审:分析题意,找出研究对象,建立等量关系;(2)设:选择恰当的未知数,注意单位;(3)列:根据等量关系正确列出方程;(4)解:认真仔细;(5)检:不要忘记检验;(6)答:不要忘记写。
(二) 应用题的几种类型:
1、行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
例29.甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行7千米,然后改骑自行车,共用了2小时到达
乙地,已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍,求步行的速度和骑自行车的速度.
(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米,已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等,求这个人步行每小时走多少千米?
(3)供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载着所需材料出发,结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍,求这两种车的速度.
2、工程问题 基本公式:工作量=工时×工效。
例30.(1)一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
(2)某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵,工人为支援四化建设,每天比原计划增产,可提前10天完成任务,问原计划日产多少台?
(3)现要装配30台机器,在装配好6台后,采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍,结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.
3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水; v逆水=v静水-v水。
例31.(1)已知轮船在静水中每小时行20千米,如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同,那么此江水每小时的流速是多少千米?
(2)轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等,已知水流速度每小时3千米,求轮船在静水中的速度.
4.数字问题:一个两位数,个位上的数比十位上的数大4,用个位上的数去除这个两位数商是3,求这个两位数.
第二篇:分式知识点总结和练习题讲义
分式知识点总结和题型归纳
第一部分 分式的运算
(一)分式定义及有关题型
题型一:考查分式的定义:
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。
【例1】下列代数式中:,是分式的有: .
题型二:考查分式有意义的条件
分式有意义:分母不为0()
分式无意义:分母为0()
【例1】当有何值时,下列分式有意义
(1) (2) (3) (4) (5)
题型三:考查分式的值为0的条件
分式值为0:分子为0且分母不为0()
【例1】当取何值时,下列分式的值为0.
(1) (2) (3)
【例2】当为何值时,下列分式的值为零:
(1) (2)
题型四:考查分式的值为正、负的条件
分式值为正或大于0:分子分母同号(或)
分式值为负或小于0:分子分母异号(或)
【例1】(1)当为何值时,分式为正;
(2)当为何值时,分式为负;
(3)当为何值时,分式为非负数.
【例2】解下列不等式
(1) (2)
题型五:考查分式的值为1,-1的条件
分式值为1:分子分母值相等(A=B)
分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)
【例1】若的值为1,-1,则x的取值分别为
思维拓展练习题:
1、若a>b>0,+-6ab=0,则
2、一组按规律排列的分式:(ab0),则第n个分式为
3、已知,求的值。
4、已知求分式的值。
(二)分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:
2.分式的变号法则:
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
(1) (2)
题型二:分数的系数变号
【例1】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1) (2) (3)
题型三:化简求值题
【例1】已知:,求的值.
【例2】已知:,求的值.
【例3】若,求的值.
【例4】已知:,求的值.
【例5】若,求的值.
【例6】如果,试化简.
思维拓展练习题
1、对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下:,求2*1+3*2+…+10*9的值
2、已知求代数式的值
(三)分式的运算
① 分式的乘除法法则:
乘法分式式子表示为:
除法分式式子表示为:
② 分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子表示为:
③ 分式的加减法则:
异分母分式加减法:式子表示为:
整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
题型一:通分
1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
【例1】将下列各式分别通分.
(1); (2);
(3); (4)
题型二:约分
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。
【例2】约分:
(1); (2); (3).
题型三:分式的混合运算
【例3】计算:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7)
题型四:化简求值题
【例4】先化简后求值
(1)已知:,求分子的值;
(2)已知:,求的值;
(3)已知:,试求的值.
题型五:求待定字母的值
【例5】若,试求的值.
思维拓展练习题:
1、某工厂通过改造设备,平均每天节约用煤,那么相同数量的煤,现在使用的天数是原来的几倍?
2、若非零实数a,b满足,则
3、若,求的值
4、已知abc=1,求的值
5、已知a,b,c为实数,且,求的值
第二部分 分式方程
分式方程的解的步骤:
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
(一)分式方程题型分析
题型一:用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
(1);(2);(3);(4)
题型二:特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
(1); (2)
提示:(1)换元法,设; (2)裂项法,.
【例3】解下列方程组
题型三:求待定字母的值
【例4】若关于的分式方程有增根,求的值.
【例5】若分式方程的解是正数,求的取值范围.
题型四:解含有字母系数的方程
【例6】解关于的方程
题型五:列分式方程解应用题
1、某服装厂准备加工400套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问:原计划每天加工服装多少套?
2、某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打6折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元。
(1) 求该种纪念4月份的销售价格?
(2) 若4月份销售这种纪念品获得800元,5月份销售这种纪念品获利多少元?
3、河边两地相距50km,,船在静水中的速度是m(km/h),水流速度是n(km/h).
(1)船从河边两地往返一次需要多长时间?
(2)当m=30,n=10时,求船往返一次需要的时间?
4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a(m)的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg
(1)哪种小麦的单位面积产量高?
(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
思维拓展练习题:
1、已知,求的值。
(二)分式方程的特殊解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、交叉相乘法
例1.解方程:
二、化归法
例2.解方程:
三、左边通分法
例3:解方程:
四、分子对等法
例4.解方程:
五、观察比较法
例5.解方程:
六、分离常数法
例6.解方程:
七、分组通分法
例7.解方程:于的分式方程无解,试求的值.
(三)分式方程求待定字母值的方法
题型一:关于无解的情况
例1.若分式方程无解,求的值。
题型二:关于不会有增根的情况
例2.若关于的方程不会产生增根,求的值。
题型三:关于有增根的情况
例3.若关于分式方程有增根,求的值。
例4.若关于的方程有增根,求的值。