MM定理的严格推导
一 基本模型
1. 未确定现金流的资本化率
假设公司只进行股权融资。
假设1：公司拥有的实物资产会带来一系列现金流（即收益），现金流是随机变量，不同个体对各现金流的预期期望值相同。
假设2[1]：某一公司的股票收益与同一类别（这应该就是类别的定义吧）的另一公司的股票收益的比值为常数。也就是说，对同一类别的公司，
有完全相同的分布（不是独立同分布，而是同一个分布）。
在上述假设下，每一类别的公司股票收益与其股价的比值的期望为常数。即，
或 
其中，
是第k类公司中、公司j的股价，
是其股票收益的期望，
为常数。
具有三个含义：
a) 式(2)表示是1单位股份的期望收益。
b) 式(1)中，令
，则
，表示
是为获得1单位收益所支付的成本。
c) 从终身年金的角度考虑，式(1)表示是未确定现金流的贴现率，即未确定现金流的资本化率。
2. 债务融资和其对股价的影响
可发债情况下，债务比例越高，公司的破产风险越大，股价波动也越大。公司有不同的“杠杠”，因此同一类别的公司的股票不是完全替代了，高杠杆公司的股票应该要求更高的收益率。
假设1：所有债券在单位时间内有确定的现金流。
假设2：债券市场完全竞争。即所有债券的收益与价格的比值相同，且是确定的。
命题
：在类别k中，设公司j的息前收益的期望为，公司债务的市场价值为
，公司普通股的市场价值为
，公司价值为
，则
表述1 对在类别k下的任一公司j，有
即：同一类别下的各公司价值与资本结构无关，仅取决于公司的期望收益和无杠杠公司的资本化率。同一类别所有公司的价值都是其期望收益的常数倍。
表述2 对在类别k下的任一公司j，有
即：同一类别下各公司的平均资本成本与资本结构无关，且等于无杠杆公司的资本化率。
证明：考虑同一类别下的两个公司。公司1全部用股权融资，公司2有杠杠。设两家公司的息前收益为
，根据前面的假设，
为常数。
考虑如下两种资产组合：
组合1：用1元钱买公司2的股票。
组合2：用1元钱+借入的
买公司1的股票。
组合1的收益为
，组合2的收益为
。
组合1-组合2构成的新组合的成本为0，收益为
，得
又
，
，代入上式得
。
证毕。
命题：记
为第k类别公司j的普通股收益率，为相应的资本化率，则
即：股票的期望收益率等于相应的资本化率+杠杠化的风险溢价
证明：该命题是命题的推论。
由命题，
，即
，化简即得。证毕。
可以发现是加权平均资本成本，即
。
还是每股份额的期望收益率，即
。证明该式只需将
代入命题。
3. 一些评论和MM定理的数学解释
可以发现在推导命题1和2时，资本化率扮演了一个非常重要的角色，公司的价值由其期望收益和资本化率完全决定，与其资本结构无关。事实上，资本化率是风险中性测度下的贴现率，它将具有不同风险的现金流贴现到现期，从而得到公司价值。
有税情况下的MM定理本质与无税情况相同，这里不再讨论。
MM定理是无套利定价方法的一个特例。我们可以将不同资本结构的公司股权看成金融资产。由于MM定理只考虑了同一类别下不同资本结构公司的市场价值，这其实是假设了现实中其他金融资产与公司股权不相关，没有作为无套利定价的参考变量。那么，在这问题中所有的金融资产即为：不同资本结构的公司股票和无风险债券。仅利用这些金融工具，我们要考虑的问题就是：公司的股票价值要满足什么条件，才能保证无套利？
这相当于给金融衍生品定价，标的资产就是公司的收益。而衍生品定价的无套利方法非常直观明白易懂。这个问题比MM定理更简单明了，而且解决起来很简单，也更容易推广。
下面具体来解决问题。下面讨论的所有公司都处于同一类别。
设公司j发行一份合约
，该合约给持有人的收益为公司的净利润，即资本收益-债券利息，则该合约是一份衍生品（MM定理貌似没有考虑破产风险，这个合约不是看涨期权，即在资本收益小于债券利息的情况下持有人要蒙受损失），标的资产为公司的资本收益，其价格为公司股权价值，设债权价值为，无风险收益率为r，公司的资本收益为
。如何给该合约定价是我们要考虑的问题。
由于公司的资本收益具有完全相关性，这里只需要两个不同的公司即可构造无风险组合。
对任意公司
，每期末合约的收益为
，
。设
，消去波动性，购买1份公司i的合约，卖出
份公司j的合约，则每期末收益为
其成本为
这是一个无风险组合，具有无风险收益率，则
，即成本=收益的现值。[2] （3）
若i公司为无杠杠公司，则
又
代入（3）式即得
实际上，由（3）式可直接得出公司价值与资本结构无关。化简（3）式得
即公司价值只与资本收益的均值相关，与资本结构无关。
4. 对
的进一步解释
既然公司的价值只与资本收益有关，则不只是表示了无杠杠公司的资本报酬率，实际上它是对公司价值和资本收益的关系的一种测度。对于任意公司，以该公司的资本收益除以公司价值，该值就是，然后可以用去计算同一类别的其他公司的价值。实际上是该类别的特征价格。
经过上面的讨论，有如下结论：
(1)公司的价值只取决于两个因素：a. 资本收益的均值；b. 公司类别的特征价格。公司价值为两者之商。
(2)公司类别的特征价格就是该类别中无杠杠公司的股权资本报酬率，也等于所有公司的加权平均资本率。也就是说，同一类别所有公司的加权平均资本率都相同，等于其特征价格。
[1] 该假设过于严格，它保证了任何情况下MM定理的成立。该假设可放宽，比如，如果人们的投资决策只与投资收益的分布有关，则只要假设同一类别公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相关。
[2] MM定理构造了每期的无套利组合，这里构造了整个时期的无套利组合。
第二篇：MM定理的修正
