W一次函数知识点总结

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

1-12例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=x (4)y=2-3x (5)y=x-1中，是一次

函数的有（ ）

（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。（x的取值范围）

一 次 函 数

1.．自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数） 则此时称y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为任意不为零实数）

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。

2. 当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数性质：

1 在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

2 一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

应用

一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。

一、确定字母系数的取值范围

例1. 已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。

二、比较x值或y值的大小

例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）

A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定

解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

判断函数图象的位置

例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 典型例题:

例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.

解：由题意设所求函数为y=kx+12

则13.5=3k+12，得k=0.5

∴所求函数解析式为y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：x=22

∴自变量x的取值范围是0≤x≤22

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）

A．y=

函数 B．y= C．y= D．y=· 中自变量x的取值范围是___________. 已知函数，当时，y的取值范围是 （ ） A. B. C. D.

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

必过点：（0，0）、（1，k）

走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限

增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

例题：.正比例函数

若，当m 时，y随x的增大而增大. 是正比例函数，则b的值是 （ ） A.0 B. C. D.

.函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( ) A. B. C. D.

东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．

平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．

10、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,

它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)

（2）必过点：（0，b）和（-，0）

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限

直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限

直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

例题：若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .

.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 . 若直线和直线的交点坐标为(),则____________. 已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）

Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1

11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），

.即横坐标或纵坐标为0的点.

若A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2

（2）两直线相交：k1k2

（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

确定一次函数的表达式

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

y1=kx1+b ?? ① 和 y2=kx2+b ?? ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

第二篇：新人教八年级数学一次函数知识点总结

一、常量与变量

在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。

实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。（注意“π”是常量）

二、自变量与函数

在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。

判断两个变量是否有函数关系就是“看对于自变量的每一个确定的值，函数值是否有惟一确定的值和它对应。”

三、函数值

如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。

四、表示函数的方法

方法（一）解析式法。

方法（二）列表法

方法（三）图像法

五、自变量的取值范围

在一个变化过程中，自变量允许取值的区域，叫自变量的取值范围。

六、自变量取值范围的求法

（一）对于解析式

1、解析式是整式。自变量取一切实数。

2、自变量在分母。取使分母不等于0的实数。

3、自变量在根号内

（1）在内。自变量取一切实数。

（2）在内。取使根号内的值为非负数的实数。

（二）对于实际问题

自变量的取值要符合实际意义。

在一个函数解析式中，同时有几种代数式时，函数的自变量的取值范围应是各种代数式中自变量的取值范围的公共部分

例：求函数中自变量x的取值范围。

解：要使有意义，

    必须且

即，。

所以中自变量x的取值范围是。

说明：求使函数有意义的自变量的值，就是求函数自变量的取值范围。

七、函数图象的画法步骤

（一）列表。

（二）描点。以对应的x、y作为点（x，y），把每个点描在平面直角坐标系中。

（三）连线。把描出的点按照自变量由小到大的顺序，用平滑的线连结起来。

八、正比例函数

1、定义：形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数。

2、图象：是经过（0,0）与（1，k）的直线。

3、性质：

（1）

（2）

九、一次函数

（一）定义：

形如b

的函数叫做一次函数。

因为当b=0时，y=kx，所以“正比例函数是特殊的一次函数”。

（二）图象：

是经过（，0）与（0，b）两点的直线。因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.

其中，（，0）是直线与x轴的交点坐标，（0，b）是直线与y轴的交点坐标。
（三）性质：（如下图）

1、
2、

3、

4、

5、

6、

（四）l_1：y=k₁x+b₁与l₂：y=k₂x+b₂的关系

1、k₁=k₂l₁₂；

说明：当k₁=k₂，b₁=b₂时，l₁与l₂重合。

从

（1）b>0,向上平移，（2）b<0,向下平移。

反之，从

（1）b>0,向下平移，（2）b<0,向上平移。

2、k₁₂l₁与l₂相交；当k₁₂=-1时，l₁l₂。

3、求l₁与l₂的交点坐标就是

解关于x、y的二元一次方程组

（五）一次函数与二元一次方程组的关系

因为二元一次方程组中的两个二元一次方程都可以化为两个一次函数解析式，所以两个一次函数图象的交点坐标就是原二元一次方程组的解。因此，可以通过两个一次函数图象交点坐标求出二元一次方程组的解。

（六）一次函数与一元一次方程的关系

因为与x轴相交于一点，此时y=0，得到，这是个一元一次方程。所以一元一次方程的解，就是对应的一次函数图象与x轴交点的横坐标。即可以通过画一次函数的图象求出对应的一元一次方程的解。

（七）一次函数与一元一次不等式的关系

因为一次函数的图象与x轴相交与一点，在x轴上方的部分，直线上的点对应的函数值y是正数，即; 在x轴下方的部分，直线上的点对应的函数值y是负数，即;即可以通过画一次函数的图象求出对应的一元一次不等式的解集。

（八）判定点是否在函数图象上（或函数图象是否经过点）的方法

将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．

（九）用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

（十）点在函数图象上（或函数图象经过点）的意思是“把点的横坐标x和纵坐标y代入函数解析式中，等号成立”。

十、一次函数的应用

在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解.