★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线中，的作用

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：

①时，对称轴为轴；②(即、同号)时,对称轴在轴左侧；

③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

 (1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

 (1)轴与抛物线得交点为()

 (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

 (3)抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

(4)平行于轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故  

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．

(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根

14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

第二篇：阳光辅导中心初三数学二次函数与圆知识点总结

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初三数学知识点总结

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax²+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax²+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b²-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；     Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根；               Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax²+bx+c=0  (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

※ 5．当ax²+bx+c=0  (a≠0) 时，有以下等价命题：

(以下等价关系要求会用公式 ；Δ=b²-4ac 分析，不要求背记)

（1）两根互为相反数  Û  = 0且Δ≥0  Û  b = 0且Δ≥0；

（2）两根互为倒数  Û  =1且Δ≥0  Û  a = c且Δ≥0；

（3）只有一个零根  Û  = 0且≠0  Û  c = 0且b≠0；

（4）有两个零根    Û  = 0且= 0  Û  c = 0且b=0；

（5）至少有一个零根    Û  =0  Û  c=0；

（6）两根异号  Û  ＜0  Û  a、c异号；

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û ＜0且＞0Û a、c异号且a、b异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值Û ＜0且＜0Û a、c异号且a、b同号；

（9）有两个正根  Û  ＞0，＞0且Δ≥0  Û  a、c同号， a、b异号且Δ≥0；

（10）有两个负根  Û  ＞0，＜0且Δ≥0  Û  a、c同号， a、b同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)  或  ax²+bx+c=.

7．求一元二次方程的公式：    

x² -（x₁+x₂）x + x₁x₂  = 0.    注意：所求出方程的系数应化为整数.

8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：

   (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)².

（2）常利用以下相等关系列方程：     第三年=第三年   或  第一年+第二年+第三年=总和.

9．分式方程的解法：

10. 二元二次方程组的解法：

※11．几个常见转化：

     

 ；

 ；

 

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一  基本概念：圆的几何定义和集合定义、  弦、  弦心距、 弧、  等弧、  弓形、弓形高

三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、  弦

切角、  圆的切线、  圆的割线、   两圆的内公切线、  两圆的外公切线、  两圆的内（外）

公切线长、  正多边形、  正多边形的中心、  正多边形的半径、  正多边形的边心距、  正

多边形的中心角.

二  定理：

1．不在一直线上的三个点确定一个圆.

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.

三  公式：

1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR².

（4）扇形面积S_扇形 =；（5）弓形面积S_弓形 =扇形面积S_AOB±ΔAOB的面积.（如图）

2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S_圆柱侧 =2πrh；  (r:底面半径；h:圆柱高)

（2）圆锥的侧面积：S_圆锥侧 =.  （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）

四  常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形.

2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.

4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交 Û d＜r ；  直线与圆相切 Û d=r ；  直线与圆相离 Û d＞r.

5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）

两圆外离  Û  d＞R+r；   两圆外切  Û  d=R+r； 两圆相交  Û  R-r＜d＜R+r；

两圆内切  Û  d=R-r；   两圆内含  Û  d＜R-r.

6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

7．关于圆的常见辅助线：