关于矩阵和行列式

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式 矩阵 空间向量和线性方程组。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。如下例：

表示的是一个2阶行列式；而则表示是一个2×2的矩阵。而且可以通过计算求得其值为-2；而只能表示一个数表，不能求出值。

行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。由n²个数组成的n行n列行列式为n阶行列式；由m行n列组成的数表为m×n矩阵。只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。如： 是一个3×4的矩阵；而这样的行列式是不存在的，因此无法求其行列式。

而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。如下：

（1）记D=，D^T=，则称D^T为D的转置行列式，并有D= D^T，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A的转置矩阵A^T是指把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=，则A^T=，但有（A^T）^T=A。且对方阵来说，=。

（2）互换行列式的两行（列），行列式变号，例如：=-，因此可以推出——如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零，如：=0。

（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。如：=；而(A为方阵)。

（4）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。如：=0；把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变；如果行列式的某一行（列）的各元素都是两数之和，则此行列式为两个行列式的和。而矩阵没有这些性质。

（5）在矩阵中，对调两行（列）；以数k≠0乘以某一行（列）的所有元素；把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去，称为矩阵的初等变换。如果矩阵A经过有限次的初等变换成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A~B。则有以下性质：①反身性：   ；②对称性：若，则；③传递性：若，，则。

（6）在矩阵中有下列运算法则：A+B=B+A，（A+B）+C=A+(B+C)，-A为A的负矩阵，A+(-A)=0，A-B=A+（-B）（A、B为同型矩阵）；，，；当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵可以相乘，如：，，则，是一个4×4的矩阵，而，是一个3×3的矩阵，由此可见，A×B≠B×A；（但也有例外），（AB）C=A(BC)，A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA，，AE=EA=A；，（A是n阶矩阵）；（A+B）^T=A^T+B^T，（λA）^T=λA^T，（AB）^T=B^TA^T。

（7）D=，去掉所在的行和列得到M₂₂=即为元素的余子式，A₂₂=（-1）^{2+2 M}₂₂，叫做的代数余子式，行列式的每个元素分别对应着一个余子式和代数余子式，再如去掉所在的行和列得到M₁₂=，A₁₂=（-1）^{1+2 M}₁₂。而在矩阵中，定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵：称为矩阵A的伴随矩阵，且有AA^*= A^*A=E。因为对于一个n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使得AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记作A^-1，则有(≠0)。在m×n矩阵A中任取k行k列（k≤m，k≤n），位于这些行列式交叉处的k²个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。如：矩阵A=，取其前2行和前2列得到A的2阶子式。

（8）关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如，而不是等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。

（9）关于逆矩阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由来定义（与互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为以及关系式，二者有着重要与广泛的应用。要弄清的伴随方阵是矩阵的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。下面是如何用初等变换求逆矩阵：

设设求

解 

于是，

（10）关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，介绍如何用初等变换求矩阵的秩：

关于矩阵和行列式，在线性代数的学习中我了解了很多知识。 在此有一些总结。

第二篇：线性代数 论文

线性代数考试题

一、  简述行列式和矩阵的区别                    

1、本质不同：数域P中，n 阶行列式D=是 n 2 个数 aij ( i = 1, 2…n ; j = 1, 2…n ) 按一定顺序排列的n行n列元素（数），按照某一个特定的规则确定的 n！项的代数和，归根结底是一个数。数域 P 中， Am×n 矩阵是 m × n 个数 aij ( i = 1, 2, ..n ; j = 1, 2, …, n) 按一定的方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表。

2、相等方面不同：行列式是有它的定义最后所确定的数来判断它是否相等，因此两个表面上看完全不同的行列式有可能是相等。

3、行列式计算的结果是一个数,而矩阵的结果仅仅是一个数表

4、行列式的转置与原行列式相等。即D=DT。这里转置行列式是指，把行列式D的行与列互换，不改变它们前后的顺序得到的新行列式称为 D 的转置行列式。矩阵中，只有对称矩阵才等于它的转置。一般地矩阵就等于它的转置的转置A′是它的转置，则 A = ( A′)′，如果A是一般地矩阵，则A=(A′)′。 

二、  总结线性方程组的解法,并针对每种解法举一个实例

用克莱姆法则解线性方程

解：    法一： 计算系数行列式

及,,              

由克莱姆法则得方程组的唯一解为

补充：

定理若齐次方程组的系数行列式,则此齐次线性方程组只有零解.

推论 如果齐次线性方程组有非零解, 则系数行列式

法二：高斯消元法

例（1）解线性方程组

解 对方程组的增广矩阵进行初等变换

还原成方程组的形式,我们把最后一个方程组中每一个方程的第一个系数不为零的未知量保留在方程的左端,其余未知量移到右端,得

例（2）解方程组

解 对方程组的增广矩阵做初等变换

还原成方程组的形式,得这里略去了最后一个方程0=0.显然,这里矛盾方程组,因此原方程组无解。

三、  总结矩阵求逆的方法

1、  矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是为奇异的,且当可逆时,有.=,其中=,为中元素的代数余子式. 为的伴随矩阵.所以此方法称为伴随矩阵法.

2、  对于3阶以上的矩阵,用伴随矩阵法求逆矩阵,计算量一般是非常大的,所以用另一种方法.

矩阵分块,可以将高阶矩阵求逆归结为低阶矩阵求逆,从而简化计算.

设n阶矩阵,其中分别是阶和阶的可逆矩阵, 是矩阵,是零矩阵,.则

3、求逆矩阵的初等变换法

作矩阵(),用初等变换把它的左边一半化成,这时,右边的一半就是’举例说明   设     求。

解=于是

四、  请论述线性代数这门学科在实际生活中或其他学科中的应用

在实际生活中和其他学科中，线性代数这门学科有相当多的应用。近几十年来，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，如人口、经济、金融、生物、医学等。数学在发展高科技，提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显，这就要求我们如何将实际问题经过分析，简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法来解决。

线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科，线性代数研究最多的就是矩阵，矩阵就是一个数表，二这个数表可以进行交换，已形成新的数表。也就是说，如果抽象出某种变化规律，就可以从代数的理论对研究的数表进行变换，并得到想要的一些结论。因此，矩阵的应用日趋广泛，我将通过一个典例来进行分析：

某工厂有三个车间，各车间互相提供产品。今年各车间出厂产量及其他车间的消耗见表，求今年各车间的总产量：

                                                                    单位：万元

解： 记1、2、3车间出厂产量列向量为y ，总产量列向量为x，即,

消耗系数矩阵为，即，。

由于A中各列元素之和不超过1，理论上可证明存在，且非负。所以。,=，

所以，=

故，今年Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ车间的总产量分别为90万元，60万元和70万元。

以上只是线性代数在投入与产出的一个简单应用，线性代数在很多领域还有更深层次的应用，这里就不做探讨了。