考研数学：高数重要公式总结（中值定理与导数应用）

　　考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。

中值定理与导数应用：

 

　　　其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!

小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！

第二篇：高等数学-微分中值定理与导数应用公式概念

微分中值定理与导数应用?

?罗尔定理：设函数f(x)满足条件：f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b), 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使f ′(?)=0 (a<?<b)

?拉格朗日中值定理：设函数f(x)满足条件：f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导.则在开区间

(a,b)内至少存在一点ξ，使f ′(?)=

?拉格朗日中值公式：f(b)-f(a)=f ′(ξ) (b-a)

?如果在区间(a,b)内f ′(x)=0 ，则在(a,b)内f(x)=c (c为常数) eg:arctanx+arccotx=2 ,x∈R. ?如果在区间(a,b)内f ′(x)= g′(x), 则(a,b)内f(x)-g(x)=c (c为常数)

?柯西中值定理：设函数f(x) 和g(x)满足：f(x)与g(x)在[a,b]上连续, f(x)与g(x)在(a,b)内可导，且g′(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使

?L’Hospital法则:适用于. limx→x00∞0∞f(x)g(x)? ? ??(?)? ? ??(?)π? ? ??(?) (a<?<b) = ?′(?). ? ′(?) =lim ? ′(?)

x→x0 ?′(?)

(求导后若仍为以上两类型未定式，L’Hospital法则可反复应用)

?其它未定式：

0?∞型：翻（即取倒数）.

∞?∞型：通分、分子有理化.

1∞型：重要极限Ⅱ、取对数.

00 型 和∞0型：取对数.

函数单调性：

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导.

Ⅰ)如果在(a,b)内f ′(x)>0，则函数y=f(x)在[a,b]上单增 .

Ⅱ)如果在(a,b)内f ′(x)<0，则函数y=f(x)在[a,b]上单减 .

注：闭区间换成其它各种区间（包括无穷区间），结论也成立.

注：f ′′(x)>0 f′ ? 单增 f ′′′(x)>0 f ′′(x)单增 [以此类推]

极值：设函数f(x)在点x0处具有导数，且x0是极值点，则必有f ′(x)=0.

可导函数极值点必是驻点. 驻点不一定是极值点. 导数不存在的点也可能是极值点.

?函数取得极值的一阶充分条件：设函数f(x)在x0处连续，在点x0的去心邻域内可导且f(x)在在x0处的导数为0或不存在，那么

Ⅰ) 如果当x<x0时f′ x0 >0，而当x>x0时f′ x0 <0，则? x0 是函数f(x)的极大值. Ⅱ) 如果当x<x0时f′ x0 <0，而当x>x0时f′ x0 >0，则? x0 是函数f(x)的极小值. Ⅲ）如果不论x<x0还是x>x0，总有f′ x0 >0或f′ x0 <0，则? x0 不是函数f(x)的极值. ?函数取得极值的二阶充分条件：

设函数f(x)在x0处具有二阶导数，且f′ x0 =0，f′′ x0 ≠0.那么

Ⅰ) f′′ x0 >0，则x0是f(x)的极小值点. Ⅱ) f′′( x0 <0，则x0是f(x)的极大值点.

函数的凹凸性与拐点：

?设函数f (x)在(a,b)内可导，若f ′(x)在(a,b)内单调增加(减少)，则函数f (x) 在(a,b)内是凹(凸)函数.

?设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数.

Ⅰ) 若在(a,b)内f′′(?) >0, f (x) 是(a,b)的凹函数.

Ⅱ) 若在(a,b)内f′′(?) <0, f (x) 是(a,b)的凸函数.

?拐点：连续曲线凹凸部分的分界点. 设(x0, f x0 )为连续曲线的拐点，若f′′ x0 存在，必有f′′ x0 =0

?求单调区间，极值，凹凸性，拐点：

1.求f(x)的定义域，计算一阶导数、 二阶导数.

2.找出f ′(x)=0的点和导数不存在的点，f ′′(x)=0的点和不存在的点，用这些点将定义域分成若干个子区间.

3.确定f ′(x)，f ′′(x) 在上述各点邻近的符号.

4.利用函数单调性判别法，在每个子区间上讨论函数单调性.判断是否为极值点.判断上述各点两侧附近的凹凸性，凹凸性相反即为拐点.

?函数的最值：f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.

?f(x)在[a,b]上求最值的方法：[最值在端点处或极值点上取到]

1) 求出f ′(x)在(a,b)内的零点和不存在的点x1,x2,…,xn .

2) 计算出函数值f(x1), f(x2),…, f(xn)和端点处函数值f(a),f(b).

3) 比较.

?函数最值在经济分析中的应用：利润最大化原则：R′(q)=C′(q) ,R′′(q) < C′′(q).