挖孔矩形薄板双向等值拉伸的研究

                                 伍  成 

一、引言

弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。弹性力学的研究对象是完全弹性体。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律

在弹性力学问题的处理时，对于圆形，楔形，扇形等问题，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本文运用了极坐标系统来求解的弹性力学平面圆孔问题。选取极坐标系处理弹性力学平面问题，必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

二、理论

在物体几何形状或载荷发生突变的地方，将出现随着距离远离突变点而迅速衰减的局部高应力区，这种现象称为应力集中。通常用应力集中系数

                                

来表示它的严重程度。式中为最大局部应力；为不考虑局部效应时的计算应力，称为名义应力，可用材料力学公式计算。局部应力需要用弹性理论来分析。由于局部应力是引起疲劳裂纹或脆性断裂的根源，所以应力集中的计算具有重要实际意义。

再根据极坐标应力分量表达式来判别平衡微分方程

          满足平衡微分方程

将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得：

      

       即极坐标形式的双调和方程。

通过应力分量表达式求解应力后，然后通过物理方程

                   

和几何方程          ， 求解应变应力分量

       

三、结果与结论分析

带圆孔平板拉伸模型，设无限大平板在x方向受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，属于轴对称问题；另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。因此

           

    

 

         

 

     结果参照书上应力分量

                 

如果r相当大时，上述应力分量与均匀拉伸的应力状态相同。对于孔口应力，即r=a时，有

                

最大环向应力发生在小圆孔的边界上的θ=p/2 和θ=3p/2 处，其值为_max = 3q

由于板无限大而孔很小，所以圆孔的孔口将有应力集中现象。把最大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度。即

                                 

K为应力集中因子。对于平板受均匀拉伸问题，K=3。

圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。孔口的应力集中，孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。根据圣维南原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。

四、参考文献

[1]吴家龙. 弹性力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[2]李遇春. 弹性力学[M]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2009.

[3]周益春. 材料固体力学[M]. 北京: 科学出版社, 2005

[4]徐芝纶. 弹性力学简明教程[M]. 北京: 人民教育出版社, 1980.

[5]王仲仁. 弹性与塑性力学基础[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2004.

第二篇：材料固体力学小论文

双向不等值拉压的复变函数解法及分析

摘要：弹性力学中的许多问题在数学上都归结为寻找调和函数或重调和函数的问题。复变函数论正是研究实部和虚部都是重调和函数的解析函数，它统一了弹性力学中的三种基本方法（位移法、应力法、应力函数法）和三类边值（力边界、位移边界、混合边界）问题。它同时适用于直角坐标、极坐标和任意正交曲线坐标系。双向不等值拉压是冷加工中经常见到的一种应力状态，在极坐标中不等值拉压要用叠加原理分解成等值拉伸（或压缩）和等值拉压两个问题分别进行求解。本文通过复变函数解法统一上述两种方法求解双向不等值（等值）拉压问题，以便于求解和应力场的分析。

关键词：复变函数、弹性力学、调和函数、等值拉压

一、双向不等值拉压的复变函数解法

如下图所示带小圆孔的无限大平板的双向不等值应力示意图，在方向受单向拉伸>0，在方向受应力大小，且，求板内应力场。

带圆孔无限大平板双向不等值应力示意图

复变函数解法中，无限域孔口问题复势和基本结构形式如下。

                         （1）

                         （2）

求解上述复势的过程就是根据应力特征和边界条件确定和里面的系数的过程。无限域孔口问题中系数、、、的确定公式如下。

                            （3）

          （4）

                                                （5）

                                                （6）

由题知无限远处应力条件为

                                ，，               （a）

代入（3）、（4）式可得

                                  ，                 （b）

由孔力边界条件

                            ，              （c）

代入（5）、（6）式可得

                                                                         （d）

系数由下式确定

                  （7）

由于，所以系数全部为0，即

                                                            （e）

剩余系数可由下式求得

正幂             

                    恒等式

                   （取共轭得）

                   （取共轭得）                         （8）

负幂            

将（b）、（d）、（e）式代入（8）式可得其它系数为

，，         （f）

其余系数全为0

再由下式确定，

，，    （当）       （9）

得

                  ，，       （g）

其余系数全为0

将（b）、（d）、（g）式代入（1）、（2）式，并利用，将用代替，可得

       （h）

应力组合公式为

              （10）
将（h）代入（10）整理后得

      （I）

先由第二式虚部相等求得，再将两式联立求得和，结果如下

到此已经求得应力场，再将式（h）代入如下位移组合公式

            （11）

整理后得

                     （j）

将上式实部和虚部对应相等得

                          

                       （l）

二、应力场和位移场分析

       为了便于观察应力场的变化趋势，本文利用matlab绘制应力场及位移场随位置变化的曲线图，以及当拉伸力不变，由正变为负的过中应力场及位移场的变化情况。

然后用abaqus模拟双向不等值（等值）拉压，将其与绘制出来的曲线进行对比，以验证模型的准确性。为处理方便，以下均令系数。

1、应力场的变化趋势

分别取，，，，时方向的应力场和位移场的变化情况如下。

分别取1，1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，2.0，3.0时方向的应力场和位移场的变化情况如下。

2、边界力由正变负过程中应力场的变化

     分别取，，，，，应力取最大的组合（由1得到）时应力场和位移场的变化情况如下。

3、abaqus模拟结果

4、对比分析