高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 表示方法:
1)列举法:{a,b,c??}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
?B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?
?A 或B?
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1? 有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x?R},N={x|x≥0},则M与N的关系是 .
4.设集合A=?x?x?2?,B=?xx?a?,若A?B,则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|
x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? ①表达式相同(与表示自变量和函数值
的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
(2) 画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对
应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那
么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D
称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ○
2 作差f(x1)-f(x2); ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○
2确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,○
则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2 利用图象求函数的最大(小)值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴y?
⑵y
2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为_ _
3.若函数f(x?1)的定义域为[?2,3],则函数f(2x?1)的定义域是
4.函数?x?2(x??1)? ,若f(x)?3,则x= f(x)??x2(?1?x?2)
?2x(x?2)?
5.求下列函数的值域:
⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]
(3)y?x
y6.已知函数f(x?1)?x2?4x,求函数f(x),f(2x?1)的解析式
7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4,则f(x)= 。
8.设f(x)是R上的奇函数,且当x?[0,??)时
,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时f(x) f(x)在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴ y?x2?2x?3
⑵y?⑶ y?x2?6x?1
10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论.
21?x11.设函数f(x)?判断它的奇偶性并且求证:f(1)??f(x). 21?xx
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果xn?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0?0。
?a(a?0)当n是奇数时,an?a,当n是偶数时,an?|a|?? ?a(a?0)?
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a?am(a?0,m,n?N*,n?1)
a?m
nmn,?1
m
n?1a
? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
rrr?s(1)a·a?a
(a?0,r,s?R);
rsrs(a)?a(2)
(a?0,r,s?R);
rrs(ab)?aa (3)am(a?0,m,n?N*,n?1)
(a?0,r,s?R).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或
[f(b),f(a)];
(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;
(3)对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1),总有f(1)?a;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果ax?N(a?0,a?1),那么数x叫做以记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,.a为底..N的对数,
logaN— 对数式)
3 注意对数的书写格式. ○
两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○
2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○
? 指数式与对数式的互化
幂值 真数
说明:○1 注意底数的限制a?0,且a?1; 2 ax?N?logaN?x; ○
对数 (二)对数的运算性质
如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么: 1 loga(M·N)?logaM+logaN; ○
M
2 loga○?logaM-logaN;
N
3 logaMn?nlogaM (n?R). ○
注意:换底公式
logcb
logab? (a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).
logca
利用换底公式推导下面的结论
1n
(1)logabn?logab;(2)logab?.
logbam
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函
m
数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:y?2log2x,y?log5x 都不是对数函数,而只能称其
5
为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1). ○
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;
(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 例题:
1. 已知a>0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
2.计算: ① 4?log23log32= ;253log527?2log52= ; ?②2
log2764
1
17?4?(?)0?[(?2)3]?16?0.75?0.01 =
81③0.064?3.函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为
2
4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=
5.已知f(x)?loga1?x(a?0且a?1),(1)求f(x)的定义域(2)求使f(x)?0的x的取值范围
1?x
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数○
y?f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数y?ax2?bx?c(a?0).
(1)△>0,方程ax2?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax2?bx?c?0有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax2?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型
第二篇:高中高一数学必修1各章知识点总结(1)
高中高一数学必修1各章知识点总结(1)
第一章 集合与函数(1)
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
元素的确定性; 元素的互异性; 元素的无序性
(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的。任何一个对象是不是这个给定的集合的元素,是毫不含糊的。
(2)在任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,不论其先后顺序。因此判定两个集合是否相等,仅需比较它们的元素是否一致,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:
(1)用拉丁字母记集合;
注意:常用数集及其记号:
自然数集N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数Q 实数集R
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括起来。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{直角三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x|x-3>2}. 注意:要特别
4、元素与集合的关系:从属关系
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A ,记作 a∈A ,相反,a不属于集合A ,记作 A?a
5、集合的分类:
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集Φ 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}。
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
(1)包含 ; (2)真包含。
①包含包括真包含和相等两种情形。
②任何一个集合是它本身的子集。
③空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
2、互补关系
(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(2)补集:设A是U的一个子集,由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A的补集(或余集)
(3)性质:①CU(CUA)=A ②(CUA)∩A=Φ ③(CUA)∪A=U
④CUΦ=U ⑤CUU=Φ
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、集合主要的运算性质:交换律、结合律、分配律和反演律. 反演律:①CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB);②CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)。
四、重要结论
1、crd(A∪B)+ crd(A∩B)= crd(A) +crd(B)。
2、若crd(A)=n,则集合A有2n个子集,2n -1个真子集,2n -1个非空子集,2n -2个非空真子集(n≥1).
3、A?B? A∩B=A? A∪B=B?(CUA)∪B= U?A∩(CUB)=Φ。