§3.3  泰勒公式

常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：

对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。

【问题一】

设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的  次多项式

近似?

【问题二】

若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数。

 

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为：

 (2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成

这里是与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

 

这表明：

只要对函数  及 在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】

以与为端点的区间或记为 ， 。

函数  在上具有直至  阶的导数，

且 

函数  在上有直至阶的非零导数，

且 

于是，对函数  及  在上反复使用  次柯西中值定理， 有

三、几个概念

1、

此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式；

或者称之为函数在点  处的  阶泰勒展开式。

当  时， 泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。

 为拉格朗日余项。

2、对固定的，若

有 

此式可用作误差界的估计。

故 

表明： 误差是当 时较  高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

3、若，则在  与 之间，它表示成形式   ，

泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式

 

近似公式

误差估计式

【例1】求的麦克劳林公式。

解：

，

 于是 

有近似公式   

其误差的界为 

我们有函数的一些近似表达式。

(1)、    (2)、  (3)、

在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求  的 阶麦克劳林公式。

解：

它们的值依次取四个数值 。

其中：  

同样，我们也可给出曲线  的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。

          

【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。

解：

    

于是：

利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限 。

解：，  

【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处

因为，从而

当时，，应为  

【例5】利用三阶泰勒公式求 的近似值， 并估计误差。

解：

故：

第二篇：小学《分数》知识总结

《分数》

一、分数的概念：

（1）用分数表示图中的阴影部分是(      )。其中，整个圆形表示(         )；分母(  　  )表示(                        ) ；分子(     )表示(                       )；这个分数的分数单位是(   　 )。

（2）用分数表示图中的阴影部分。        

                     (    )             (     )             (    )           （     ）

（5）         

（6）的分数单位是(       )，有(      )个这样的单位。

（7）5个是(       )；11个(      )是；(      )个是。

（8）米表示把1米平均分成(      )份，取其中的(    )份的数；也可以表示把(     )米平均分成(     )份，取其中的1份的数。

（9）在、、、1、、10中，真分数有(              )；假分数有(　　　　　　)；带分数有（　　　　　　　　　）。

 （12）从、、、、、、、、、选出合适的分数，分别填入下面的括号内。

＝（　　　）＝（　　　）＝（　　　）＝（　　　）

＝（　　　）＝（　　　）＝（　　　）＝（　　　）

（13）两个质数的最小公倍数是51，这两个质数是（　　　）和（　　　）。

（14）分数的分母扩大4倍，要使分数的大小不变，分子应该_________________；分数的分子缩小4倍，分母_________________，分数的大小不变。

（15）按要求写出分母为6的分数。

    ①所有最简真分数是(   　　　　   )；②最小假分数是(   　　　    )；　③最小带分数是(     　　  )。

（16）①一段路30天修完，平均每天修这段路的，15天修这段路的。②运一堆煤，平均每小时运这堆煤的，运完这堆煤要(       )小时。③加工一批零件，已经完成了，还剩下这批零件的。

（19）一块地有5公顷，8天耕完，平均每天耕这块地的；平均每天耕1公顷的，平均每天耕公顷。

（20）在下面的括号里填上适当的分数。

45分＝（　　　）时　　　　    　　2小时15分＝（　　　）时　 　

25平方分米＝（　　　）平方米　    4立方米600立方分米＝（　  　）立方米

四、用分数表示下面每个算式的商（能约分的要约分，假分数要化成整数或带分数）。

2÷3＝　 　　12÷30＝ 　　　15÷7＝　　 　　28÷54＝　  　　42÷14＝

五、（1）分数化成小数（除不尽的保留两位小数）。

     1                 3                                        

 

（2）小数化成分数。

0.25      3.875      0.55      0.125     0.4     1.5      0.25   0.24     2.4     1.04  

《分数》练习题

一、直接写出得数。

                                     

二、脱式计算。

                                 

=                     =                    =                       =                =

=                     =                    =                       =                =

                  

=                     =                    =                    

=                     =                    =                      

××             ××                 ×22×          ××  

=                      =                           =                    =

=                      =                           =                    =

二、解方程。

                                           

                                  

五、求下面每组数的最大公因数和最小公倍数：

16和40       45和15       9和8      8和9      12和72

六、把下面各组分数通分。

　 ⑤和　 ⑥和 　⑦ 、和

《分数知识点》

1．一个物体或是几个物体组成的一个整体都可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。

2．把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。例如3/7表示把单位“1”平均分成7份，取其中的3份。

3．5/8米按分数的意义，表示：把1米平均分成8份，取其中的5份。按分数与除法的关系，表示：把5米平均分成8份，取其中的1份。

4．把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。

5．分数和除法的关系是：分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分数线相当于除法中的除号，分数的分母相当于除法中的除数，分数的分数值相当于除法中的商。

6．①分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。②分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。③带分数包括整数部分和分数部分，分数部分应当是真分数。带分数大于1。

11．把假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。

把带分数化成假分数的方法是用整数部分乘分母的积加原来的分子作分子，分母不变。 

12．整数可以看成分母是1的假分数。例如5可以看成是5/1。

13．分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。

14．①几个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。最小公因数一定是1。②几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数叫作它们的最小公倍数。没有最大的公倍数。③公因数只有1的两个数叫做互质数。

分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。（分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。）最简分数不一定是真分数。

18．除法计算的结果可以用分数表示，比较方便。如果计算结果可以约分的话，要化简成最简分数。

19．如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

如果两个数是互质关系，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。

20．数Ａ×数Ｂ＝它们的最大公因数×它们的最小公倍数。

21．两个数是互质数的几种特殊情况有：① 1和任何数都是互质数；② 两个相邻的自然数一定是互质数；③两个相邻的奇数一定是互质数；④两个不同的质数一定是互质数；⑤一个质数和一个不是它倍数的合数一定是互质数。

22．把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

约分的方法就是分子和分母同时除以它们的公因数。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

通分时，要把两个分母的最小公倍数作公分母，别忘了分子和分母要同时乘相同的数。

约分和通分都是利用分数的基本性质。

23．把分数化成小数的一般方法是用分子除以分母；（除不尽时根据需要按“四舍五入”法保留几位小数）   特殊方法：①分母是10，100，1000，…时，直接写成小数。②分母是10，100，1000…的因数时，可化成分母是10，100，1000，…的分数，再写成小数。

把小数化成分数的方法是直接把小数写成分母是10，100，1000，……的分数，再化简。

25．两个数的最大公因数等于两个数公有的质因数的积；

两个数的最小公倍数等于两个数公有的质因数×它们各自独有的质因数。

26．两个数的公因数，都是这两个数的最大公因数的因数；

两个数的公倍数，都是这两个数的最小公倍数的倍数。 

27．比较分数的大小。先看分子或分母是不是相同，①分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。分子相同的两个分数，分母大的分数比较小。②分子和分母都不相同的分数，可以先通分或约分再比较分数的大小。