20xx年大学高数学习方法总结

一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近XX年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢?

在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。

很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。

所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。

第二篇：20xx年考研难题总结,(同济大学高数,线代 ,浙大).doc

20##年考研难题总结，（同济大学高数，线代 ，浙大）

                          （ 2012.10整理）

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）

1. 函数在（-∞，+∞）上连续，则a =    2   。

2. 设函数y = y(x) 由方程所确定，则   。

3. 由曲线与x轴所围成的图形的面积A =   。

4. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则   。

5．设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l ，则  4l   。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 若且，则（   D   ）

       （A）存在；                      （B）

       （C）不存在；                    （D） A、B、C均不正确。

       2. 设，，则当时，（    A    ）

       （A）与为同阶但非等价无穷小；      （B）与为等价无穷小；

       （C）是比更高阶的无穷小；          （D）是比更低阶的无穷小。

3. 设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则在x = 1处（    D    ）

（A）不可导；                                （B）可导，且；

（C）可导，且；                     （D）可导，且。

4. 设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s > 0，t > 0，则I的值（ C ）

（A）与s和t有关；                             （B）与s、t及x有关；

（C）与s有关，与t无关；                       （D）与t有关，与s无关。

5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（   B   ）。

       （A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

       （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

       （C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

       （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。

以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。

       三、求极限 。（本题6分）

解：；

       ；

       ；

由此得到：

                                       。

       四、计算。（本题6分）

       解：

       命：，于是

      

       五、设函数的所有二阶偏导数都连续，，，求。（本题6分）

       解：两边对x求导，得到

代入，求得                      ，

两边对x求导，得到               ，

两边对x求导，得到         。

       以上两式与已知联立，又二阶导数连续，所以，故

。

       六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）

       解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为

则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S²达到最大值。

设                                              ，

问题转化成求在

上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y > z，而由假设x + y + z = 2p，即 z = 2p－（x + y），故有x + y > z = 2p－（x + y），所以有x + y > p。

       由，

求出在D内的唯一驻点。因在有界闭区域上连续，故在上有最大值。注意到在的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故在D内取得它在上的最大值。由于在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有

，

此时x = y = z =，即三角形为等边三角形。

七、计算。（本题8分）

       解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到

。

       八、计算曲面积分，其中Σ为上半球面的上侧。（本题7分）

       解：记S为平面z = 0（ x² + y² ≤a² )的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域，

九、已知a>0，x₁>0，定义

求证：存在，并求其值。（本题8分）

解：第一步：证明数列的极限存在：

    注意到：当n ≥ 2时，≥，因此数列有下界。又≤，即x_n+1≤x_n ，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。

    第二步：求数列的极限

    设：，则有≥。

由，

有，解得（舍掉负根），即。

十、证明不等式。（本题7分）

证明：设，则

。

命，得到驻点 x = 0。由

可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为，于是对任意有，即所证不等式成立。

十一、设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）

证明：由积分中值定理知，存在，使得

又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使得。

十二、设在区间上具有二阶导数，且，，。证明。（本题8分）

       证明：对任意的，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a，+∞)，于是有

，其中。

即                               

故                                ，（，h > 0）

命，试求其最小值。

命，得到，

，

所以，在处得极小值，亦即最小值，

。

故                                              ，（）。

20##年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．。

2．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。

3．。

4．设在点(－1,1)处沿方向的方向导数。

5．设Σ为曲面介于0≤Z≤R的部分，则。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 曲线的渐近线有（   B   ）

       （A）1条；                                  （B） 2条；

       （C）3条；                                  （D） 4条。

2. 若，则当n>2时（   A   ）

（A）；                            （B）；    

（C）；                               （D）。

3. 已知函数f (x)在（－∞，+∞）内有定义，且x₀是函数f (x)的极大值点，则（   C   ）

（A）x₀是f (x)驻点；                           （B）在（－∞，+∞）内恒有f (x)≤f (x₀)；

（C）－x₀是－f (－x)的极小值点；                （D）－x₀是－f (x)的极小值点。

4. 设，则z = z (x,y)在点（0，0）（   D   ）

（A）连续且偏导数存在；                        （B）连续但不可微；

（C）不连续且偏导数不存在；                    （D）不连续但偏导数存在。

5. 设，其中Ω：x²+y²+z²≤1，z≥0则（   D   ）

       （A）；                               （B）；

       （C）；                         （D）。

       三、已知极限，试确定常数n和C的值。（本题6分）

解：，

       故。

       四、已知函数f (x)连续，，求。（本题6分）

       解：命u = t － x，则当 t = 0 时，u = －x；t = x 时，u = 0，于是

      

       五、设方程，

⑴ 当常数a，b满足何种关系时，方程有唯一实根？

⑵ 当常数a，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）

       解：设，－∞<x<+∞，求导得

命得唯一驻点，又，故当时，y有最小值。且最小值为

又当x →－∞时，y →＋∞；x →＋∞时，y →＋∞，因此，

⑴ 当且仅当时，方程有唯一实根。

⑵ 当时，方程无实根。

       六、在曲线y = x²（x ≥ 0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为，试求：

⑴ A点的坐标；

⑵ 过切点A的切线方程；

⑶ 该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）

       解：⑴设A点坐标为 (x₀，y₀)，则y₀ = x₀²，于是可知切线方程

y ― x₀² = 2x₀（x ― x₀）即。

由题设，有

故有。

⑵ 切线方程为。

⑶ 在上述切线方程中令y = 0，得到，故所求旋转体的体积

七、计算。（本题7分）

       解：解法1

命，则有

       ，于是有

       。

同理，

所以有

       。

       解法2

       命，则

      

       八、设，其中具有连续的一阶偏导数，且。（本题7分）

       解：将y = sinx代入，得到，显然方程确定了 z 是x 的隐含数 z = z (x) ，所以

       又由                ，

得到                       。

九、求上的最大值与最小值。（本题7分）

解：解法1

在S上有，代入，得到

因此                                 

命，得到，

由于，

，又，所以

；

。

解法2

构造，

解方程组

联合求解(3)、(4)，得到6个可能的极值点

，

因为，所以

，。

十、计算，其中区域D为：。（本题7分）

解：如图，用直线将区域D分为D₁和D₂两个区域，则

十一、证明：当 0 < x < 1时，。（本题7分）

证明：本题即证当0 < x < 1时，，命：，于是有

       ，

       ，

       即在区间(0,1)内单调减少，而，故当 x > 0时，因而在区间(0,1)内单调减少，即，于是有，即。

十二、设C是取正向的圆周，f (x)是正的连续函数，证明：

（本题8分）

       证明：由格林公式有

，

其中D是由 ( x – 1 )² + ( y – 1 )² = 1所围成的区域。而

，

，

即                             ，

所以。

 

20##年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．设对一切实数x和y,恒有，且知，则    。

2．设   在x = 0处连续，则a =   。

3．设，其中是由方程所确定的隐函数，则  。

4．  。

5．曲线在点M (1,1,1)处的切线方程为  （或）。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 当时，下列无穷小量

① ；                   ② ；

③ ；                    ④ ，

从低阶到高阶的排列顺序为（   D   ）

       （A）①②③④；                             （B） ③①②④；

       （C）④③②①；                             （D） ④②①③。

2． 设，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为（    B    ）

（A） 1阶；          （B） 2阶；          （C） 3阶；          （D）4阶。

3． 设函数在 x = 1处有连续的导函数，又，则x = 1是（    B    ）

（A）曲线拐点的横坐标；              （B）函数的极小值点；

（C）函数的极大值点；                （D）以上答案均不正确。

4． 设函数f，g在区间[a，b]上连续，且（m为常数），则曲线和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为（    A    ）

(A) ；      (B) ；

(C) ；       (D) 。

5．  设，为在第一卦限中的部分，则有（   C   ）

（A）；                                        （B）；

（C）；                          （D）。

三、a，b，c为何值时，下式成立

。

（本题6分）

解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用诺必达法则得到

，

由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则

。

综上所述，得到如下结论：，b = 0，c = 0；

或a = 1，b = 0，c = －2。

       四、设函数，其中具有连续二阶导函数，且。

⑴ 确定a的值，使在点x = 0处可导，并求。

⑵ 讨论在点x = 0处的连续性。（本题8分）

       解：⑴ 欲使在点x = 0处可导，在点x = 0处必须连续，于是有

即当时，在点x = 0处连续。

当时，

；

当x = 0时，

故：

。

⑵ 因为

所以，在点x = 0处连续。

五、设正值函数在上连续，求函数的最小值点。（本题6分）

解：

注意到：在上，因此，当x > 1时，。

命：，得，解此方程得到唯一驻点 x = 2。

又，当时，；当x > 2时，，所以在点x = 2处取得极小值，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是的最小值点，最小值为。

六、设，且，求。（本题6分）

解：

七、设变换，把方程化为，试确定a。（本题7分）

       解： 计算一、二阶偏导数

      

       代入方程，得到

       ，

       于是有，所以。

       八、设函数在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t恒有，求。（本题7分）

       解：由曲线积分与路径无关知

       ，

       所以，其中为待定函数。又

       ；

       。

       根据题设，有

       ，

上式两边对t求导，得到

       ，于是知，即，故。

九、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且。在曲线y = f (x)上任意取一点作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作，求。（本题8分）

解： 过点的曲线y = f (x)的切线方程为：，

注意到：由于，所以当时，。因此，此直线在x轴上的截距为

。且。

利用泰勒公式将在点处展开，得到

。

类似可得：。代入得

      

十、设函数f (x)在闭区间上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间 (0,1) 内存在不同的ξ和η，使得

。

（本题7分）

证明：取数，由连续函数介值定理知，存在，使得。在区间[0,C]与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

      显然。

由于，所以，即。从而

，

注意到：若取，则，并且，代入得

。

十一、设，试证明在区间上有且仅有两个实根。（本题7分）

证明：

       由于是偶函数，所以是奇函数，是偶函数，于是知为偶函数。

又注意到：

，（当x > 0时）。

       因此，函数在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又为偶函数，所以在闭区间上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数在闭区间上有且仅有两个实根。

十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：

其中：D为圆域。（本题8分）

       证明：取极坐标系，由，得到

       ，

       将上式两端同乘r，得到

       。

于是有

      

       由积分中值定理，有

       ，其中。

       故。

 

20##年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．设函数，则函数的定义域为  。

2．设要使函数在区间上连续，则  。

3．设函数由参数方程所确定，其中f可导，且，则 3 。

4．由方程所确定的函数在点处的全微分dz =  。

5．设，其中 f 、具有二阶连续导数，则    。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

6． 已知，则(   A    )

       （A）12；            （B）3；             （C）1；            （D）0。

7．  设函数在的一个邻域内有定义，则在点处存在连续函数使是在点处可导的（    C    ）

（A）充分而非必要条件；                      （B）必要而非充分条件；

（C）充分必要条件；                          （D）既非充分，也非必要条件。

8． 设，则F(x)=（    D    ）

(A) ;               (B) ;

(C) ;              (D) 。

9． 函数，在点处（   B   ）

（A）可微；                                   （B）偏导数存在，但不可微；

（C）连续，但偏导数不存在；             （D）不连续且偏导数不存在。

10．      设为区间上的正值连续函数，与为任意常数，区域，则（   D   ）

（A）；                      （B）；              （C）；        （D）。

三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且

。

求：，，及。（本题6分）

解：因为           ，

       所以                         。

       由无穷小比较，可知            ，

以及                                   。

       从而                        ，其中，

即                                    。

       由此可得                   ，，。

       并有                    。

       四、计算。（本题6分）

解：

 

五、求函数在点处的100阶导数值。（本题6分）

解：方法一：利用莱布尼兹公式

，

又

由归纳法可得。

故。

所以。

方法二：利用泰勒公式

，故，。

六、设为定义在上，以T > 0为周期的连续函数，且。求。（本题7分）

解：对于充分大的x > 0，必存在正整数n，使得

。

又  ，

故有                          ，

及                     。

注意到：                    ，

且当时，。由夹逼定理可知           

。

七、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题8分）

解： 函数的方向导数的表达式为

。

其中：为方向的方向余弦。因此

。

       于是，按照题意，即求函数在条件下的最大值。设

，

则由

得以及，即得驻点为与。

       因最大值必存在，故只需比较

，，

的大小。由此可知为所求。

八、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题6分）

证明：设，则其在区间上连续，且，。

因而，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。

同理，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。

综上可知，方程至少有两个实根。

九、设。证明存在，并求之。（本题8分）

证明： 证明存在：

注意到：对于一切的n恒有

，

，

因此知数列有界。又

，

，……，

，

于是可知与同号，故当时，数列单调递增；当时，数列单调递减。也就是说，数列为单调有界数列，而单调有界数列必有极限。

求：

设，则

，

解之得，即。

十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）

       解： 旋转曲面的方程为。补充曲面

其法线向量与z轴正向相反；和

其法线向量与z轴正向相同。

设由曲面所围空间区域为，则

    

十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：，恒有

。

证明：（本题8分）

       证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有

其中：为某一点。另一方面

。

于是有

，

即。

命，两边取极限，得到，由的任意性知；且

，即。

类似。

十二、设函数在[0，1]上连续，且，试证：

⑴，使得；

⑵，使得。（本题8分）

证明： ⑴ 使用反证法，即假设当时，恒有成立，于是有

。

因此有                  ，。

从而有                      。

于是有，即，这显然与矛盾，故，使得为真。

⑵ 仍然使用反证法。

只需证，使得即可。这是显然的，因为若不然，则由在[0，1]上的连续性知，必有或成立，这与矛盾，再由的连续性及⑴的结果，利用介值定理即可证得，使得。

 

20##年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．   1   。

2．曲线，在点处的法线方程为 2x＋y－1=0 。

3．设为连续函数，且，则  。

4．函数在点处，沿点A指向点方向的方向导数为  。

5．设(a×b)·c = 2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=   4   。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

11．      设函数与在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，

⑴ 若，则；

⑵ 若，则。

则（    B    ）

（A）两个命题均正确；                        （B）两个命题均不正确；

（C）命题⑴正确，命题⑵不正确；              （D）命题⑴不正确，命题⑵正确。

12．      设函数连续，F(x)是的原函数，则（    A    ）

(A) 当为奇函数时，F(x)必为偶函数；

(B) 当为偶函数时，F(x)必为奇函数；

(C) 当为周期函数时，F(x)必为周期函数；

(D) 当为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。

13．      设平面位于平面：与平面：之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面的一个方程为（   D   ）

（A）；                   （B）；

（C）；                （D）。

14．      设为非零的连续函数，，则当t→0时（   C   ）

（A）与t为同阶无穷小；             （B）与t²为同阶无穷小；

（C）与t³为同阶无穷小；             （D）是比t³高阶的无穷小。

15．      设函数满足等式，且，则在点处（    A    ）。

（A）取得极小值；                       （B）取得极大值；

（C）在点的一个邻域内单调增加；       （D）在点的一个邻域内单调减少。

三、求函数的值域。（本题6分）

解：要求的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数为偶函数，故只需考虑x≥0的情况。为计算方便，命t=x²，得到

，

显然，与有相同的值域。求的驻点：

。

命，得到驻点，其对应的函数值为

，

显然，当k=2m(m=0,1,2,…)时，，其中最大值为；当k=2m+1 (m=0,1,2,…)时，，其中最小值为。于是得到函数的值域，亦即函数的值域为：。

       四、设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求。（本题6分）

解：，

五、设二元函数在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上，并满足，求的表达式。（本题6分）

解：显然满足题目条件。下面证明只有满足题目条件。

事实上，若不恒等于0，则至少存在一点，使得，不妨假设，同时，也必在D内至少存在一点，使为在D上的最大值。因为在D上可微，所以必有，于是得到

。

然而，由题设知，因此应有，这与的假设矛盾；同理可证：的情况。

因此可知在D上。

六、设二元函数具有一阶连续偏导数，且，求。（本题7分）

解：注意到：被积函数，由于此积分与路径无关，所以必有

，即有，

从而有，代入原积分式，得到

，

即                          ，

。

将上式两端对t求导，得到：     ，

即                                ，

从而得到                  。

       七、设曲线与交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形，试问：

⑴ 当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？

⑵ 最大体积为多少？（本题7分）

解：当x≥0时，由，解得A点的坐标为，故直线OA的方程为。

于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：

。

上式两边对a求导：。

命，得到a=4。由于a=4是当时的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最大体积，故在a=4时取最大值。其最大体积为：

。

八、设S为椭球面的上半部分，点，为S在点P处的切平面，为点到平面的距离，求。（本题7分）

解：设为上任意一点，则的方程为

，

从而知

。

由，有

，

于是                 。

所以         。

九、证明。（本题8分）

证明：方法一（利用积分估值定理）

命，

对上式右端的第二个积分，取变换，则，于是

注意到：被积函数的两个因子在区间上异号（，），由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。

方法二（利用积分中值定理）

命，

由积分中值定理，并在区间上取变换，同时注意到：，得

十、设正值函数在闭区间[a,b]上连续，，证明：

。

（本题8分）

证明：化为二重积分证明。记，则原式

十一、设函数在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得

。

（本题7分）

证明：将函数在点处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到

；

。

两式相加得到

。

由于连续，由介值定理知，存在使得，从而得

，

即                       。

十二、设函数在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，，且，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得。（本题8分）

证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数应用拉格朗日中值定理

；

。

注意到：，因此，。

命：，则在区间[-2,2]上可导，且

；

；

。

故在闭区间上的最大值，且。由弗马定理知。而                ，

故                        。

由于，所以，从而。

20##年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1．若是上的连续函数，则a =   －1    。

2．函数在区间上的最大值为 。

3． 。

4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 。

5．设函数由方程所确定，则 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

16．      设函数f (x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（   A   ）

（A）等价无穷小；                            （B）同阶但不等价的无穷小；

（C）高阶无穷小；                            （D）低阶无穷小。

17．      设函数f (x)在点x = a处可导，则在点x = a处不可导的充要条件是（   C   ）

（A）f (a) = 0，且；                  （B）f (a)≠0，但；

（C）f (a) = 0，且；                  （D）f (a)≠0，且。

18．      曲线（   B   ）

（A）没有渐近线；                            （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；

（C）有一条铅直渐近线；                      （D）有两条水平渐近线。

19．      设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（   D   ）

（A）若，则；      （B）若，则；

（C）若，则；      （D）若，则。

20．      设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（   B   ）

（A）；                            （B）；

（C）；                             （D）。

三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且，，求。（本题6分）

解：由题设可推知f (0) = 0，，于是有

。

故   。

       四、设函数由参数方程所确定，求。（本题6分）

解：由，，得到，所以

。

而当x = 9时，由及t > 1，得t = 2，故

。

五、设n为自然数，计算积分。（本题7分）

解：注意到：对于每个固定的n，总有

，

所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又

，

于是有

，

上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以

。

六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。（本题7分）

证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A≠0；又因f (x)为奇函数，所以。

命：

则在x = 0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数：

当x > 0，则－x < 0，；

当x < 0，则－x > 0，,

即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又

，

即                               ，

所以是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。

七、设f (u, v)有一阶连续偏导数，，，证明：

。

（本题7分）

解： 设：，则

类似可得，

代入原式左边，得到

八、设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0，求：。（本题7分）

解：记，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有

于是有

。

九、计算，其中L为正向一周。（本题7分）

解：因为L为，故

其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。

当时，；

当时，；

当时，；

当时，，

故D的面积为2×1=2。从而。

十、⑴ 证明：当充分小时，不等式成立。

       ⑵ 设，求。（本题8分）

证明：⑴ 因为，

又注意到当充分小时，，所以成立不等式。

⑵ 由⑴知，当n充分大时有，，故

，

而，于是

，

由夹逼定理知。

十一、设常数，证明：当x > 0且x≠ 1时，。（本题8分）

证明：设函数，

故要证，

只需证：当；当。

显然：。

命：，则。

当x = 2时，，x = 2为唯一驻点。又，，所以x = 2为的唯一极小值点，故为的最小值(x > 0)，即当x > 0时，从而严格单调递增。

又因，所以当；当。

十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a > R ，求此半球壳对棒的引力。（本题7分）

解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。

设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：

记。在球坐标下计算，得到

若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则

。

20##年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1.      设函数，，且当x→0时，与为等价无穷小，则a =  3 。

2.      设函数在点处取得极小值，则。

3.      。

4.      曲线在点（1，1，2）处的切线方程为。

5.      。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（   A   ）

（A）；               （B）；

（C）；                        （D）。

2. 设函数具有一阶导数，下述结论中正确的是（   D   ）

（A）若只有一个零点，则必至少有两个零点；

（B）若至少有一个零点，则必至少有两个零点；

（C）若没有零点，则至少有一个零点；

（D）若没有零点，则至多有一个零点。

3. 设函数在区间内具有二阶导数，满足，，又，则当时恒有（   B   ）

（A）；                         （B）；

（C）；                         （D）。

4.考虑二元函数在点处的下面四条性质：

①连续；                                       ②可微；

③与存在；                   ④与连续。

若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（   B   ）

（A）②③①；                           （B）④②①；

（C）②④①；                           （D）④③②。

5.设二元函数具有一阶连续偏导数，曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（   C   ）

（A）；                         （B）；

（C）；                         （D）。

三、已知曲线与曲线在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限。（本题6分）

解：由已知，显然有，且在点(0,0)处

故

因此，所求切线方程为y = x。

。

四、证明：当x > 2时，。（本题7分）

证明：设，

，

。

       又设：，则。

由拉格朗日中值定理知，存在，使

，

而，又，故。从而，当x > 2时，

，

即单调减少，从而。命题得证。

五、设，求。（本题7分）

解：利用牛顿—莱布尼兹公式：

。

设，

注意到：；

，

，

。

故，

于是有。

六、设当时，，且，试确定常数a的值，使在x = 0点处可导，并求此导数。（本题7分）

解：首先写出在 x < 0附近的表达式：当时，。由知，

，

故有

显然，在点 x = 0处连续，且，

，

。

因在x = 0点处可导的充要条件为：，即

，

且。

七、设函数在区间内连续，且满足，

⑴ 求；

⑵ 计算，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分）

解：⑴将原等式两边对x求导，得到

，

所以。

命：，于是有。

⑵ 因为，

所以。

于是可知I与积分路径无关，从而

，

命：，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12。

故          。

八、求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。（本题8分）

解：设所求平面的截距式方程为

。

因平面过点(a,b,c)，故有             。

四面体体积。

应用拉格朗日乘数法，设

，

命：                              

得到                     。

显然，否则，这与题意不符。代入上述第四个方程，得到

，

从而是唯一驻点，也是唯一最小值点。故所求平面为

。

九、设，计算。（本题7分）

解：将区域D分成三块：

于是

十、设函数，其中在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：在点(0,0)处可微的充要条件是。（本题8分）

证明：充分性

已知，欲证在点(0,0)处可微，只需证

。

注意到：                      ，

所以                               。

又，由夹逼定理知。

从而在点(0,0)处可微，并且。

必要性

已知在点(0,0)处可微，故与都存在。而

，

其中当时，；当时，。由于存在，故。

十一、计算，其中为一连续函数，Σ是平面在第四卦限部分的上侧。（本题7分）

解：化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量，则

其中。

故。

十二、设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有，，则至少存在一点，使得。（本题6分）

证明：由积分中值定理知，存在，使

。

又，故若设，显然满足罗尔定理的各个条件，从而至少存在一点使。而

，

从而有                          。