七年级下册数学知识点归纳

第6章  实数

1、平方根： 

⑴、定义：如果√a=a，则√a叫做a的平方根，记作“√a?”

（a称为被开方数）。 

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“√a”。      

  2、立方根：

 ⑴、定义：如果=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。 

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同 

3、a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。 

4、公式：⑴(√a)2=a（a≥0）；⑵?=a?（a取任何数）。 

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0

二实数的概念及分类:

(1).自然数(小学)：数出物体个数的这样的数，如1、2、3、4、5......叫做自然数。

(2).整数(小学)：0和自然数叫做整数。

(3)整数(中学)：正整数、负整数和0统称为整数。

(4)正数：大于0的数叫做正数。

(5)负数：小于0的数叫做负数。

(6)分数(小学)：形如1/2、5/3、7(3/5)这样的数叫做分数。

(7)分数(中学)：有限小数和无限循环小数统称为分数。

(8)有理数：整数和分数统称为有理数。

(9)无理数：无限不循环小数叫做无理数，具体表示方法为√2、√3这样的数。

(10)实数：有理数与无理数统称为实数。

第7章 一元一次不等式与不等式组

7.1不等式：一般地，用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

7.2不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

7.3一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集

第8章 整式乘除与因式分解

8.1幂的运算

同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；
⑤公式还可以逆用： （m、n均为正整数）

幂的乘方与积的乘方
※1. 幂的乘方法则： (m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
※2. .
※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，
如将（-a）3化成-a3
※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （n为正整数）。
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

同底数幂的除法
※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).
※2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即 ,如 ,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如 ,
④运算要注意运算顺序.

8.2整式乘法

※1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※2．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
※3．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到

8.3平方差公式与完全平方公式
¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
※即 。
¤其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

完全平方公式
¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
¤即 ；
¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
¤2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。

8.4整式的除法
¤1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
¤2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

8.5因式分解

这种吧一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫作把这个多项式分解因式方法：

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 

注意三原则   

    1 分解要彻底 

  2 最后结果只有小括号 

  3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）  

基本方法 

⑴提公因式法 

  各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 

  如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 

  具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 

  如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。     例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； 

            a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。   注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 

⑵公式法 

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。       

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。   立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；    立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 

  完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b) 2 3．   公式：a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)   例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)

第九章分式

基本知识点——分式

 分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成同分母分式（分式值不变）。
　　②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
　　最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
　　确定最简公分母的一般步骤：
　　Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；
　　Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
　　Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
　　Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
　　注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。                                             分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
　　步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
　　注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去     分子分母相同因式的最低次幂。
　　      ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

分式乘除法则

分式的乘方

分式的加减法法则

　　遇到分式相加减，首先观察比较，辨别是同分母分式相加减，还是异分母分式相加减；若是同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减，即若是异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即运算的结果，能约分的一定要约分，将结果化为最简形式．

分式的混合运算

分式的四则运算与分式的乘方常用公式

分式方程意义与解法

　　分式方程的意义

　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

　　分式方程的解法

　　①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号}；

　　②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项， 系数化为1）求出未知数的值；

　　③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.

　　一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。 　　如果分式本身约分了，也要代进去检验。

　列分式方程基本步骤

　　①审-仔细审题，找出等量关系。
　　②设-合理设未知数。
　　③列-根据等量关系列出方程（组）。
　　④解-解出方程（组）。注意检验
　　⑤答-答题。

解分式方程的步骤
　　⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
　　⑵解整式方程，得到整式方程的解。
　　⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
　　如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
　　产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

初一知识点：与分式有关的条件

第十章相交线 平行线与平移

10.1相交线：邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

同位角、内错角、同旁内角：

同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

对顶角的性质：对顶角相等。

补充；垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

10.2平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

10.3平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

10.4平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

第十一章  频数分布

频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

频率：频数与数据总数的比为频率。

组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。

第二篇：七年级下册数学知识点归纳(全)

七年级数学（下册）知识点总结

★ 必考▲重点√了解

★ 复习重点：七至十单元测试卷 任课教师：闫冠彬

相交线与平行线

【知识点】√

1. ▲平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________

2. 两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。P3 例；P8 2题；P9 7题；P35 2（2）；P35 3题

3. 两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线

叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

4. 垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足

5. 做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。

6. 做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点

向该边的延长线做垂线。 A AC?BC

7.

8. 垂线段最短； C B

9. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

10. 两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）,内错角Z（在

两条直线内部，位于第三条直线两侧），同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）。 P7 例、练习1

11.

12. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c P17 4

题

13. 平行线的判定。P15 例 结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直

线平行。

P15 练习；P17 7题；P36 8题。

14. 平行线的性质。P21 练习1，2；P23 6题

15. ★命题：“如果+题设，那么+结论。”P22练习1

16. 真、假命题P24 11题；P37 12题

17. 平移的性质P28归纳

三角形和多边形

1. 三角形内角和定理★

【重点题目】P76 3

例：三角形三个内角之比为2：3：4，则他们的度数分别为_____________

2. 构成三角形满足的条件：三角形两边之和大于第三边。

判断方法：在△ABC中，a、b为两短边，c为长边，如果a+b>c则能构成三角形，否则（a+b?c）不能构成三角形（即三角形最短的两边之和大于最长的边） 1

【重点题目】P64例；P69 2，6；P70 7

3. 三角形边的取值范围：三角形的任一边：小于两边之和，大于两边之差（的绝对值）

【重点题目】三角形的两边分别为3和7，则三角形的第三边的取值范围为_____________

4. 等面积法：三角形面积?1?底?高,三角形有三条高，也就对应有三条底边，任取其中一组底和高，2

1三角形同一个面积公式就有三个表示方法，任取其中两个写成连等（可两边同时?2消去）底?高2

?底?高，知道其中三条线段就可求出第四条。例如：如图1，在直角△ABC中，?ACB=900，CD是斜边AB

上的高，则有AC?BC?CD?AB

【重点题目】P70 8题

例 直角三角形的三边长分别为3、4、5，则斜边上的高为_____________

5. 等高法：高相等，底之间具有一定关系（如成比例或相等）

【例】AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线， S?ABC?4cm2，则S?ABE=_____________

6. 三角形的特性：三角形具有_____________

【重点题目】P69 5题

7. 外角：

【基础知识】什么是外角？外角定理及其推论

【重点题目】P75 例2 P76 5、6、8题

8. n边形的★内角和_____________★外角和_______√对角线条数为_____________

【基础知识】正多边形：各边相等，各角相等；正n边形每个内角的度数为_____________

【重点题目】P83、P84 练习1，2，3 ；P84 3，4，5，6；P90 4、5题

9. √镶嵌：围绕一个拼接点，各图形组成一个周角（不重叠，无空隙）。

单一正多边形的镶嵌：镶嵌图形的每个内角能被360整除：只有6个等边三角形（60），4个正方形（90），3个正六边形（120）三种

n??m??360：表示n个内角度数为?的正多边形与00 D 图1 000

m个内角度数为?的正多边形围绕一个拼接点组成一个周角，即混合镶嵌。

【例】用正三角形与正方形铺满地面，设在一个顶点周围有m个正三角形、n个正方形，则m，n的值分别为多少？

平面直角坐标系

▲基本要求：在平面直角坐标系中

1. 给出一点，能够写出该点坐标

2. 给出坐标，能够找到该点

▲建系原则：原点、正方向、横纵轴名称（即x、y）

√语言描述：以…（哪一点）为原点，以…（哪一条直线）为x轴，以…（哪一条直线）为y轴建立直角坐标系

▲ 基本概念：有顺序的两个数组成的数对称为（有序数对）

2

【三大规律】

1. 平移规律★

点的平移规律（P51归纳）

例 将P(2,?3)向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，则Q点的坐标为_____________ 图形的平移规律（P52归纳）

重点题目：P53 练习； P54 3、4题； P55 7题。

2. 对称规律▲

关于x轴对称，纵坐标取相反数

关于y轴对称，横坐标取相反数

关于原点对称，横、纵坐标同时取相反数

例：P点的坐标为(?5,7)，则P点

（1.）关于x轴对称的点为_____________

(2.) 关于y轴的对称点为_____________

（3.）关于原点的对称点为_____________

3.位置规律★

重点题目：

★P59 1题；★P46 10题； P46 8题归纳为√（了解）

数据的收集整理与描述

【统计调查】

1. ▲统计调查的步骤以及每个步骤所采取的方式（数据处理的一般过程）P177“一、本章知识结构图”

2. ▲会用表格整理数据

3. ▲常见的统计图有哪几种？理解各自的适用范围及画法 P160 7题；★P179 5题；P180 9题

【例】某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3

⑴如果来自甲地区的人数为180人，求这个学校的学生总数；

⑵若用扇形图描述数据,求出扇形各圆心角的度数。

4. ★★全面调查与抽样调查的优缺点 P158归纳 P159 3题

5. ▲简单随机抽样的特点

6. √分层抽样：先将总体分成几个层，然后再在各个层中进行简单随机抽样。分层抽样获得的样本与

样本的结构基本相同，与简单随机抽样相比，这种抽样能更好的反映总体。P158 练习1；P160 8 3

7. ★抽样调查的几个概念及其应用：总体，个体，样本，样本容量

【重点题目】P159 4题

【直方图】

▲用直方图描述数据的步骤（即做直方图的步骤）

1. 计算最大值与最小值的差

2. 决定组距与组数

√原则：当数据在100个以内时，按照数据的多少，分成5?12组

√ 组距：把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）

3. 列频数分布表

√频数：各小组内数据的个数称为频数

4. 画频数分布直方图

5. 小长方形的面积表示频数。纵轴为频数。等距分组时，通常直接用小长方形的高表示频数，即纵组距

轴为“频数”

6.

:①取每个小长方形的上边的中点，以及x

轴上与最左、最右直方相距半个组距的点。②连线

【重点题目】P169 3、4题

二元一次方程组和不等式、不等式组

1.解二元一次方程组，基本的思想是 ； 2.二元一次方程（组）：含两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。把具有相同未知数的两个二元一次方程组合起来，就组成了二元一次方程组。（具体题目见本单元测试卷填空部分）

3. ★解二元一次方程组。常用的方法有 和 。P96、P100归纳

4. ★列二元一次方程组解实际问题。关键：找等量关系

常见的类型有：分配问题P118 5题；P108 4、5题；P102 练习3；P104 8题；P1034题；追及问题P103 7题、P118 6题 ；顺流逆流 P102 练习2；P108 2题；药物配制 P108 7题；行程问题 P 99 练习4； P108 3，6题 顺流逆流公式：

5.不等式的性质（重点是性质三） P128 5、7题

6.利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来（课本上的练例、习题）P134 2

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一；其中去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。

7. 用不等式表示，P128 2题，P127 练习2；P123练习2

8. 利用数轴或口诀解不等式组（课本上的例、习题）

数轴：P140归纳

口诀（简单不等式）：同大取大，同小取小，大（于）小小（于）大取中间，大（于）大小（于）小，解不见了。

9.列不等式（组）解决实际问题：P129 10；P128 9题；P133 例2；P135 5、6、7、8、9，P139 例2；P140 练习2，P141 3、4题

不等式组的解集的确定方法（a＞b）：自己将表格补充完整：

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