第十一章 全等三角形复习
一、全等三角形
1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形有哪些性质
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
（2 表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3） “有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
（5）截长补短法证三角形全等。
第十二章 轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线
4.轴对称与轴对称图形的性质
① 关于某直线对称的两个图形是全等形。
② 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③ 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
⑤ 两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
二、线段的垂直平分线
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
1.在平面直角坐标系中
①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;
②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;
③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；
④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；
⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_ （x, -y）_____.
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为___（-x, y）___.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
第十三章 实数知识要点归纳
一、 实数的分类：
正整数
整数 零 负整数 有限小数或无限循环小数
正分数
分数
负分数 小数
1. 正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、数轴：规定了和(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，
实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
3、相反数与倒数； ?a(a?0)4、绝对值 ?|a|??0(a?0) ??a(a?0) ?5、近似数与有效数字；
6、科学记数法
7、平方根与算术平方根、立方根；
8、非负数的性质：若几个非负数之和为零 ，则这几个数都等于零。
二、复习
1. 无理数：无限不循环小数
?算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x2?a??那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，
??算术平方根为非负数?0
??正数的平方根有2个，它们互为相反数????平方根?0的平方根是0?????负数没有平方根??2.无理数的表示?定义：如果一个数的平方等于a，即x2?a，那么这个数就
?叫做a的平方根，记为????正数的立方根是正数???立方根??负数的立方根是负数?????0的立方根是0??定义：如果一个数x的立方等于a，即x3?a，那么这个数x??就叫做a的立方根，记为a.?
?概念有理数和无理数统称实数??正数????有理数??分类或??0???无理数?????负数3.实数及其相关概念??绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
??实数与数轴上的点是一一对应
?实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则???运算规律相同。
第十四章 一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
九、求函数解析式的方法:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
1. 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．
2. 求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
3. 一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
4.解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．
十、一次函数与正比例函数的图象与性质
5.一次函数与二元一次方程组：
解方程组 ?x?y??111从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并 ???2x?2y?2求出这个函数值
?解方程组 ? 1 x ? 1 y ? 1 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标. ? ??2x?2y?2abcabcabcabc
第十五章 整式乘除与因式分解
一．回顾知识点
1、主要知识回顾：
幂的运算性质：
＋am·an＝amn （m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
＝ amn （m、n为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘． ?a?mn
?ab?n?anbn （n为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
am?an＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
零指数幂的概念：
a0＝1 （a≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
负指数幂的概念：
1
p－ap＝a （a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数． ?n???也可表示为：?m??p?m?????n?（m≠0，n≠0，p为正整数） p
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
2、乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．
3、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
第二篇：初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.2知识点总结含同步练习及答案
初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案
第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角
一、学习任务
1. 掌握三角形的内角和和外角和定理，并会熟练运用内外角和定理解决相关的角的问题．
2. 会证明三角形内角和和外角和定理．
3. 掌握直角三角形中角的性质和判定．
二、知识清单
三角形的内外角和
三、知识讲解
1.三角形的内外角和
描述：三角形内角与外角
在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的一边与其邻边的延长线组成的角，叫做三角形的
外角．
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于 180?．
三角形外角和定理
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理的推论直角三角形两个锐角互余．两锐角互余的三角形是直角三角形．
飞镖模型及“8”字模型
三角形角平分线与内角和
例题：在 △ABC，∠A:∠B:∠C=2:1:3，则 ∠A=______．
解：60?．
一个三角形三个外角之比为 2:3:4，三个内角的度数分别是______．解：100?，60?，20?．
三角形外角和是360?，再根据比例分别求出三个外角，即可求出对应的内角．如图，三角板的直角顶点在直线
l 上，若 ∠1=40?，则 ∠2 的度数是______．解：50?．
如图所示，已知 ∠A=70?，∠B=40?，∠C=20?，求 ∠BOC 的度数．
解：方法一：延长 BO 交 AC 于 D，所以 ∠BOC=∠1+∠C=∠A+∠B+∠C
=130?．
方法二：连接 BC，因为 ∠1+∠2+∠A+∠B+∠C=180?，所以 ∠1+∠2=50?．因为 ∠1+∠2+∠BOC=180?，所以 ∠BOC=130?．
方法三：连接 AO 并延长到点 D，因为 ∠3+∠B=∠1，∠4+∠C=∠2，所以
∠3+∠B+∠4+∠C=∠1+∠2=130?．
已知如图1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和 ∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 ∠A，∠B，∠C，∠D 之间的数量关系：__________________；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；（3）在图2中，若 ∠D=40?，∠B=36?，试求 ∠P 的度数．
分析：（1）根据三角形内角和定理即可得出 ∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有 6 个；
（3）现根据“8字形”中的角的规律，可得 ∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，再根据角平分线的定义，得出 ∠DAP=∠PAB，
∠DCP=∠PCB，可得 2∠P=∠D+∠B，进而求出 ∠P 的度数．
解：（1）∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）① 线段 AB，CD 相交于点 O，形成“8字形”；
② 线段 AN，CM 相交于点 O，形成“8字形”；
③ 线段 AB，CP 相交于点 N，形成“8字形”；
④ 线段 AB，CM 相交于点 O，形成“8字形”；
⑤ 线段 AP，CD
相交于点 M，形成“8字形”；
AN
C 选项中，∠A=90??∠B，
所以 ∠A+∠B=90?，所以 ∠C=90?.
D 选项中，所以 ∠A=90?+∠B>90?，是钝角三角形，故选D．
4. 如图，已知 ∠ACB=90?,CD⊥AB，垂足是 D，则图中与 ∠A 相等的角是 (
)
A．∠1C．∠B
答案：BB．∠2D．∠1 、 ∠2 和 ∠B
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