第一章有理数及其运算

1.整数：包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。正整数和负整数通称为自然数

2.正数：都比0大，负数比0小，0既不是正数也不是负数。

正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）

3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数，0的相反数是0。

在任意的数前面添上“-”号，就表示原来的数的相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。

4.绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

  或 

即：当是正数时，；当是负数时，；当=0时，

5.绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；

互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；

任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0

①对任何有理数a，都有|a|≥0

②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然

③若|a|=b，则a=±b

④对任何有理数a,都有|a|=|-a|

6.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：

①先求出两个数负数的绝对值；

②比较两个绝对值的大小；

③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

7.两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

8.数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大。

第二章   有理数的运算

1.有理数加法法则：·同号两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

               ·异号的两个数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得0.

               ·一个数同0相加仍得这个数

2.灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：

①互为相反的两个数，可以先相加；

②符号相同的数，可以先相加；

③分母相同的数，可以先相加；

④几个数相加能得到整数，可以先相加。

3.加法交换律：

4.加法结合律：

5.有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

6.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘积仍得0。

7.有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；

②改变减数的性质符号（变为相反数）

8.有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。

有理数的加减法混合运算的步骤：①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；

②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。

（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。）

9．倒数：如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与 、 …等）

10.有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘，积仍为0。

11.乘法交换律：

12.乘法结合律：

13.乘法分配律：

乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

14.有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；

②求出各因数的绝对值的积。

乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：

①零没有倒数

②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

15.有理数除法法则：·除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

·两个有理数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0除以任何数都得0，且0不能作除数，否则无意义。

16.有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

         

      

在中叫做底数，n叫做指数，读作的n次幂（或的n次方）。

注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=5¹；

②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

17.乘方的运算性质：

①正数的任何次幂都是正数；

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

③任何数的偶数次幂都是非负数；

④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；

⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；

⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

18.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。

                 ②如果有括号,先算括号里面的。

19.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减；

                    · 同级运算，从左到右进行；

                 · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

20.近似数和有效数字:

                 与实际相符的数，叫做准确数

                 与实际接近的数，叫近似数

21.有效数字：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位这时，从左边第一个非零数          字起到精确到那一位数字止，所有的数字

                            第三章   实数

1.一般地如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫a的二次方根.

一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.

正数的平方根称为算数平方根.

2 .实数定义：有理数与无理数统称为实数。

3．实数的分类: 无理数：无限不循环小数叫无理数。

        有理数：整数和分数统称有理数。

无理数定义：
即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
无理数是无限不循环小数。如圆周率π、等。

无理数性质：
无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数 
性质1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数 
性质2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数 
性质3 无理数加（减）有理数一定是无理数 
性质4 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数

无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如：4=4.0，=0.8，=0.33333……
而无理数只能写成无限不循环小数，
比如：=1.414213562…………
根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数；
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。

无理数的识别：
判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
初中常见的无理数有三种类型：
（1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；
（2）化简后含π的式子；
（3）不循环的无限小数。
掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。

4.实数的大小比较：用数轴表示数，右边的数总比左边的数大：正数＞0＞负数

     ( 1 ) 差值比较法：＞0＞，=0，＜0＜

（2）商值比较法：若为两正数，则＞＞；＜＜

（3）绝对值比较法：若为两负数，则＞＜＜＞

（4）两数平方法：如实数与数轴上的点一一对应。平面直角坐标系中的点与有序实数对之间一一对应。

数a的相反数是－a

一般地如果一个数的立方根等于a,那么这个数叫做a的立方根,也叫a的三次方根

求一个数的立方根的运算,叫做开立方.

一个正数有一个立方根, 一个负数有一个立方根;0的立方根是0.

在实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。先算乘方和开平，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

规律：正数的平方根中被开方数大的较大。正数的立方根中被开方数大的较大。

被开方数相同时，开方的次数越大结果越小。

第四章 代数式

1.代数式的概念：

            用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；

③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

2.代数式的书写格式：

①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；

②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；

③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如应写作；

④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；

⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。

⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米

3.代数式的系数：

             代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3，4。

  注意：①单个字母的系数是1，如a的系数是1；

②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab的系数是-1。a³b的系数是1

4.代数式的项：代数式表示6x²、-2x、-7的和，6x²、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项

注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。

5.单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。

6.系数：单项式前面的数字因数叫做这个单项式的系数。

7.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

8.多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的

 项叫做常数项。

9.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

10.整式：单项式与多项式统称整式。

11.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

注意：①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；

②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；

       ③几个常数项也是同类项。

。

12.合并同类项：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；

②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

         注意：

①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；

②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；

③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。

13.去括号时符号变化规律：

        如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号不变；

        如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

14.根据分配律去括号：

        括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。

注意：

①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；

②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“－”号；

③改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

第五章  一元一次方程

1.含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做方程的解。

只含有一个未知数，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

运用方程解决问题：（1）设未知数。（2）找出相等的数量关系，（3）根据相等关系列方                 

程，解决问题。

2.等式的性质：1、等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

                        

                2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

                        

3.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项

4.解方程步骤：解一元一次方程一般要去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系   

5.数化为1等，最后得出的形式。

第六章   图形的初步认识

1. 线段、射线、直线

 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：

 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）.

2..比较线段的长短

 线段公理:两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距离.

比较线段长短的两种方法:

①圆规截取比较法;

②刻度尺度量比较法.

 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;

用圆规可以画出线段的和、差、倍.

两点之间的所有连线中，线段最短。（两点间的线段长度，叫做这两点的距离）

两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

3角的度量与表示

角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;

这个公共端点叫做角的顶点;

这两条射线叫做角的边.

角的表示法：角的符号为“∠”

              ①用三个字母表示，如图1所示∠AOB

②用一个字母表示，如图2所示∠b

③用一个数字表示，如图3所示∠1

④用希腊字母表示，如图4所示∠β

4.角度数的换算：1°=60分，1′=60秒

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图5所示：

一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。如图6所示：

终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。如图7所示：

5.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

6.等角的补角相等，等角的余角相等

7.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

8.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

9.互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

10.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

11.如图8所示，过点C作直线AB的垂线，垂足为O点，线段CO的长度叫做点C到直线AB的距离。

第二篇：20xx.1.6浙教版数学七年级上知识点总结

1.有理数：

(1)整数和分数统称有理数.

???正整数?正整数?正有理数?正分数?整数?零?????(2)有理数的分类: ① 有理数?零 ② 有理数??负整数

???负整数?正分数负有理数??分数??负分数??负分数??越来越大

2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；a和-a互为相反数，0的相反数是0;

(2)注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a+b的相反数是-a-b；

4.绝对值：

(1) 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。

?a(a?0)?a(a?0)?(2) 绝对值可表示为：a??0(a?0) 或 a?? ；

???a(a?0)??a(a?0)

(4) ①非负性:|a|≥0 ②|a|=|-a| ③若|a|=b，则a=±b a

a?1?a?0 ； a

a??1?a?0；

数轴上两点间的距离：|a-b|

5. 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：

①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

1.有理数加法法则：·同号两个数相加，取加数的符号，并把绝对值相加。

·异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

·互为相反数的两数相加得0. ·一个数同0相加仍得这个数

2.灵活运用运算律：①相反数相加； ②同号相加； ③同分母相加； ④凑整的相加。

3.加法交换律：a?b?b?a

4.加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

5.有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

6.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘积仍得0。

7．倒数：如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与-1）注意：①零没有倒数②倒数等于本身的数：1，-1 2

等于本身的数汇总：相反数等于本身的数：0， 绝对值等于本身的数：正数和0 ，

平方等于本身的数：0,1 算术平方根于本身的数：0,1 平方根于本身的数：0

立方等于本身的数：0,1，-1. 立方根于本身的数：0,1，-1

8.有理数乘法法则

乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘，积仍为0。

第1页

乘法交换律：ab?ba 乘法结合律：(ab)c?a(bc) 乘法分配律：(a?b)?c?ac?bc

10.有理数除法法则：·除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

·两个有理数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。

·0除以任何数都得0，且0不能作除数，否则无意义。

11.有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 n个a?????????数 a?a?a????a? 22注意：①非负数：a≥0；若a+|b|=0 ?

幂

②据规律 0.12?0.01???

底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 12?1??102?100??????????????立方呢？

12.有理数混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行；

· 如有括号，先算括号内的运算。

13．科学记数法：把一个数记成a×10（1?a?10，n是整数）的形式，这种记数法叫科学记数法.

19. 216000精确到千位表示为：（ ），近似数2.14的准确数X的范围是（ ）

n

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

零 有限小数和无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无限不循环小数

负无理数

实数 正实数

负实数

2、无理数

无理数抓住“无限不循环”，归纳起来主要有三类：

π（2）化简后含有π的数，如7,2等；3二、平方根、算数平方根和立方根 （1）开不尽方的数，如+8等；（3）有特定结构的无限不循环小数，如0.1010010001?等；

1、平方根

a的平方根（或二次方跟）：?a，a的算术平方根a，a的负平方根—a，0的平方根和算术平方根都是0

一个数有两个平方根，他们互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。

a（a?0） 注意a的双重非负性： a?0（a?0） a2?a? -a（a<0） ；如 xx-11?x?0

?x?10

3、立方根：a 的立方根（或a 的三次方根） 注意：?a??a?第2页

一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。

四、实数大小的比较

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：a?b?0?a?b, a?b?0?a?b, a?b?0?a?b

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，aaa?1?a?b;?1?a?b;?1?a?b;

bbb

1.代数式的概念：

用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 ．．．

单独的一个数或一个字母也是代数式。(注意：代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。)

2.代数式的书写格式：

①带分数与字母相乘时，应带分数化成假分数，如2?a应写作1

347；②； a除法运算转为分数的写法，如4÷（a-4）应写作a?43

③在表示和（或）差的代差的代数式，把代数式括起来再写单位，如(a2?b2)平方米

3.代数式的系数： 代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3，4。 ．．．．．．

3 注意：①单个字母的系数是1，如a的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab的系数是-1。ab的系数是1

4.代数式的项：代数式6x2?2x?7表示6x2、-2x、-7的和，

6x2、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项（符号跟着走）

5.单项式

6.系数：单项式前面的数字因数叫做这个单项式的系数。

7.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

8.多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的 项叫做常数项。 9.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

10.整式：单项式与多项式统称整式。（a和1不是单项式，不是整式） x

11.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。常数也是同类项

12.合并同类项：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。

注意：最后结果一定要合并到不再含有同类项为止。

13.去括号时符号变化规律： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号不变； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

例：a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d

1.等式的性质：1、如果a?b,那么a?c?b?c 如果a?b,那么ac?bc

2、ab 如果a?b (c?0),那么?cc

2.解方程步骤：解一元一次方程一般要去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1

3．列方程解应用题的常用公式：

第3页

（1）行程问题： 距离=速度·时间 速度?距离 时间?距离；

时间速度

（2）工程问题： 工作量=工效·工时 工效?工作量 工时?工作量； 工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 工效工时

（3）顺水逆水问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2

顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程

（4）商品利润问题： 售价=定价几折 ， 售价?成本利润率??100%； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润 成本10

（5）储蓄问题：本金+利息=本息和， 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 ， 利息税=利息×税率（20%）

1.点、线、面、体统称为几何图形。 几何图形分为平面图形和立体图形。

2.

3.比较线段的长短

比较线段长短的两种方法:①圆规截取比较法; ②刻度尺度量比较法.

用刻度尺或圆规可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;

线段性质：两点之间的所有连线中，线段最短。（两点间的线段长度，叫做这两点之间的距离。） ．．．．．．．．

4.角的度量与表示

角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角; 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。平角, 周角 ．．．．．

5.角度数的换算：1°=60分，1′=60秒

6.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 ．．．．．

7.互余、互补：∠1+∠2=90°（互余）∠1+∠2=180°（互补）

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等

8：直线相交 对顶角相等

垂直: 两直线相交所构成的四个角中有一个是直角，则这两条直线互相垂直，他们互为垂线，它们的交点叫做垂足。

①在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ．．．．

②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

第4页