转动惯量和切变模量的测量
DH4601A 三线摆和扭摆实验仪
实验讲义
杭州大华科教仪器研究所
杭州大华仪器制造有限公司
转动惯量和切变模量的测量
转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于形状简单的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算其转动惯量。对于形状复杂、质量分布不均匀的刚体，通常利用转动实验来测定其转动惯量。三线摆法和扭转摆法是其中的两种办法。为了便于与理论计算值比较，实验中的被测刚体均采用形状规则的刚体。
［实验目的］
1．加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解；
2．了解用三线摆和扭摆测转动惯量的原理和方法；
3．掌握周期等量的测量方法
［实验装置和原理简介］
一、三线摆
图1是三线摆示意图。上、下圆盘
均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立
柱和底座（图中未画出）支承着。三根
对称分布的等长悬线将两圆盘相连。拨
动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动，
从而带动下圆盘绕中心轴OO＇作扭摆
运动。当下圆盘的摆角θ很小，并且忽
略空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时，
根据能量守恒定律或者刚体转动定律都
可以推出下圆盘绕中心轴OO＇的转动
惯量
为
（1）
式中，m0为下圆盘的质量；r和R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T0为下圆盘的摆动周期，g为重力加速度。北京地区的重力加速度为9.80ms-2。
将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO＇上。测出此时的摆动周期T和上下圆盘间的垂直距离H，则待测刚体和下圆盘对中心轴的总转动惯量J1为
（2）
待测刚体对中心轴的转动惯量J与J0和J1的关系为
J= J1－J0 （3）
利用三线摆可以验证平行轴定理。平行轴定理指出：如果一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为Jc，则这刚体对平行于该轴、且相距为d的另一转轴的转动惯量Jx为
Jx=Jc +md2 （4）
式中，m为刚体的质量。
实验时，将二个同样大小的圆柱体放置在对称
分布于半径为R1的圆周上的二个孔上，如图2所
示。测出二个圆柱体对中心轴OO＇的转动惯量Jx。
如果测得的Jx值与由（4）式右边计算得的结果比
较时的相对误差在测量误差允许的范围内（≤5%），
则平行轴定理得到验证。
二、扭摆
将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。图3表示扭摆的悬挂物为圆盘。在圆盘上施加一外力矩，使之扭转一角度θ。由于悬线上端是固定的，悬线因扭转而产生弹性恢复力矩。外力矩撤去后，在弹性恢复力矩M作用下圆盘作往复扭动。忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有
（5）
式中，
为刚体对悬线轴的转动惯量，
为角加速度。弹性恢复力矩M转角θ的关系为
（6）
式中，K称为扭转模量。它与悬线长度L，悬线直径d及悬线材料的切变模量G有如下关系
（7）
扭摆的运动微分方程为
（8）
可见，圆盘作简谐振动。其周期
为
（9）
若悬线的扭摆模量K已知，则测出圆盘的摆动周期T0后，由（9）式就可计算出圆盘的转动惯量。若K未知，可利用一个对其质心轴的转动惯量J1已知的物体将它附加到圆盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。此复合体对以悬线为轴的转动惯量为J0+J1复合体的摆动周期T为
（10）
由（9）式和（10）式可得
（11）
（12）
测出和T后就可以计算圆盘的转动惯量和悬线的切变模型G。
图 3 扭摆
圆环对悬线轴的转动惯量J1有以下计算
（13）
式中，m1为圆环的质量；D1和D2分别为圆环的内直径和外直径。
［实验任务］
1、用三线摆测定下圆盘对中心轴OO＇的转动惯量和圆柱体对其质心轴的转动惯量。要求测得的圆柱体的转动惯量值与理论计算值（
，r1为圆柱体半径）之间的相对误差不大于5%。
2、用三线摆验证平行轴定理。
3、用扭摆测定圆盘的转动惯量和切变模量。
［实验仪器］
三线摆及扭摆实验仪、水准仪、米尺、游标卡尺、物理天平及待测物体等。
［仪器使用］
1、打开电源，程序预置周期为T=30（数显），即：挡光杆来回经过光电门的次数为T=2n+1次。
2、据具体要求，若要设置10次，先按“置数”开锁，再按下调（或上调）改变周期T，再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态，这时显示的是计数的次数；当物体经过光电门的周期次数达到设定值，数显将显示具体时间，单位“秒”。须再执行“10”周期时，无须重设置，只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“10”，再按“执行”键，便可以第二次计时。
（当断电再开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步骤）
［实验注意事项］
1、测量前，根据水准泡的指示，先调整三线摆底座台面的水平，再调整三线摆下圆盘的水平。测量时，摆角θ尽可能小些，以满足小角度近似。防止三线摆和扭摆在摆动时发生晃动，以免影响测量结果。
2、测量周期时应合理选取摆动次数。对三线摆，测得R、r、m0和H0后，由（1）式推出J0的相对误差公式，使误差公式中的2?T0/ T0项对?J0/J0的影响比其它误差项的影响小作为依据来确定摆动次数。估算时，?m0取0.02g ，时间测量误差?t取0.03s ，?R、?r和?H0可根据实际情况确定。对于扭摆，先由（13）式估算J1的相对误差，然后由（11）式推出J0的相对误差公式。根据使T0或（T）的相对误差项对?J0/J0的贡献比J1的相对误差贡献小的原则，确定摆动次数。估算时，?m1取0.02g ，?D1和?D2均取0.04mm ，J0取400g?cm2，?t取0.03s ，T0和T1可先大概测出。
［思考题］
1、三线摆在摆动过程中要受到空气的阻尼，振幅会越来越小，它的周期是否会随时间而变？
2、在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期是否一定比不加时的周期大？试根据（1）式和（2）式分析说明之。
3、如果三线摆的三根悬线与悬点不在上、下圆盘的边缘上，而是在各圆盘内的某一同心圆周上，则（1）式和（2）式中的r和R各应为何值？
4、证明三线摆的机械能为
，并求出运动微分方程，从而导出（1）式。
第二篇：用三线摆测物体的转动惯量
用三线摆测物体的转动惯量
实验目的
（1） 学会用三线摆物体的转动惯量
（2） 验证转动惯量的平行轴定理
实验原理
1. 测悬盘绕中心轴转动时的转动惯量I0：
设下圆盘P质量为
，当它绕中心轴
作小角度扭动
时，圆盘位置升高h，它的势能为
，这时圆盘角速度为
，则圆盘动能为
，根据机械能守恒，有：
（1）
在扭转角较小时，升高的距离h可近似等于：
，其中R为下圆盘悬线距圆心距离，r为上圆盘悬线距圆心距离，H为两圆盘距离。代入（1）式并对t微分得：
即
这是一简谐运动方程，由此方程可得转动周期T0满足：
由此得出： 
2. 测圆环绕中心轴转动的转动惯量I1：
把质量为m1的圆环放在悬盘上，使两者圆心重合，组成一个系统，测得它们绕作小角度扭动时周期为T1，根据相同的推导过程可得这个系统的转动惯量为： 
则圆环绕轴转动的转动惯量为：
3. 验证平行轴定理
设某刚体的质心通过轴线，刚体绕这个轴线的转动惯量为IC，如果将此刚体与其质心在转动平面内平移距离d，移后刚体对轴的转动惯量为
，这个关系称为平行轴定理。若将两个质量都为m2的形状完全相同的圆柱体对称地放置在悬盘上，圆柱体离中心轴线的距离为x，测出两圆柱体与悬盘这个系统绕中心轴扭动的周期TX，则两圆柱体此时的转动惯量为：
，与理论值
比较，即可验证平行轴定理。
主要器材
三线摆、米尺、游标卡尺、天平、数字毫秒计、待测物
实验步骤
一、调整三线摆装置：
1. 利用上圆盘上的三个调节螺丝，使三悬线等长，并固定紧定螺钉。再用米尺，测量悬线的长度。
2. 观察下圆盘中心的水准器，并调节底板上三个调节螺钉，使下圆盘处于水平状态
3. 调整底板左上方的光电传感接收装置，使下圆盘边上的当光杆能自由往返通过光电门
二、测量周期T0，T1，TX：
1. 接通数字毫秒计，把光电接收装置和毫秒计连接，设置测量次数为20次
2. 在下圆盘处于静止状态下，拨动上圆盘的转动手柄，将上圆盘转过一个小角度（小于5º），使悬盘扭动。悬盘扭动时，其质心只能上下移动。摆动若干次后，按下毫秒计上的“执行”键，记录摆动20次周期的时间后结束，记录数据，重复测量5次。
3. 将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线重合，然后按照2中的方法测量摆动周期T1，重复测量5次，记录数据
4. 拿开圆环，将两小圆柱体对称地放在悬盘上，用同样的方法测量摆动周期TX
5. 分别测出上下圆盘悬点之间的距离a和b，算出悬点到中心的距离r和R
6. 测量其他物理量：用米尺测出上下圆盘之间的距离H0和放置两小圆柱体小孔间距2x，用游标卡尺测出待测圆环的内径、外径和小圆柱体的直径。记录各刚体的质量。
实验数据表格
累积法测周期数据表格 （单位：s）
下盘质量
圆环质量
圆柱体质量
有关长度的多次测量数据
1. 悬盘对中心转轴的转动惯量I0
实验值：
理论值：
相对误差：
2. 测定圆环对中心轴转动惯量I1
实验值：
理论值：
相对误差：
3. 验证平行轴定理
实验值：
理论值：
相对误差：