公务员数学公式总结

1.1基础数列类型

①常数数列 如7，7，7，7，7，7，7，7，……

②等差数列 如11，14，17，20，23，26，……

③等比数列 如16，24，36，54，81，……

④周期数列 如2，5，3，2，5，3，2，5，3，……

⑤对称数列 如2，5，3，0，3，5，2，……

⑥质数数列 如2，3，5，7，11，13，17

⑦合数数列 如4，6，8，9，10，12，14

注意：1既不是质数也不是合数

1.2 200以内质数表

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199

1.3 整除判定

能被2整除的数，其末尾数字是2的倍数（即偶数）

能被3整除的数，各位数字之和是3的倍数

能被5整除的数，其末尾数字是5的倍数（即5、0）

能被4整除的数，其末两位数字是4的倍数

能被8整除的数，期末三位数字是8的倍数

能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数

能被25整除的数，其末两位数字是25的倍数

能被125整除的数，其末三位数字125的倍数

1.4 经典分解

91=7×13          111=3×37           119=7×17

133=7×19          117=9×13           143=11×13

147=7×21          153=9×17           161=7×23

171=9×19          187=11×17          209=19×11

1.5常用平方数

1.6常用立方数

1.7 典型幂次数

1.8常用阶乘数

2.1 浓度问题

1.混合后溶液的浓度，应介于混合前的两种溶液浓度之间。

2.浓度=溶质÷溶液

2.2 代入排除法

1   奇数+奇数=偶数

奇数-奇数=偶数

偶数+偶数=偶数

偶数-偶数=偶数

奇数+偶数=奇数

奇数-偶数=奇数

2.

①任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

②任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差事偶数，则两数奇偶相同。

3.余数特性

①一个数被2除得的余数，就是其末一位数字被2除得的余数

②一个数被5除得的余数，就是其末一位数字被5除得的余数

③一个数被4除得的余数，就是其末两位数字被4除得的余数

④一个数被8除得的余数，就是其末三位数字被8除得的余数

⑤一个数被25除得的余数，就是其末两位数字被25除得的余数

⑥一个数被125除得的余数，就是其末三位数字被125除得的余数

⑦一个数被3除得的余数，就是其各位数字相加后被3除得的余数

⑧一个数被9除得的余数，就是其个位数字相加后被9除得的余数

2.3 计算问题

1.平方差

2.完全平方和

3.完全平方差

4.立方和

5.立方差

6.完全立方和

7.完全立方差

8.等比数列求和

 （q≠1）

9.循环数

198198198=198×1001001

2134213421342134=2134×1000100010001

检查：规律：有多少个循环数，就有多少个1，1之间0的个数是循环数位数-1

例如2134213421342134，中有“2134”四个，所以应该有4个1，同时2134为四位数，所以两个1之间应该有三个0，所以为100100010001

10.乘方尾数口诀

底数留个位，指数除以4留余数（余数为0，则看做4）

例如1999¹⁹⁹⁸的末尾数字为：底数留个位，所以底数为9；指数除以4留余数，1998除以4的余数为2，所以最后为9²=81，因此末尾数字为1

11.韦达定理

其中x₁和x₂是这个方程的两个根，则：

x1+x2=

x1×x2=

逆推理：

如果 a+b=m  a×b=n

则a、b是的两个根。

5.4 行程问题

1.路程=速度×时间

2.相向运动：速度取和；同向运动：速读取差

3促进运动：速读取和；阻碍运动，速度取差

5.5 工程问题

工作总量=工作效率×工作时间

5.6 几何问题

1.常用周长公式：

正方形周长

长方形周长

圆形周长

2.常用面积公式

正方形面积

长方形面积

圆形面积

三角形面积

平行四边形面积

梯形面积

扇形面积

3.常用表面积公式

正方体表面积

长方体表面积

球表面积

圆柱体表面积

4.常用体积公式

正方体体积

长方体体积

球的体积

圆柱体体积

圆锥体体积

5.几何图形放缩性质

若将一个图形扩大至原来的N倍，则：对应角度仍为原来的1倍；对应长度变为原来的N倍；面积变为原来的N²倍；体积变为原来的N³倍。

6.几何最值理论

1．平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。

2．平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。

3．立体图形中，若表面积一定，越接近于球体，体积越大。

4．立体图形中，若体积一定，越接近于球体，表面积越小。

7.三角形三边关系

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

题目中例8非常重要。

5.7 容斥原理

1．两集合标准型核心公式

满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数

2．三集合标准核心公式

3．三集合整体重复型核心公式

假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的数量为y，满足三个条件的数量为z，从而有下面两个等式：

W=x+y+z

A+B+C=x×1+y×2+z×3

5.8排列组合问题

1.排列公式：

2.组合公式：

3.“捆绑插空法”核心提示

相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视其为一个整体与剩余元素全排列；

不邻问题——插空法：现将剩余元素全排列，然后将不邻元素有序插入所成间隙中。

4.对抗赛比赛场次基本公式

淘汰赛——①仅需决出冠亚军                      比赛场次=N-1

          ②需决出1、2、3、4                    比赛场次=N

循环赛——①单循环（任意两个队打一场比赛）      比赛场次=

          ②双循环赛（任意两个队打两场比赛）    比赛场次=

5.9 概率问题

1.单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数

2.某条件成立概率=1-该条件不成立的概率

3.总体概率=满足条件的各种情况概率之和

4.分布概率=满足条件的每个步骤概率之积

5.条件概率：“A成立”时“B成立的概率”=A、B同时成立的概率÷A成立的概率

5.10 边端问题

1.段数公式：段数=总长÷株距

2.线性植树：单边植树：棵树=段数+1

           双边植树：棵树=（段数+1）×2

3.楼间植树：单边植树 棵树=段数-1

           双边植树 棵树=（段数-1）×2

4.环形植树：单边植树 棵树=段数

            双边植树 棵树=段数×2

5.方阵问题核心法则：

人数公式：N层实心方阵的人数=N²

外周公式：N层方阵最外层人数=（N-1）*4

对于三角阵、五边阵的情况可以此类推

6.过河问题核心法则：

①M个人过河，船上能载N个人，由于需要一个人划船，共需往返次（需要×2）

②“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程

③载人过河的时候，最后一次不再需要返回。

5.12初等数学问题

1.同余问题

余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期

例如：①一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为60n+1

      ②一个数除以4余3，除以5与2，除以6余1，则取7，表示为60n+7

      ③一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，则取3，表示为60n+3

2.等差数列核心公式

求和公式：

项数公式：

级差公式：

通项公式：

5.13 年龄问题

1.基本知识点

①每过N年，每个人都长N岁

②两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的

③两个人的年龄之间的倍数随着时间的推移而变小。

2.平均分段法

例如：甲对乙说：当我岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数是你现在岁数的时候，你是67岁，则现在甲乙各多少岁？

画出如下图：

67-------------------甲-------乙----------------------4

67-4=63，即相差了63

67-甲-乙-4，共有三段，所以每段为63÷3=21

所以乙=4+21=25岁

所以甲=25+21=46岁

5.14 统筹问题

1.“非闭合”货物集中问题

判断每条“路”的两侧的货物总重量，在在这条路上一定是从轻的一侧流向重的一侧。

特别提示：①本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中

              ②本法则的应用，与各条路径的长短没有关系

          ③我们应该从中间开始分析，这样可以更快。

2.货物装卸为题

如果有M辆车和（N>M）个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M各工厂所需的装卸工之和。（若M>=N，则需要把各个点上的人加起来即答案）

排列数公式：P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）

组合数公式：C＝P÷P＝（规定＝1）。

“装错信封”问题：D₁＝0，D₂＝1，D₃＝2，D₄＝9，D₅＝44，D₆＝265，

年龄问题：关键是年龄差不变；

   几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄

   几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差

日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。

植树问题

        （1）线形植树：棵数＝总长间隔＋1

        （2）环形植树：棵数＝总长间隔

        （3）楼间植树：棵数＝总长间隔－1

        （4）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2^N×M＋1）段

鸡兔同笼问题：

        鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

       （一般将“每”量视为“脚数” ）

    得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：

不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

          ＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

例：“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”

解：（4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个）

盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈：   （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏：   （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数

例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数  
            10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
钟表问题：

钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的，分针每小时可追及

     时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180^o22次。

公务员常用数学公式汇总

常用数学公式汇总

一、基础代数公式

1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a²－b²

2. 完全平方公式：（a±b）²＝a²±2ab＋b²

    完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a² ab+b²)

3. 同底数幂相乘: a^m×aⁿ＝a^m＋n（m、n为正整数，a≠0）

同底数幂相除：a^m÷aⁿ＝a^m－n（m、n为正整数，a≠0）

a⁰＝1（a≠0）

a^-p＝ （a≠0，p为正整数）

4. 等差数列：

    （1）s_n ＝ ＝na₁+ n(n-1)d；

（2）a_n＝a₁＋（n－1）d；

（3）n ＝ ＋1；

（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；

（5）若m+n=k+i，则：a_m+a_n=a_k+a_i；

（其中：n为项数，a₁为首项，a_n为末项，d为公差，s_n为等差数列前n项的和）

5. 等比数列：

    （1）a_n＝a₁q^－1；

（2）s_n ＝ （q 1）

（3）若a,G,b成等比数列，则：G²＝ab；

（4）若m+n=k+i，则：a_m·a_n=a_k·a_i ；

（5）a_m-a_n=(m-n)d

（6） ＝q^(m-n)

（其中：n为项数，a₁为首项，a_n为末项，q为公比，s_n为等比数列前n项的和）

6.一元二次方程求根公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

其中：x₁= ；x₂= （b²-4ac 0）

根与系数的关系：x₁+x₂=- ，x₁·x₂=

二、基础几何公式

1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两

边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；

（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。

（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。

（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

（5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。

     重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。

     垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。

     外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。外心到三角形的三个顶点的距离相等。

直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。
直角三角形的性质：

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
（5）直角三角形中，c²＝a²＋b²（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；

（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；

直角三角形的判定：

（1）有一个角为90°；

（2）边上的中线等于这条边长的一半；

（3）若c²＝a²＋b²，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；

2. 面积公式：

    正方形＝边长×边长；

    长方形＝ 长×宽；

    三角形＝ × 底×高；

    梯形 ＝ ；

    圆形 ＝ R²

平行四边形＝底×高

扇形 ＝ R²

正方体＝6×边长×边长

    长方体＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高）；

    圆柱体＝2πr²＋2πrh；

    球的表面积＝4 R²

3. 体积公式

   正方体＝边长×边长×边长；

    长方体＝长×宽×高；

    圆柱体＝底面积×高＝Sh＝πr²h

    圆锥 ＝ πr²h

    球    ＝

4. 与圆有关的公式

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：

（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；

（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；

（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；

线与圆的位置关系的性质和判定：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么：

（1）直线 与⊙O相交：d﹤r；

（2）直线 与⊙O相切：d＝r；

（3）直线 与⊙O相离：d﹥r；

圆与圆的位置关系的性质和判定：

设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：

（1）两圆外离： ；

（2）两圆外切： ；

（3）两圆相交： （ ）；

（4）两圆内切： （ ）；

（5）两圆内含： （ ）．

圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926≈ ）；

的圆心角所对的弧长 的计算公式： ＝ ；

扇形的面积：（1）S_扇＝ πR²；（2）S_扇＝ R；

若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S_侧＝πr ；

圆锥的体积：V＝ Sh＝ πr²h。

三、其他常用知识

1． 2^X、3^X、7^X、8^X的尾数都是以4为周期进行变化的；4^X、9^X的尾数都是以2为周期进行变化的；

另外5^X和6^X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。

2． 对任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b。

当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b。

当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b。

对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果

a＞C，且C＞b，则我们说a＞b。

3． 工程问题：

工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；

工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；

注：在解决实际问题时，常设总工作量为1。

4． 方阵问题：

（1）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）²

               最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4

（2）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每边人数）²-（最外层每边人数-2×层数）²

＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

    解：（10－3）×3×4＝84（人）

5． 利润问题：

（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；

利润率＝ ＝ ＝ －1；

销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。

（2）单利问题

利息＝本金×利率×时期；
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
年利率÷12=月利率；
月利率×12=年利率。

例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

         解：用月利率求。3年=12月×3=36个月
2400×（1+10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）

6． 排列数公式：P ＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）

组合数公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1）。

“装错信封”问题：D₁＝0，D₂＝1，D₃＝2，D₄＝9，D₅＝44，D₆＝265，

7. 年龄问题：关键是年龄差不变；

   几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄

   几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差

8. 日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。

9. 植树问题

        （1）线形植树：棵数＝总长 间隔＋1

        （2）环形植树：棵数＝总长 间隔

        （3）楼间植树：棵数＝总长 间隔－1

        （4）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2^N×M＋1）段

10. 鸡兔同笼问题：

        鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

       （一般将“每”量视为“脚数” ）

    得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：

不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

          ＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

例：“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”

解：（4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个）

11．盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈：   （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏：   （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数

例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数  
            10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
12.行程问题：

（1）平均速度：平均速度＝

（2）相遇追及：

     相遇（背离）：路程÷速度和＝时间

            追及：路程÷速度差＝时间

（3）流水行船：

     顺水速度＝船速＋水速；

逆水速度＝船速－水速。

两船相向航行时，甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。

（4）火车过桥：

    列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度

    列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度

（5）多次相遇：

    相向而行，第一次相遇距离甲地a千米，第二次相遇距离乙地b千米，则甲乙两地相距

    S＝3a-b（千米）

（6）钟表问题：

钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及

     时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180^o22次。

20##国家公务员常用数学公式汇总
一、基础代数公式
1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b2
2. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2
完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)
3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）
同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）
a0＝1（a≠0）
a-p＝ （a≠0，p为正整数）
4. 等差数列：
（1）sn ＝ ＝na1+ n(n-1)d；
（2）an＝a1＋（n－1）d；
（3）n ＝ ＋1；
（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；
（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；
（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）
5. 等比数列：
（1）an＝a1q－1；
（2）sn ＝ （q 1）
（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；
（4）若m+n=k+i，则：am?an=ak?ai ；
（5）am-an=(m-n)d
（6） ＝q(m-n)
（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）
6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）
根与系数的关系：x1+x2=- ，x1?x2=
二、基础几何公式
1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两
边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；
（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
（5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。
重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。
垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。
外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。外心到三角形的三个顶点的距离相等。
直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；
（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；
直角三角形的判定：
（1）有一个角为90°；
（2）边上的中线等于这条边长的一半；
（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
2. 面积公式：
正方形＝边长×边长；
长方形＝ 长×宽；
三角形＝ × 底×高；
梯形 ＝ ；
圆形 ＝ R2
平行四边形＝底×高
扇形 ＝ R2
正方体＝6×边长×边长
长方体＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高）；
圆柱体＝2πr2＋2πrh；
球的表面积＝4 R2
3. 体积公式
正方体＝边长×边长×边长；
长方体＝长×宽×高；
圆柱体＝底面积×高＝Sh＝πr2h
圆锥 ＝ πr2h
球 ＝
4. 与圆有关的公式
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：
（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；
（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；
（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；
线与圆的位置关系的性质和判定：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么：
（1）直线 与⊙O相交：d﹤r；
（2）直线 与⊙O相切：d＝r；
（3）直线 与⊙O相离：d﹥r；
圆与圆的位置关系的性质和判定：
设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：
（1）两圆外离： ；
（2）两圆外切： ；
（3）两圆相交： （ ）；
（4）两圆内切： （ ）；
（5）两圆内含： （ ）．
圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926≈ ）；
的圆心角所对的弧长 的计算公式： ＝ ；
扇形的面积：（1）S扇＝ πR2；（2）S扇＝ R；
若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πr ；
圆锥的体积：V＝ Sh＝ πr2h。
三、其他常用知识
1． 2X、3X、7X、8X的尾数都是以4为周期进行变化的；4X、9X的尾数都是以2为周期进行变化的；
另外5X和6X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。
2． 对任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b。
当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b。
当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b。
对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果
a＞C，且C＞b，则我们说a＞b。
3． 工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；
注：在解决实际问题时，常设总工作量为1。
4． 方阵问题：
（1）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2
最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
（2）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2
＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解：（10－3）×3×4＝84（人）
5． 利润问题：
（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；
利润率＝ ＝ ＝ －1；
销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。
（2）单利问题
利息＝本金×利率×时期；
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
年利率÷12=月利率；
月利率×12=年利率。
例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”
解：用月利率求。3年=12月×3=36个月
2400×（1+10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）
6． 排列数公式：P ＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）
组合数公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1）。
“装错信封”问题：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，
7. 年龄问题：关键是年龄差不变；
几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄
几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
8. 日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。
9. 植树问题
（1）线形植树：棵数＝总长 间隔＋1
（2）环形植树：棵数＝总长 间隔
（3）楼间植树：棵数＝总长 间隔－1
（4）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段
10. 鸡兔同笼问题：
鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
（一般将“每”量视为“脚数” ）
得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：
不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
例：“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”
解：（4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个）
11．盈亏问题：
（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（2）两次都有盈： （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数
（3）两次都是亏： （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数
（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数
例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
12.行程问题：
（1）平均速度：平均速度＝
（2）相遇追及：
相遇（背离）：路程÷速度和＝时间
追及：路程÷速度差＝时间
（3）流水行船：
顺水速度＝船速＋水速；
逆水速度＝船速－水速。
两船相向航行时，甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。
（4）火车过桥：
列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度
（5）多次相遇：
相向而行，第一次相遇距离甲地a千米，第二次相遇距离乙地b千米，则甲乙两地相距
S＝3a-b（千米）
（6）钟表问题：
钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及
时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次

以下公务员常用数学公式汇总，引用自：数学公式大全

一、基础代数公式

1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b2

2. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2

    完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab b2)

3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）

同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）

a0＝1（a≠0）

a-p＝ （a≠0，p为正整数）

4. 等差数列：

    （1）sn ＝ ＝na1 n(n-1)d；

（2）an＝a1＋（n－1）d；

（3）n ＝ ＋1；

（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a b；

（5）若m n=k i，则：am an=ak ai ；

（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公役，sn为等差数列前n项的和）

5. 等比数列：

    （1）an＝a1q－1；

（2）sn ＝ （q 1）

（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；

（4）若m n=k i，则：am·an=ak·ai ；

（5）am-an=(m-n)d

（6） ＝q(m-n)

（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）

6.一元二次方程求根公式：ax2 bx c=a(x-x1)(x-x2)

其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）

根与系数的瓜葛：x1 x2=- ，x1·x2=

二、基础几何公式

1. 三角学形：不在同一直线上的三点可以构成1个三角学形；三角学形内角和等于180°；三角学形中任两

边之和大于第三边、任双方之差小于第三边；

（1）角等分线：三角学形1个的角的等分线和这个角的对于边相交，这个角的顶点和相交的点之间的线段,叫做三角学形的角的等分线。

（2）三角学形的中线：保持三角学形1个顶点和它对于边中点的线段叫做三角学形的中线。

（3）三化学公式角学形的高：三角学形1个顶点到它的对于边所在直线的垂线段，叫做三角学形的高。

（4）三角学形的中位线：保持三角学形双方中点的线段，叫做三角学形的中位线。

（5）心田：角等分线的相交的点叫做心田；心田到三角学形三边的距离相等。

     重心：中线的相交的点叫做重心；重心到每一边中点的距离等于这边中线的三分之一。

     垂线：高线的相交的点叫做垂线；三角学形的1个顶点与垂心串线必垂直于对于边。

     外心：三角学形三边的垂直等分线的相交的点，叫做三角学形的外心。外心到三角学形的三个顶点的距离相等。

直角三角学形：有1个角为90度的三角学形，就是直角三角学形。
直角三角学形的性质：

（1）直角三角学形两个锐角互为余角；

（2）直角三角学形斜边上的中线等于斜边的半壁；
（3）直角三角学形中，如果有1个锐角等于30°，那么它所对于的直角边等于斜边的一般；
（4）直角三角学形中，如果有一条直角边等于斜边的半壁，那么这条直角边所对于的锐角是30°；
（5）直角三角学形中，c2＝a2＋b2（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；

（6）直角三角学形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；

直角三角学形的判定：

（1）有1个角为90°；

（2）边上的中线等于这条边长的半壁；

（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角学形是直角三角学形；

2. 面积公式：

    正方＝边长×边长；

    长方形＝ 长×宽；

    三角学形＝ × 底×高；

    梯形 ＝ ；

    圆形 ＝ R2

   平行四边形＝底×高

   扇形 ＝ R2

正方体＝6×边长×边长

    长方体＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高）；

    圆柱体＝2πr2＋2πrh；

    球的表面积＝4 R2

3. 体积公式

   正方体＝边长×边长×边长；

    长方体＝长×宽×高；

    圆柱体＝底面积×高＝Sh＝πr2h

    圆锥 ＝ πr2h

    球    ＝

4. 与圆有关的公式

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：

（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；

（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；

（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；

线与圆的位置关系的公式：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么：

（1）直线 与⊙O相交：d﹤r；

（2）直线 与⊙O相切：d＝r；

（3）直线 与⊙O相离：d﹥r；

圆与圆的位置关系的公式：

设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：

（1）两圆外离： ；

（2）两圆外切： ；

（3）两圆相交： （ ）；

（4）两圆内切： （ ）；

（5）两圆内含： （ ）．

圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926≈ ）；

的圆心角所对于的弧长 的计算公式： ＝ ；

扇形的面积：（1）S扇＝ πR2；（2）S扇＝ R；

若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πr ；

圆锥的体积：V＝ Sh＝ πr2h。

三、其他常用知识

1． 2X、3X、7X、8X的尾数都因此4为周期进行变化的；4X、9X的尾数都因此2为周期进行变化的；

另外5X和6X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。

2． 对于任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b。

当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b。

当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b。

对于任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小的，我们只要截取中间值C，如果

a＞C，且C＞b，则我们说a＞b。

3． 工程问题：

工程量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；

工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；

注：在解决实际问题时，常设总工作量为1。

4． 方阵问题：

（1）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每一边人数）2

               最外层人数＝（最外层每一边人数－1）×4

（2）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每一边人数）2-（最外层每一边人数-2×层数）2

＝（最外层每一边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

例：有1个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

    解：（10－3）×3×4＝84（人）

5． 利润问题：

（1）利润＝发卖价（卖出价）－成本；

利润率＝ ＝ ＝ －1；

发卖价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。

（2）单利问题

利息＝本金×利率×时期；
本利和＝本金＋利息＝本金×（1 利率×时期）；
本金＝本利和÷（1 利率×时期）。
年利率÷12=月息率；
月息率×12=年利率。

例：某人存款2400元，存期3年，月息率为10．2‰（即月息1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

         解：用月息率求。3年=12月×3=3六个月
2400×（1 10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）

6． 摆列数公式：P ＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）

组合数公式：C ＝P ÷P ＝（划定 ＝1）。

“装错信封”问题：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，

7. 春秋问题：要害是春秋差稳定；

   几年后春秋＝大小春秋差÷倍数差－小春秋

   几年前春秋＝小春秋－大小春秋差÷倍数差

8. 日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1、3、五、7、8、10、12月都是31天，四、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。

9. 植树问题

        （1）线形植树：棵数＝总长 间隔＋1

        （2）环形植树：棵数＝总长 间隔

        （3）楼间植树：棵数＝总长 间隔－1

        （4）剪绳问题：对于折N次，从其中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段

10. 鸡兔同笼问题：

        鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

       （一般将“每一”量视为“脚数” ）

    得掉问题（鸡兔同笼问题的推广）：

不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总额-实得总分数）÷（每一只合格品得分数 每一只不合格品扣分数）

          ＝总产品数-（每一只不合格品扣分数×总产品数 实得总分数）÷（每一只合格品得分数 每一只不合格品扣分数）

例：“灯胆厂出产灯胆的工人，按得分的多少给工资。每一出产1个合格品记4分，每一出产1个不合格品不仅不记分，还要扣减15分。某工人出产了1000只灯胆，共得3525分，问其中有多少个灯胆不合格？”

解：（4×1000-3525）÷（4 15） =475÷19=25（个）

11．盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈 亏）÷（两次每一人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈：   （大盈-小盈）÷（两次每一人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏：   （大亏-小亏）÷（两次每一人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每一人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每一人分配数的差）=人数

例：“小伴侣分桃子儿，每一人10个少9个，每一人8个多7个。问：有多少个小伴侣和多少个桃子儿？”
解（7 9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数  
            10×8-9=80-9=71（个）………………桃子儿
12.行程问题：

（1）平均速度：平均速度＝

（2）相遇追及：

     相遇（背离）：旅程÷速度和＝时间

            追及：旅程÷速度差＝时间

（3）水流行船：

     顺水速度＝船速＋水速；

逆水速度＝船速－水速。

两船相向航行时，甲船顺水速度 乙船逆水速度=甲船静水速度 乙船静水速度
两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。

（4）火车过桥：

    列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度

    列车从起头上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度

（5）屡次相遇：

    相向而行，熬头次相遇距离甲地a千米，第二次相遇距离乙地b千米，则甲乙两地相距

    S＝3a-b（千米）

（6）钟表问题：

钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每一钟头可追及

     时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次。

常用数学公式汇总

一、基础代数公式

1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a²－b²

2. 完全平方公式：（a±b）²＝a²±2ab＋b²

    完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a² ab+b²)

3. 同底数幂相乘: a^m×aⁿ＝a^m＋n（m、n为正整数，a≠0）

同底数幂相除：a^m÷aⁿ＝a^m－n（m、n为正整数，a≠0）

a⁰＝1（a≠0）

a^-p＝ （a≠0，p为正整数）

4. 等差数列：

    （1）s_n ＝ ＝na₁+ n(n-1)d；

（2）a_n＝a₁＋（n－1）d；

（3）n ＝ ＋1；

（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；

（5）若m+n=k+i，则：a_m+a_n=a_k+a_i；

（其中：n为项数，a₁为首项，a_n为末项，d为公差，s_n为等差数列前n项的和）

5. 等比数列：

    （1）a_n＝a₁q^－1；

（2）s_n ＝ （q 1）

（3）若a,G,b成等比数列，则：G²＝ab；

（4）若m+n=k+i，则：a_m·a_n=a_k·a_i ；

（5）a_m-a_n=(m-n)d

（6） ＝q^(m-n)

（其中：n为项数，a₁为首项，a_n为末项，q为公比，s_n为等比数列前n项的和）

6.一元二次方程求根公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

其中：x₁= ；x₂= （b²-4ac 0）

根与系数的关系：x₁+x₂=- ，x₁·x₂=

二、基础几何公式

1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两

边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；

（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。

（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。

（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

（5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。

     重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。

     垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。

     外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。外心到三角形的三个顶点的距离相等。

直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。
直角三角形的性质：

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
（5）直角三角形中，c²＝a²＋b²（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；

（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；

直角三角形的判定：

（1）有一个角为90°；

（2）边上的中线等于这条边长的一半；

（3）若c²＝a²＋b²，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；

2. 面积公式：

    正方形＝边长×边长；

    长方形＝ 长×宽；

    三角形＝ × 底×高；

    梯形 ＝ ；

    圆形 ＝ R²

平行四边形＝底×高

扇形 ＝ R²

正方体＝6×边长×边长

    长方体＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高）；

    圆柱体＝2πr²＋2πrh；

    球的表面积＝4 R²

3. 体积公式

   正方体＝边长×边长×边长；

    长方体＝长×宽×高；

    圆柱体＝底面积×高＝Sh＝πr²h

    圆锥 ＝ πr²h

    球    ＝

4. 与圆有关的公式

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：

（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；

（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；

（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；

线与圆的位置关系的性质和判定：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么：

（1）直线 与⊙O相交：d﹤r；

（2）直线 与⊙O相切：d＝r；

（3）直线 与⊙O相离：d﹥r；

圆与圆的位置关系的性质和判定：

设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：

（1）两圆外离： ；

（2）两圆外切： ；

（3）两圆相交： （ ）；

（4）两圆内切： （ ）；

（5）两圆内含： （ ）．

圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926≈ ）；

的圆心角所对的弧长 的计算公式： ＝ ；

扇形的面积：（1）S_扇＝ πR²；（2）S_扇＝ R；

若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S_侧＝πr ；

圆锥的体积：V＝ Sh＝ πr²h。

三、其他常用知识

1． 2^X、3^X、7^X、8^X的尾数都是以4为周期进行变化的；4^X、9^X的尾数都是以2为周期进行变化的；

另外5^X和6^X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。

2． 对任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b。

当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b。

当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b。

对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果

a＞C，且C＞b，则我们说a＞b。

3． 工程问题：

工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；

工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；

注：在解决实际问题时，常设总工作量为1。

4． 方阵问题：

（1）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）²

               最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4

（2）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每边人数）²-（最外层每边人数-2×层数）²

＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

    解：（10－3）×3×4＝84（人）

5． 利润问题：

（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；

利润率＝ ＝ ＝ －1；

销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝ 。

（2）单利问题

利息＝本金×利率×时期；
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
年利率÷12=月利率；
月利率×12=年利率。

例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

         解：用月利率求。3年=12月×3=36个月
2400×（1+10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元）

6． 排列数公式：P ＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）

组合数公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1）。

“装错信封”问题：D₁＝0，D₂＝1，D₃＝2，D₄＝9，D₅＝44，D₆＝265，

7. 年龄问题：关键是年龄差不变；

   几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄

   几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差

8. 日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。

9. 植树问题

        （1）线形植树：棵数＝总长 间隔＋1

        （2）环形植树：棵数＝总长 间隔

        （3）楼间植树：棵数＝总长 间隔－1

        （4）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2^N×M＋1）段

10. 鸡兔同笼问题：

        鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

       （一般将“每”量视为“脚数” ）

    得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：

不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

          ＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）

例：“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”

解：（4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个）

11．盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈：   （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏：   （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数

例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数  
            10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
12.行程问题：

（1）平均速度：平均速度＝

（2）相遇追及：

     相遇（背离）：路程÷速度和＝时间

            追及：路程÷速度差＝时间

（3）流水行船：

     顺水速度＝船速＋水速；

逆水速度＝船速－水速。

两船相向航行时，甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。

（4）火车过桥：

    列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度

    列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度

（5）多次相遇：

    相向而行，第一次相遇距离甲地a千米，第二次相遇距离乙地b千米，则甲乙两地相距

    S＝3a-b（千米）

（6）钟表问题：

钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及

     时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180^o22次。