第12章  数的开方

§12.1平方根与立方根

一、平方根

1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）

即：若x²=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；

（2）零的平方根是零；

（3）负数没有平方根。

二、算术平方根

1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。

2、算术平方根的性质：

（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；

（2）零的算术平方根是零；

（3）负数没有算术平方根；

（4）算术平方根的非负性：≥0。

三、平方根和算术平方根是记号：

平方根±（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a）

即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；

“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。

四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。

五、立方根

1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）

即：若x³=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：

（1）一个正数的立方根为正；

（2）一个负数的立方根为负；

（3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。

中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。

六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。

七、注意事项：

1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是a；

“”→问：哪个非负数的平方是a；

“”→问：哪个数的立方是a。

2、注意和中的a的取值范围的应用。

如：若有意义，则x取值范围是            。（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3）

    若有意义，则x取值范围是            。（填：全体实数）

3、。如：∵，，∴

4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。

如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！！！！！！！）

5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。

如：确定的取值范围。∵＜＜，∴2＜＜3。

6、几个常见的算数平方根的值：，，，，。

八、补充的二次根式的部分内容

1、二次根式的定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。

2、二次根式的性质：(1)（a≥0，b≥0）；

(2) （a≥0，b＞0）；

(3) （a≥0）；

    (4)

3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a≥0，b≥0）；

（2）除法：（a≥0，b＞0）。

§12.2实数与数轴

一、无理数

1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。

2、常见的无理数：

（1）开方开不尽的数。如：，等。

（2）“”类的数。如：，，，，等。

（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等

二、实数

1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。

2、与实数有关的概念：

（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。

（2）倒  数：非零实数a的倒数为（a≠0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。

（3）绝对值：实数a的绝对值为：

3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。

4、实数的分类：

（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。

（2）按照定义分为：

5、几个“非负数”：

（1）a²≥0；           （2）|a|≥0；        （3）≥0。

6、实数与数轴上的点是一一对应关系。

第13章  整式的乘除

§13.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

1、法则：a^m·aⁿ·a^p·……=a^m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）

    文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：²·³·⁴=²⁺³⁺⁴=⁹；(-2)²·(-2)³=(-2)²⁺³=(-2)⁵=-2⁵；

()³·()⁴=()³⁺⁴=()⁷；(a+b)³·(a+b)⁴·(a+b)= (a+b)³⁺⁴⁺1=(a+b)⁸

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。

（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。

二、幂的乘方

1、法则：(a^m)ⁿ=a^mn（m、n均为正整数）。推广：｛[(a^m)ⁿ]^p｝^s=a^{mn p s}

   文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：(²)³=^2×3=⁶；[()³]⁴=()^3×4=()¹²；[(a-b)²]⁴= (a-b)^2×4=(a-b)⁸

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：a^mn= (a^m)ⁿ，如：a¹⁵= (a³)⁵= (a⁵)³

三、积的乘方

1、法则：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ（n为正整数）。推广：(acde)ⁿ=aⁿcⁿdⁿeⁿ

    文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(2)³=2²²=4²；(×)²=()²×()²=2×3=6；

(-2abc)³=(-2)³a³b³c³=-8a³b³c³；[(a+b)(a-b)]²=(a+b)²(a-b)²

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：aⁿbⁿ =(ab)ⁿ；如：2³×3³= (2×3)³=6³，(x+y)²(x-y)²=[(x+y)(x-y)]²

四、同底数幂的除法

1、法则：a^m÷aⁿ=a^m-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）

   文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：⁴÷³=^4-3=；(-2)⁵÷(-2)³=(-2)^5-3=(-2)²=4；

()⁶÷()⁴=()^6-4=()²=2；(a+b)¹⁶÷(a+b)¹⁴= (a+b)^16-14=(a+b)²=a²+2ab +b²

（2）注意a≠0这个条件。

（3）注意该法则的逆应用，即：a^m-n = a^m÷aⁿ；如：a ^x-y= a^x÷a^y，(x+y)^2a-3=(x+y)^2a÷(x+y)³

§13.2 整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

如：(-5a²b²)·(-4 b²c)·(-ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a²·a)·(b²·b²)·c =-30a³b⁴c

二、单项式与多项式相乘

法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(-3x²)·(-x²)+(-3x²)·2 x一(-3x²)·1=

三、多项式与多项式相乘

法则：

（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb

 (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb

§13.3 乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

1、公式：(a+b)(a-b)=a²-b²；名称：平方差公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(10+9)(10-9)=10²-9²=100-81=19；

(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)²-a²=4 x²y²-a²；

(a+b+)( a+b -)=(2xy)²-a²=4 x²y²-a²；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。

二、完全平方公式

1、公式：(a±b)²=a²±2a b+b²；名称：完全平方公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(+3)²=()²+2××3+3²=2+6+9=11+6；

(mn-a) ²=(mn)²-2mn·a+ a²= m²n²-2mna+ a²；

( a+b -)²=( a+b)²-2( a+b)+²= a²+2a b+b²-2a-b +²；

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：(a+ b+ c)²=a²+c²+b²+2a b+2bc+2ca

特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

§13.4 整式的除法

一、单项式除以单项式

法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

如：-21a²b³c÷3ab=(-21÷3)·a^2-1·b^3-1·c =-7ab²c

（2x²y）³·（-7xy²）÷14x⁴y³ =8x⁶y³·（-7xy²）÷14x⁴y³=[8×（-7）]·x⁶⁺¹y³⁺²÷14x⁴y³ =（-56÷14）·x^7-4·y^5-3=-4x³y²

5（2a+b）⁴÷（2a+b）²=（5÷1）（2a+b）^4-2=5（2a+bz²=5（4a²+4ab+b²）=20a²+20ab+5b²

二、多项式除以单项式

法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

如：(21x⁴y³-35x³y²+7x²y²)÷(-7x²y)=21x⁴y³÷(-7x²y)-35x³y²÷(-7x²y)+ 7x²y²÷(-7x²y)=-3x²y²+5xy-y

[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x

◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

§13.5 因式分解

一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）

因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。

△具体步骤：

（1）“看”。观察各项是否有公因式；

（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；

（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

△(a-b) ²ⁿ=(b-a) ²ⁿ(n为正整数)；(a-b) ²ⁿ⁺¹=-(b-a) ²ⁿ⁺¹(n为正整数)；

如：8a²b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a²+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)

(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)

三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

1、平方差公式： a²-b²=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。

△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：10²-9² =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x²y²-a²=(2xy)²-a²=(2xy+a)(2xy-a)；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。

2、完全平方公式：(a±b)²=a²±2a b+b²；名称：完全平方公式。

△注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：m²n²-2mna+ a²=(mn)²-2mn·a+ a²=(mn-a)²；

x²+4xy+y²=x²+2·x·2y+(2y)²=( x+2 y)²

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

四、补充分解法：

1、公式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。

如：x²+5x+6= x²+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；

x²+5x-6=x²+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1)

2、“十字相乘法”

如：=(x+2)( x+7)                 =(x+2)( x-4)

    1        2                               1       2

    1        7                               1       -4

    2   +  7=9                               2  + (-4)=-2

五、综合

1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。

2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：

（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；

（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；

（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。

3、注意事项：

（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；

（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；

（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；

（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。

第14章  勾股定理

§14.1勾股定理

一、直角三角形三边的关系

1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90^o，

∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c  则有：a²+b²=c²。

2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。

3、注意事项：

（1）勾股定理必须在Rt△使用，若遇到非Rt△，则可引垂线段“造”Rt△。

（2）注意Rt△中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。

（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“开平方”运算，一定要指明“边长为正”的条件，求的是边长的算数平方根。

二、Rt△的判定

1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。

2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：若△ABC的三边a、b、c满足a²+b²=c²，则∠C=90^o。

☆“勾股数”：指三个满足a²+b²=c²的正整数，我们称为勾股数。

☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt△。

§14.2勾股定理的应用

常见问题：

1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。

2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。

3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。

4、阴影面积问题。

5、作图中的作，，，等问题。

第二篇：华师大八年级数学(上复习总结

（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。

（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：≥0。

三、平方根和算术平方根是记号：

平方根±（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a）

即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；

“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。

四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。

2、立方根的性质：

（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。

中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。

七、注意事项：

1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是a；

“”→问：哪个非负数的平方是a；

“”→问：哪个数的立方是a。

2、注意和中的a的取值范围的应用。

如：若有意义，则x取值范围是            。（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3）

    若有意义，则x取值范围是            。（填：全体实数）

3、。如：∵，，∴

4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。

如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！！！！！！！）

5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。

如：确定的取值范围。∵＜＜，∴2＜＜3。

6、几个常见的算数平方根的值：，，，，。

八、补充的二次根式的部分内容

1、二次根式的定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。

2、二次根式的性质：(1)（a≥0，b≥0）；(2) （a≥0，b＞0）；

(3) （a≥0）； (4) 3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a≥0，b≥0）；（2）除法：（a≥0，b＞0）。

一、无理数

1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。

2、常见的无理数：

（1）开方开不尽的数。如：，等。

（2）“”类的数。如：，，，，等。

（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等

二、实数

1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。

2、与实数有关的概念：

（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。

（2）倒  数：非零实数a的倒数为（a≠0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。

（3）绝对值：实数a的绝对值为：

3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。

4、实数的分类：

（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。

（2）按照定义分为：

5、几个“非负数”：

（1）a²≥0；           （2）|a|≥0；        （3）≥0。

6、实数与数轴上的点是一一对应关系。

一、同底数幂的乘法

1、法则：a^m·aⁿ·a^p·……=a^m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）

    文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：²·³·⁴=²⁺³⁺⁴=⁹；(-2)²·(-2)³=(-2)²⁺³=(-2)⁵=-2⁵；

()³·()⁴=()³⁺⁴=()⁷；(a+b)³·(a+b)⁴·(a+b)= (a+b)³⁺⁴⁺1=(a+b)⁸

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。

（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。

二、幂的乘方

1、法则：(a^m)ⁿ=a^mn（m、n均为正整数）。推广：｛[(a^m)ⁿ]^p｝^s=a^{mn p s}

   文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：(²)³=^2×3=⁶；[()³]⁴=()^3×4=()¹²；[(a-b)²]⁴= (a-b)^2×4=(a-b)⁸

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：a^mn= (a^m)ⁿ，如：a¹⁵= (a³)⁵= (a⁵)³

三、积的乘方

1、法则：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ（n为正整数）。推广：(acde)ⁿ=aⁿcⁿdⁿeⁿ

    文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。

2、注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(2)³=2²²=4²；(×)²=()²×()²=2×3=6；

(-2abc)³=(-2)³a³b³c³=-8a³b³c³；[(a+b)(a-b)]²=(a+b)²(a-b)²

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：aⁿbⁿ =(ab)ⁿ；如：2³×3³= (2×3)³=6³，(x+y)²(x-y)²=[(x+y)(x-y)]²

四、同底数幂的除法

1、法则：a^m÷aⁿ=a^m-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：⁴÷³=^4-3=；(-2)⁵÷(-2)³=(-2)^5-3=(-2)²=4；

()⁶÷()⁴=()^6-4=()²=2；(a+b)¹⁶÷(a+b)¹⁴= (a+b)^16-14=(a+b)²=a²+2ab +b²

（2）注意a≠0这个条件。

（3）注意该法则的逆应用，即：a^m-n = a^m÷aⁿ；如：a ^x-y= a^x÷a^y，(x+y)^2a-3=(x+y)^2a÷(x+y)³

一、单项式与单项式相乘

法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

如：(-5a²b²)·(-4 b²c)·(-ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a²·a)·(b²·b²)·c =-30a³b⁴c

二、单项式与多项式相乘

法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(-3x²)·(-x²)+(-3x²)·2 x一(-3x²)·1=

三、多项式与多项式相乘

（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb

 (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb

一、两数和乘以这两数的差

1、公式：(a+b)(a-b)=a²-b²；名称：平方差公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(10+9)(10-9)=10²-9²=100-81=19；

(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)²-a²=4 x²y²-a²；

(a+b+)( a+b -)=(2xy)²-a²=4 x²y²-a²；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。

二、完全平方公式

1、公式：(a±b)²=a²±2a b+b²；名称：完全平方公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：(+3)²=()²+2××3+3²=2+6+9=11+6；

(mn-a) ²=(mn)²-2mn·a+ a²= m²n²-2mna+ a²；

( a+b -)²=( a+b)²-2( a+b)+²= a²+2a b+b²-2a-b +²；

（2）注意公式运用时的对位“套用”；

（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：(a+ b+ c)²=a²+c²+b²+2a b+2bc+2ca

特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

一、单项式除以单项式

法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

如：-21a²b³c÷3ab=(-21÷3)·a^2-1·b^3-1·c =-7ab²c

（2x²y）³·（-7xy²）÷14x⁴y³ =8x⁶y³·（-7xy²）÷14x⁴y³=[8×（-7）]·x⁶⁺¹y³⁺²÷14x⁴y³ =（-56÷14）·x^7-4·y^5-3=-4x³y²

5（2a+b）⁴÷（2a+b）²=（5÷1）（2a+b）^4-2=5（2a+bz²=5（4a²+4ab+b²）=20a²+20ab+5b²

二、多项式除以单项式

法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

如：(21x⁴y³-35x³y²+7x²y²)÷(-7x²y)=21x⁴y³÷(-7x²y)-35x³y²÷(-7x²y)+ 7x²y²÷(-7x²y)=-3x²y²+5xy-y

[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x

◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）

因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。

△具体步骤：

（1）“看”。观察各项是否有公因式；

（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；

（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

△(a-b) ²ⁿ=(b-a) ²ⁿ(n为正整数)；(a-b) ²ⁿ⁺¹=-(b-a) ²ⁿ⁺¹(n为正整数)；

如：8a²b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a²+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)

(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)

三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

1、平方差公式： a²-b²=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。

△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：10²-9² =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x²y²-a²=(2xy)²-a²=(2xy+a)(2xy-a)；

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。

2、完全平方公式：(a±b)²=a²±2a b+b²；名称：完全平方公式。

△注意事项：

（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

如：m²n²-2mna+ a²=(mn)²-2mn·a+ a²=(mn-a)²；

x²+4xy+y²=x²+2·x·2y+(2y)²=( x+2 y)²

（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

2、“十字相乘法”

如：=(x+2)( x+7)                 =(x+2)( x-4)

    1        2                               1       2

    1        7                               1       -4

    2   +  7=9                               2  + (-4)=-2

五、综合

1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。

2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：

（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；

（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；

（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。

3、注意事项：

（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；

（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；

（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；

（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。

第14章  勾股定理

§14.1勾股定理

一、直角三角形三边的关系

1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90^o，

∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c  则有：a²+b²=c²。

2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。

3、注意事项：

（1）勾股定理必须在Rt△使用，若遇到非Rt△，则可引垂线段“造”Rt△。

（2）注意Rt△中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。

（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“开平方”运算，一定要指明“边长为正”的条件，求的是边长的算数平方根。

二、Rt△的判定

1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。

2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：若△ABC的三边a、b、c满足a²+b²=c²，则∠C=90^o。

☆“勾股数”：指三个满足a²+b²=c²的正整数，我们称为勾股数。

☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt△。

§14.2勾股定理的应用

常见问题：

1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。

2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。

3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。

4、阴影面积问题。

5、作图中的作，，，等问题。

知识点1、等腰三角形的性质

（1）    对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴.

（2）    三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

（3）    等边对等角：等腰三角形的两个底角相等.

提示：“三线合一”是指对应的角平分线、中线、高线在画图时实际上只是一条线段

知识点2、等腰三角形的判定定理

定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.

提示：（1）定理题设中的两个角必须是同一个三角形中的两个内角，不能出现在两个三角形中；（2）结论中的两条边应是这两个内角的“对边”，这种对应关系不能混淆；（3）此定理的作用在于证明一个三角形为等腰三角形.

知识点3、等边三角形的性质与判定

1.    等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.

2.    等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”.因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴.

3.    有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等.

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点4、等腰三角形性质的应用

等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：

（1）    等腰三角形两底角的平分线相等；（2）等腰三角形两腰上的中线相等；

（3）等腰三角形两腰上的高相等；（4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)

全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)

有公共边的，公共边一定是对应边；  (4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角

已知条件中有两角对应相等，

可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) 

已知条件中有两边对应相等，

可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) 

已知条件中有一边一角对应相等，可找

 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 

一个三角形只要具备下列三个条件之一 ⑴一个角为90°；⑵一个角是另一个的2倍；⑶一个角是另一个角的3倍。 

都可以被分成两个等腰三角形。方法？课本84页习题3

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

1.    垂直平分线垂直且平分其所在线段。2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。　注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心(circumcenter)，并且这一点到三个顶点的距离相等。

对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。