一、函数、极限、连续
（一）函数
1、 分段函数
讨论y=f（x）在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
Eg：f(x)=|x|; 和符号函数f(x)=sgn x; 两个都是分段函数。
2、 隐函数
由方程F（x，y）=0确定y=y（x）称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，（不一定一个单值函数），有的不可以化。
3、 反函数
只讨论单值函数。
4、 区分基本初等函数和初等函数
(1) 基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；他们的概念、性质、图像意义深远，如利用图像求极限
(2) 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
Eg：分段函数不是初等函数。
5、复合函数
6、考研数学中常出现的非初等函数
(1)用极限表示的函数
<1>
<2>
(2)用变上、下限积分表示的函数
<1>
<2>
7、函数的几种性质
（1） 有界性； （2）奇偶性；
（2） 单调性：区分（严格）单调增加（
），单调不减（…
）；单调减少，单调不增。
（3） 周期性;
，一般把最小正周期称为周期。
例题：1、函数的定义域 （1）求
的定义域
定义域为 
（2）设f（x）的定义域为[-a，a]（a>0）,求f(
)的定义域。 
（重点是掌握这种方法及解题速度）
2、函数的值域
（1）有时直接不好求时，运用反函数的定义域即是原函数的值域！
（2）分段函数求值域和反函数时，要一段一段地考虑去求。
3.求复合函数有关表达式（第一、二种较多，第三种较少）
（1）已知f（x）和g（x），求
(2)已知g(x)和f[g(x)]，求f（x）---------------------------------------换元法（设中间变量t）
(3)
（4）有关复合函数方程---------------------------------换元法的灵活应用
4、有关四种性质
为奇函数
（2）求定积分时，函数奇偶性的应用：
（二）极限
1、性质：
(1)唯一性 ： 设lim
(2)不等式性质：
(如1/n的极限)
(3) 局部有界性：
(4) 运算法则：
2、无穷小与大
数列的极限，
时,为无穷小；函数的极限，只有当自变量取某种极限状态时，函数的极限等于0，它称为无穷小。
（2）
（3）无穷小与无穷大的关系
（4）无穷小与极限的关系：
（5）两个无穷小的比较：
（6）常见的等价无穷小：
（7）无穷小的重要性质：有界变量乘无穷小仍是无穷小。
3、求极限的方法
（1）利用极限的四则运算和幂指数运算法则（见上面）
（2）两个准则
准则1、单调有界数列极限一定存在
<1>
<2>
准则2、（夹逼准则）
(3) 两个重要极限
（4） 用无穷小重要性质和等价无穷小代换(见上面)
（5） 用泰勒公式（比等价无穷小更深刻）
（6） 洛必达法则
法则1、（
型）设
法则2、（
型）设
（7） 利用导数定义求极限
基本公式：
（8） 利用定积分定义求极限
基本公式：
函数连续的前提下
（9） 其他综合方法
（10） 求极限的反问题有关方法
例题：1、通过各种基本技巧化简后直接求出极限
（1） 提取相同因子，变成相似的分子与分母，再求。
（2） 
等差数列：
等比数列：
提取公因子，利用等比数列公式，然后利用因式分解，求极限
Eg1：
Eg2：
（3） 分子、分母同除以一个公因子的n次方，主要利用当
。
（4） 裂项法之后，再求和，得极限
(5)利用平方差公式、立方差公式
构造后等价无穷小代换，洛必达法则
2、用两个重要公式
(1)三角函数的倍角公式：
<2>
(2)“凑”公式的形式
<1>分子、分母分别求指数，再求极限
<2>换元凑： 
3、用夹逼准则求极限
4、用洛必达法则求极限：针对函数求为连续变量型。
（1）“”型和“”型：（数列型不能直接应用）
离散型不能直接用洛必达法则，故考虑
收敛的极限（离散型）不能直接应用，而用一个相应的函数求。
有时直接求导麻烦，先用一个变量替换（注意自变量范围的变化），再应用。
（2）“
”型和“
”型
《1》“”型:先用通分后化简为“”型，再应用。
《2》“”型：把其中一项放在分母的位置，变成“”型，再应用。
（3）“
”型，“
”型和“
”型
5、用无穷小重要性质和等价无穷小代换
注：等价无穷小代换只能用在乘和除的因子里，不能用在和、差中。
6、求分段函数的极限
7、求极限的反问题??????
Eg1
Eg2
（三）连续
1、函数在点
处连续和函数在区间内（上）连续
设函数
的某个邻域内有定义，如果
并且有
，如果函数在点处连续，则在点处可以交换
极限号和函数号的顺序。
2、函数的间断点（三种情形）及分类
第一类：函数在间断点处的左、右极限都存在，分为可去（左、右极限相等）、跳跃（不等）
第二类：除第一类以外的其他间断点，左、右极限至少有一个不存在，常见为无穷、振荡
3、初等函数的连续性
（1）在区间I连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在区间I仍是连续的。
（2）由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。
（3）在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。
（4）初等函数在它的定义区间内是连续的（就是包含在定义域内的区间）。
注：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。
4、闭区间[
]上连续函数的性质
(1)有界定理：如果函数
（2）最大值和最小值定理：如果函数
，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值
。
（3）
例题：1、讨论函数的连续性
主要讨论分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时， 需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。（即按左、右两侧分别去讨论）
2、已知函数的连续性求未知参数
根据极限值=函数值进行求解。
3、求函数的间断点并确定其类型
确定类型时，主要看间断点两侧的极限怎么样；有时直接求该点的极限。
Eg2：
4、求连续函数的极限-----分两种情形：
（1）
eg：
(2)
Eg：
5、利用介值定理的推论（零点定理）判断方程的根
补充：1、奇偶函数的七个性质
（1） 两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；
（2） 两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数；
（3） 一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；它们的和差是非奇非偶；
（4） 奇函数图象关于原点对称，并且在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；
（5） 偶函数图象关于
轴对称，并且在两个关于原点对称的区间上的单调性相反；
（6） 
（7） 
2、幂函数
性质:
