初中数学——有理数小结
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
2
3
4
5
6
8
9
10
11
第二篇：初中数学有理数的计算
有理数的计算
教学过程
一、有理数的加法
同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得零，一个数同零相加，仍得这个数。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
例一：已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c|等于（ B ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
例二：计算3+5+7+9+?+195+197+199的值是（ B ）
∵都是连续奇数，
∴共有（199+1）÷2-1=99个数，即：共有49对202和正中间的99+2=101，
∴原式=202×49+101=9999．
在连续奇数从1加到n中：有 个奇数．这里从3开始，故要减
去一个．
二、有理数的减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
例三： 的值是（ C ）
A、-11110 B、-11101 C、-11090 D、-11909
=10-100-1000-10000，
=-11090
例四：已知a、b互为相反数，且|a-b|=6，则b-1= 2或-4
：∵a、b互为相反数，∴a+b=0即a=-b．
当b为正数时，∵|a-b|=6，∴b=3，b-1=2；
当b为负数时，∵|a-b|=6，∴b=-3，b-1=-4．
三、有理数的乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，积为零。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
分配率：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别于这两个数相乘，再把积相加。
例五：绝对值不大于4的整数的积是（ B ）
A、16 B、0 C、576 D、-1
绝对值不大于4的整数有，0、1、2、3、4、-1、-2、-3、-4．，所以它们的乘积为0
例六：商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上再打八折销售，则该商品的售价是 128元．
200× × =128元
四、有理数的除法
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。
除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。
例七：下列说法中错误的是（ C ）
A、零不能做除数
B、零没有倒数
C、零没有相反数
D、零除以任何非零数都得零
例八：某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，一次服用这
种药品的剂量范围是（ C ）
A、15mg～30mg B、20mg～30mg C、15mg～40mg
D、20mg～40mg
五、有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中， 叫做底数， 叫做指数， 读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”。
例九：下列各数对中，数值相等的是（ B ）
A.+32与+23 B、-23与（-2）3 C、-32与（-3）2 D、3×22与（3×2）2
例十：（2001?金华）我们平常的数都是十进制数，如2639=2×
103+6×102+3×10+9，表示十进制的数要用10个数码（也叫数
字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子数字计算机中用
二进制，只要两个数码0和1．如二进制数101=1×22+0×
21+1=5，故二进制的101等于十进制的数5；10111=1×24+0×
23+1×22+1×2+1=23，故二进制的10111等于十进制的数23，
那么二进制的110111等于十进制的数 55.
110111=1×25+1×24+0×23+1×22+1×2+1=55
六、非负数问题
例十一：若|a-1|+（b+2）2=0，则 = -2
：∵|a-1|+（b+2）2=0，
∴a-1=0，解得：a=1；
b+2=0，解得：b=-2．
则 =（-2）1=-2．
例十二：若（|x|-1）2+（2y+1）2=0，则xy的值是（ A ）
A、 B. C. D.-1
：∵（|x|-1）2+（2y+1）2=0，
由非负数的性质可得（|x|-1）2=0且（2y+1）2=0，
解得|x|=1 且 2y=-1，
∴x=±1 y=- ，
七、有理数的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号，先进行括号里的运算。
例十三：（2011?台湾）计算 之值为（ C ）
A.-1.1 B.-1.8 C.-3.2 D.-3.9
原式= ，
=-2.5-0.7，
=（-2.5）+（-0.7），
=-3.2．
例十四：下列各式中，运算过程正确的是（ C ）
A、2a2+3a3=5a5
B、1-（5-3）=1-5-3=-7
C、3×（ ）×6=3×（-2）=-6 D、（-5）2×（ ）=-10
×（ ）=2
解：A中不是同类项，不能合并；
B中去括号时出错了，应1-（5-3）=1-5+3=-1；
C中计算正确．
D中应为（-5）2×（ ）=25×（ ）=-5．
八、近似数和有效数字
与实际完全符合的数称为准确数，与实际接近的数称为近似数。
由四舍五入得到的近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末
位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
例十五：
用四舍五入法得到的近似数是2.003万，关于这个数下列说法正
确的是（ D ）
A、它精确到万分位
B、它精确到0.001
C、它精确到万位
D、它精确到十位
例十六：9位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余分数的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数，该运动员得9.4分，那么如果精确到两位小数，该运动员得分应当是 9.43分。
∵用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到9.4的数值范围是：（大于等于9.35和小于9.45之间）
∴9个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是7个人的分数． ∴该运动员的有效总得分在大于或等于9.35×7=65.45分和小于
9.45×7=66.15之间．
∵每个裁判给的分数都是整数，
∴得分总和也是整数，
在65.45和66.15之间只有66是整数，
∴该运动员的有效总得分是66分．
∴得分为：66÷7≈9.4286，
精确到两位小数就是9.43．
九、科学计数法
例十七：三创吉尼斯纪录的拉面王子厉恩海，利用一公斤面粉拉出1 048 576根细面，累计长度2 652公里，是万里长城山海关到嘉峪关的距离，是珠穆朗玛峰最高峰的266倍，面如细丝，一根针眼可穿20多根细面，1 048 576用科学记数法表示为 （保留三个有效数字）．
例十八：地球上七大洲面积约为149480000km2，用科学记数法表示（保留2个有效数字）为 m2
149480000km2=149480000000000m2
练习：
1.两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是 -1．
由于两个三位自然数最大之和为999+999=1998，则两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是999+999-1999=-1
2.（2008?台湾）计算48÷（ + ）之值为何（ C ）
A、75 B、160 C、 D、
48÷（ + ）
=48÷（ ）
=48
= 48
=
3.（-3）2-|-10|=-1
4.对有理数a，b，定义运算a*b= ，则4*5= -20
5. -2
6. 1
7.
8.
课后作业：
1.下列运算中正确的是（ D ）
A、3.58-（-1.58）=3.58+（-1.58）=2
B、（-2.6）-（-4）=2.6+4=6.6
C.
D.
A选项，3.58-（-1.58）=3.58+1.58=5.16；
B选项，（-2.6）+4=1.4；
C选项，0- - =- ；
D选项，
.（2007?镇江）按图中的程序运算：当输入的数据为4时，则输出的数据是2.5
（4-6）÷（-2）=1＜2，
2
所以再把1代入计算：（1-6）÷（-2）=2.5＞2，
即2.5为最后结果．
3.如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为144米2．
道路的总长为：（20+10-2）米，即28米．
则道路所占面积为28×2=56米2，
则草地面积为20×10-56=144米2
4. 计算： = -477
5. =-1
6. =
7. 62
8. -
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：________
教学总结：（1、学生的学习习惯、态度；
什么；3、本人的教学得失）
2、学生本次课收获了