函数复习
一、 要点透视
主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数—— 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图象与性质——定义域、值域、奇偶性、单调性、图象的对称性等。
数形结合思想是本章的最基本的数学思想，另外，分类讨论思想、化归思想等也是本章的基本思想。
二、 典型例题解析
例1．已知集合
，
。其中
，
，若
，
，映射
使B中元素
和A中元素
对应。求
和
的值。
解：
A中元素对应B中元素，
中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10。
或
又 无解，而由解得
，
那么的象是
，故
综上所述：
例2．判断下列各题中，函数
与
是不是同一函数？说明理由。
①
，
；
②
，
；
③
，
；
④
，
；
⑤
，
；
⑥
，
解：①
的定义域是
，而的定义域是R，与的定义域不同，
与是两个不同的函数。
②与的定义域都是R，又
，即与的对应法则边相同，所以与是相同函数。
③由于，
，它们对应法则不同，所以与是不同函数。
④⑥是不同函数，的定义域是R，而的定义域是
⑤是相同函数，与的定义域都，又
，所以它们的对应法则也相同。
说明：定义域、值域、对应法则是函数的三大要素，定义域与对应法则确定则值域也随而定，故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则（在本质上）相同。
例3．求下列函数的定义域
①
②
③
解：①由
结合右图：
故原不等式的解集是
②由
或
或
解之得：
或
或
或
③由
有
，
当
时，
当
时，
，则
与
同正或同负，
故定义域为
。
说明：求由函数解析规定的定义域，主要考虑以下几个因素①分式的分母不为0；②偶次根式被开方式大于等于0；③对数真数大于0，底数大于0且不等于1等。
例4．①已知函数
定义域为R，则
的取值范围是
②已知函数的定义域是
，则函数
的定义域是
③若函数
定义域是，则函数的定义域是
④函数定义域是，则函数
定义域是
解：①由
，则当时，显然
；当
时，要使，对任意恒成立，当且仅当
即
综上所述：的范围是
②由
，则
，即函数的定义域是
③由的定义域是
，则
，的定义域是
④由
得
，故的定义域是
例5．函数
的定义域是R，求实数m的取值范围。
解：由
对恒成立，即
对任意恒成立。
而
（当且仅当
时取“
”） 
的取值范围是
说明：对于恒成立问题，一般地，若
，恒成立，
的取值范围是
；若
，恒成立，则的取值范围是
，。
例6．求下列函数的值域
①
②
③
④
解：①由
，故
的值域是
②令
，则
y
故的值域是
④
函数的定义域是R。
由有
当
时，无解，
当
时，
即
综上原函数的值域是
。
例7．①
是R上奇函数，解关于的不等式
②函数的定义域为R，对任意，
，都有
，且
时，
，
。求在
上的最值。
解：①是奇函数，对任意，
即
，
故
设
，则
由于，
故在R上是单调增函数，其值域为
又由
由即
故的解集是
说明：本题在求值也可由
直接求出
，更加便捷。另外在解时，也可如下处理：节R上单调增，由则
即
又
的解集是
②由于对任意、，都有
又
是奇函数。
又设 
即
即
是R上单调减函数 
，
而
，
例8．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D，再回到A，设x表示点P的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数式。
解：如图，当点P在AB边上运动点，
；
当点P在BC边上运动时，
； P
当点P在CD边上运动时，
；
当点P在DA边上运动时，
故所求函数式为
例9．已知是定义在
上偶函数，当
时是减函数，如果不等式
恒成立，求实数的取值范围。
解：是偶函数 
不等式等价于
即
解之得：
说明：本题充分利用偶函数的性质：
，简化分解过程中繁琐的讨论。
例10．已知二次函数
满足
，
，且方程
有等根。
①求、、
；
②是否存在实数、
，使得函数在定义域内
值域为
。如果存在，求出、
的值，如果不存在，请说明理由。
解：①
的图象关于直线对称，即
…①
…② 
即
有等根，
③ 由①②③三个式得
，
，
②由①得
，
在上是单调增函数
即
、是方程
的两个不等根。
解得
，
答：存在
，满足条件
巩固练习
1．下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．
，
D．
，
2．下列图象中，不可能是函数
的图象是（ ）
3．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如果函数
满足
，则
（ ）
A．3 B．—3 C．3或—3 D．5或—3
5．若函数的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，
那么，当
时，
（ ）
A．
B．
C． D．
7．函数满足
，且
，
，则
8．函数
的定义域是
9．函数
的定义域是R，则的取值范围是
10．
值域是
11．
，则方程
的解集是
12．已知定义域是
，求①
的定义域；②
定义域；
能力提高
1．已知函数
的定义域是
，则
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数是偶函数，定义域为R，且在
上递减，则下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在区间
上，函数
与
在同一点处取得相同的最小值，那么在上的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的定义域是
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．对于满足
的所有实数
，使不等式
都成立的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．现有一组实验数据如下：
：1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
：1.5 4.04 7.5 12 18.01
准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
，
的值域是
8．
的单调增区间是
9．若
为奇函数，则实数
10．若函数
在上单调递减，则的取值范围是
11．设二次函数
，若存在
使
，则实数的取值范围是
12．若关于的方程
有正数解，则的取值范围是
13．若
且
，则
、
、
的大小关系是
巩固练习
1．A 2．C 3．C 4．A 5．D
6．C 7．B 8．B 9．B
10．
11．
12．
13．
14．
15．
16．①
②当
时，
当
时，
17．
能力提高
1．B 2．B 3．B 4．B 5．C 6．C
7．
8．
9．10
10．
11．
12．
13．
14．①
②2
15．证略
16．存在
，