专题四：函数单调性

一、增（减）函数的概念

 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<（>）f(x₂)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数。

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x₁<x₂时，总有f(x₁)<（>）f(x₂) ．

二、函数的单调性

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

1、判断函数单调性

（1）根据函数图象说明函数的单调性

【例题】如图是定义在区间[－5，5]上的函数

y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以

及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

【例题】函数的单调区间是（   ）

A．（-，+）              B.（-，0） （1，，） 

C.（-，1） 、（1，）     D. （-，1）（1，）

（2）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

① 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

② 作差f(x₁)－f(x₂)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

【例题】证明函数在（1，+∞）上为减函数．

【例题】函数f(x)=－x³＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．

【归纳小结】

    函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

（3）单调性的应用

【例题】已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m

的取值范围．

 

【例题】定义在（－1，1）上的函数是减函数，且满足：，求实数

的取值范围。

2、复合函数的单调性

（1）定义：

 设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在

y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：

　　y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

（2）复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

函数                单调性

            增            增          减        减

            增            减          增        减

         增            减          减        增

【例题】已知，求的单调性。

【例题】已知，求函数的单调性。

【例题】已知，如果，那么（ ）

A. 在区间（-1，0）上是减函数      B. 在区间（0，1）上是减函数

C. 在区间（-2，0）上是增函数      D. 在区间（0，2）上是增函数

三、函数的最大（小）值

1．函数最大（小）值定义

1）最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的，都有；   （2）存在，使得．

那么，称M是函数的最大值．

2）最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的，都有；    （2）存在，使得．

那么，称M是函数的最小值．

注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．

2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．

①配方法     ②换元法     ③数形结合法

【例题】求函数．

   ①      ②      ③

【例题】求函数的最大值．

 【练习】

1．函数y＝x²－6x＋10在区间(2,4)上是(　　)

A．递减函数　　　　　　　B．递增函数

C．先减后增  D．先增后减

2．下列函数f(x)中，满足“对任意x₁，x₂∈(0，＋∞)，都有<0”的是(　　)

A．f(x)＝　　　　　　　B．f(x)＝(x－1)²

C．f(x)＝e^x  D．f(x)＝ln(x＋1)

3．若f(x)＝x²＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是(　　)

A．a<－3               B．a≤－3

C．a>－3               D．a≥－3

4．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式>0对任意两个不相等的正实数x₁、x₂都成立．在下列不等式中，正确的是(　　)

A．f(－5)>f(3)　　　　　　  B．f(－5)<f(3)

C．f(－3)>f(－5)            D．f(－3)<f(－5)

5．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是(　　)

A．(3,8)  B．(－7，－2)

C．(－2，－3)  D．(0,5)

6．(09·天津)已知函数f(x)＝若f(2－a²)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

7．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　)

A．有最大值  B．有最小值

C．是增函数  D．是减函数

8．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1,1)  B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

    9.已知在区间上是增函数，则的范围是（    ）

A.           B.           C.            D.

10．给出下列命题

①y＝在定义域内为减函数；

②y＝(x－1)²在(0，＋∞)上是增函数；

③y＝－在(－∞，0)上为增函数；

④y＝kx不是增函数就是减函数．

其中错误命题的个数有________．

11．函数f(x)＝－x²＋|x|的递减区间是________．

12．函数f(x)＝(x∈R且x≠1)的单调增区间是________．

   

   

    13．(2011·合肥)函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是________．

    14.函数的单调递增区间是                

15．(2011·惠州调研)已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

16．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m²－m－2)<3.

 

    17.已知函数，且

   （1）求实数的值；  （2）判断在上是增函数还是减函数？并证明。

    18.已知函数

   （1）当时，求函数的最大值和最小值；

   （2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数，并指出相应的单调性。

19.已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.

20.函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．

【答案】

1、答案　C

解析　对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．

2、答案　A

解析　满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.

3、答案　B

解析　对称轴x＝1－a≥4.∴a≤－3.

4、答案　C

解析　由>0对任意两个不相等的正实数x₁、x₂都成立，可知，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，故f(x)在(－∞，0)上也为增函数，故选C.

5、答案　B

解析　令－2<x＋5<3，得：－7<x<－2.

6、答案　C

解析　y＝x²＋4x＝(x＋2)²－4在[0，＋∞)上单调递增；y＝－x²＋4x＝－(x－2)²＋4在(－∞，0)上单调递增．

又x²＋4x－(4x－x²)＝2x²≥0，

∴f(2－a²)＞f(a)?2－a²＞a?a²＋a－2＜0?－2＜a＜1，故选C.

7、答案　A

解析　当x<0时，－x>0，－(2x＋)＝(－2x)＋(－)≥2＝2，即2x＋≤－2，2x＋－1≤－2－1，即f(x)≤－2－1，当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，此时函数f(x)有最大值，选A.

8、答案　C

解析　由已知得：||>1?－1<x<0或0<x<1，故选C.

9、

10、答案　3

解析　①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．

11、答案　与

解析　数形结合

12、答案　(－∞，0)和(2，＋∞)

解析　将原函数y＝变形为y＝(x－1)＋＋2

显然x－1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．

13、答案　(－∞，－ ]∪(1， ]

解析　因为f(x)为单调函数，若a>0，则当x≥0时，f(x)＝ax²＋1是单调递增函数，故当x<0时，f(x)也是单调递增函数，又a>0时，e^ax为单调递增函数，所以a²－1>0，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a²－1)·e⁰≤a×0²＋1，即需满足

同理，当a<0时，满足

综上得1<a≤或a≤－.

14、

15、答案　(1)略　(2)0<a≤1

解析　(1)证明　任设x₁<x₂<－2，

则f(x₁)－f(x₂)＝－＝.

∵(x₁＋2)(x₂＋2)>0，x₁－x₂<0，∴f(x₁)<f(x₂)，

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)解　任设1<x₁<x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝－＝.

∵a>0，x₂－x₁>0，

∴要使f(x₁)－f(x₂)>0，只需(x₁－a)(x₂－a)>0恒成立，∴a≤1.

综上所述知0<a≤1.

16、答案　(1)略　(2){m|－1<m<}

解　(1)证明：设x₁，x₂∈R，且x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)>1.

f(x₂)－f(x₁)＝f[(x₂－x₁)＋x₁]－f(x₁)

＝f(x₂－x₁)＋f(x₁)－1－f(x₁)＝f(x₂－x₁)－1>0.

∴f(x₂)>f(x₁)．

即f(x)是R上的增函数．

(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3，

∴原不等式可化为f(3m²－m－2)<f(2)，

∵f(x)是R上的增函数，

∴3m²－m－2<2，解得－1<m<，

故m的解集为{m|－1<m<}．

17、

18、

第二篇：函数单调性反思总结

苏同安反思总结

撰写时间：20xx年1月17日 17:27

函数的单调性教学反思 下面是我从几个方面对《函数的单调性》这节课的教学反思一、 教学理念与教学方法因为本节课运用了“合作探究、分层推进教学法” ，使学生在个人自主学习、小组合作探究、全班互相交流、教师点评总结的交互推动下，主动学习，积极合作，广泛交流。所以能较好地突出学生的主体地位，教师的引领作用和主导作用发挥的也不错，本节课较好地体现了“以学生为本”的教学理念。需要改进的地方：因为本节课设计理念之一是给学生更多的时间来探究和交流，所以前一段内容的探索与交流用的时间多了一点，使得最后阶段教与学的时间略紧张了一点。可以这样来解决：减少一开始复习导入的时间，对函数的单调性符号语言的探究时间再减少一点（教师在学生的探究过程中，再早一点给学生以指导或引领）。二、 教学内容与重点难点 一开始用较充足的时间，进行了复习与导入，对基本知识和重点难点进行了探究、交流与总结，互动达标中的各类题目也充分体现了对重点知识与基本方法的进一步认识和针对性训练。所以，对教学内容与重点的把握与针对性巩固训练做得较好；难点的突破之一——关于函数单调性的证明问题，因为是通过两个学生在黑板上的板书对比，以及第三个学生的点评总结来解决的，所以效果很好。 出现的不足：对难点之一的函数单调性的概念（把图形语言转化为数学符号语言）的探究用时多了一点（前面已经分析了这方面的问题）。三、 教学过程与目标达成首先，整个教学过程在“合作探究、分层推进教学法”的作用下，把下列的四个方面自然地、连续地融合在一起： 在这几个方面，师生、生生互动，自主学习、小组合作探究、全班互相交流、教师点评总结做得较好。其次，整个教学过程把教学设计中的基本内容、基本方法、基本问题有机地融合在了一起，形成交互的“麻花形”的三条线：知识线、问题线和思想方法线，最后是通过学生合作交流，总结出这三条线。使学生在教师的引领下对知识、对思想方法自主建构。 所以整个教学过程较充分的体现了“以学生为本”的教学理念。这样，三个方面的目标较好地完成。在这里出现的不足是留给学生们的思悟小结的时间少了一点（造成这方面不足的原因在前面已经分析过了：前面给学生探究交流的时间多了）。四、板书设计与教学评价板书设计基本上是按照课前的设计来进行的，因为本节课主要运用了多媒体，所以黑板上的板书内容只是从整体上设计的一个科学的流程和教学结构。若是不用多媒体或用的比较少，板书的设计的知识和方法应再详尽一点，最好能把本节课中所总结的三条线简单地总结一下。 因为我对每个学生或小组的评价后的量化结果，是几节课或一个教学单元或一周总结一次（各学生、各小组在各方面的表现情况，我和学生共同来记录，并进行权重处理……），所以本节课最后在这一方面并没有进行总结。当然，鼓励或表扬性语言是穿插在整个教学过程中的。如果能在学生互评方面多做一些探索应用会更好。