第三章《圆》知识总结及基础训练
【知识整理】
一、定义: 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点称为圆心(centre of a circle)，定长称为半径(radius)的长(通常也称为半径)．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．
注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小；圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定．因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆
才被唯一确定．
二、点和圆的位置关系：
若设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，反过来，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．
1．点在圆外， d>r
2．点在圆上， d＝r
3．点在圆内， d<r
三、圆的对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
垂径定理：垂直干弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
注意：弦不是直径．
圆具有旋转不变性，圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦，所对的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半
推论一：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论二：
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
不在同一条直线上的三点确定一个圆．
四、直线和圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，如下图：
它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点．
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
判断直线和圆的位置关系有下列两种方法：
(1)从公共点的个数来判断；
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；
直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离(d与半径r的大小关系来判断：
d<r时，直线与圆相交； d＝r时，直线与圆相切； d＞r时，直线与圆相离．
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直这条直径的直线是圆的切线。
内切圆的概念 外接圆的概念
五、圆和圆的位置关系
圆和圆有以下五种位置关系
(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；
(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．
如果两圆的圆心距用d来表示,两圆的半径分别用R和r来表示,那么
当两圆相外离时，有d>R+r，反过来，当d>R+r时，两圆相外离，
当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，
当两圆相相交时，有R-r<d< R+r，反过来，当R-r<d< R+r时，两圆相相交
当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切
当两圆相内含时，有d<R-r，反过来，当d<R-r时，两圆相内含
六、弧长及扇形面积
弧长公式l＝
扇形面积的计算公式为S扇形＝
πR2， S扇形=
lR．
七、圆锥的侧面积
圆锥的侧面积为S侧＝πrl．
【基础训练】
1、下列命题为真命题的是 ( )
A、点确定一个圆 B、度数相等的弧相等
C、圆周角是直角的所对弦是直径 D、相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
2、若一个三角形的外心在这个三角形的斜边上，那么这个三角形是 ( )
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、不能确定
3、圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3:4:6，则∠D的度数为( )
A、60 B、80 C、100 D、120
4、如图1，正方形ABCD内接于圆O点P在弧AD上，∠BPC＝ ( )
A、50 B、45 C、40 D、35
5、如图2，圆周角∠A＝30，弦BC＝3，则圆O的直径是 ( )
A、3 B、3 3 C、6 D、6 3
6、如图3，CD是圆O的弦，AB是圆O的直径，CD＝8，AB＝10，则点A、B到直线CD的距离的和是 ( )
A、6 B、8 C、10 D、12
图1 图2 图3
7、如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC长为 ( )
A 0.5cm B 1cm C 1.5cm D 2cm
8、CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=6，则BE的长是（ ）
A．1或9 B．9 C．1 D．4
9、两圆的半径分别为R和r，圆心距d=3，且R，r是方程
的两个根，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
10、手工课上，小明用长为10π，宽为5π的绿色矩形卡纸，卷成以宽为高的圆柱，这个圆柱的底面圆半径是（ ）
A．5π B．5 C．10π D．10
二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分）。
11、若⊙O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB= ．
12、已知扇形的弧长为π，半径为1，则该扇形的面积为 ．
13、若⊙O1与⊙O2外切于点A，它们的直径分别为10cm和8cm，则圆心距O1O2= ．
14、如图4，已知⊙O的半径是6cm，弦CB=
cm，
OD⊥BC，垂足为D，则∠COB= ．
15、直线l与⊙O有两个公共点A，B，O到直线l的距离为
5cm，AB=24cm，则⊙O的半径是 cm．
16、圆锥的高为
cm，底面圆半径为3cm，则它的侧面积等于 ．
17、如图5，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧
所对的圆心角等于 ．
18、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展
开图扇形的圆心角度数是 ．
三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
19、在Rt△ABC中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C为圆心，R为半径作圆与斜边AB相切，求R的值。
20、已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，求BC边
上的高。
21、已知扇形的弧长为20cm，面积为16cm2，求扇形的半径。
22、如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长。
23、点P是⊙O内的一点，OP=4cm，圆的半径是5cm．求过点P的最长弦和最短弦的长．
四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分。）
24、如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。
25、如图在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线
过点
A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式。
第二篇：数学知识总结(圆)
