概率部分知识点总结
事件：____________，确定性事件: _____________和____________
随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件
在
次实验中发生了
次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为
概率是频率的__________，频率是概率的_________
概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 ，有_________
② 
③如果事件
古典概率：① ___________ ② _______________满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个，则每一个基本事件发生的概率都是
，如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件，则事件发生的概率为 
求古典概型概率的方法：___________、___________、___________、___________
几何概型：一般地，一个几何区域
中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域
内”为事件，则事件发生的概率为
__________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多变形的测度为该图形的面积；立体图像的测度为其体积 ）
几何概型的基本特点：① ____________ ② _______________
互斥事件：___________________________称为互斥事件
对立事件：____________________________,则称两个事件为对立事件，事件的对立事件 记为：
注意：① 若
可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件
是互斥事件，则有
⑦ 一般地，如果 
两两互斥，则有
⑧ 
⑨ 在本教材中
指的是 中至少发生一个 ⑩在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件
事件A和事件B的和：_______________________________________________________
事件A和事件B的积：_______________________________________________________
例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？
变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：
（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？
例2.将一颗骰子向上抛掷两次，所得点数分别为
和
，则函数
在
上不是单调函数的概率是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
变式训练1：设关于x的一元二次方程
，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
变式训练2：有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两个同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A.
B. C.
D.
变式训练3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求：
(1)两数之和为5的概率；
(2)两数中至少有一个奇数的概率；
(3)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15内部的概率.
变式训练4. 袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：
(1)3个全是红球的概率． (2)3个颜色全相同的概率． (3)3个颜色不全相同的概率． (4)3个颜色全不相同的概率．
例2. 如图，分别以正方形
的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？
变式训练2：如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A．
B．
C．
D．
变式训练3：如图，已知矩形
的概率？
变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r < a的
硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相
碰的概率？
变式训练5. 右图是用模拟方法估计圆周率
的程序框图，
表示估计结果，则图中空白框内应填
入（ ）
A．
B．
C．
D．
例3：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？
例4：如图，在等腰直角三角形
中，在斜边
上任取一点
，求
的概率？
变式训练：如图，在等腰直角三角形中，在
内部任意作一条射线
，与线段交于点，求的概率？
课堂练习：
一、选择题
1．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( ).
A． 
B．
C．
D．
2．在区间
上随机取一个数x，cos x的值介于0到
之间的概率为( ).
A．
B．
C． D．
3．从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).
A．
B．
C．
D．
4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ).
A． B．
C．
D．
5．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ).
A．
B．
C．
D．
6．若在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为( ).
A． B．
C．
D．
7．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是( ).
A． B． C． D．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中随机取点，则点落在四棱锥O－ABCD(O为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).
A． B．
C． D．
9．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，则“出现1点或2点”的概率为( ).
A． B．
C． D．
二、填空题
10．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________．
11．有A，B，C三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A未被照看的概率是 ．
12．抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有1～6点)，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为 ．
13．已知函数f(x)＝log2x， x∈
，在区间上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为 ．
14．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ．
15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．则a＋b能被3整除的概率为 ．
三、解答题
16．射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13．计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数小于8环的概率．
17．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
18．同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有1～6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准)，试计算出现两个点数之和为6点、7点、8点的概率分别是多少？
19．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
第二篇：高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练教师版
概率部分知识点总结
事件：____________，确定性事件: _____________和____________
随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件
在
次实验中发生了
次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为
概率是频率的__________，频率是概率的_________
概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件 ，有_________
② 
③如果事件
古典概率：① ___________ ② _______________满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个，则每一个基本事件发生的概率都是
，如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件，则事件发生的概率为 
求古典概型概率的方法：___________、___________、___________、___________
几何概型：一般地，一个几何区域
中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域
内”为事件，则事件发生的概率为
__________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多变形的测度为该图形的面积；立体图像的测度为其体积 ）
几何概型的基本特点：① ____________ ② _______________
互斥事件：___________________________称为互斥事件
对立事件：____________________________,则称两个事件为对立事件，事件的对立事件 记为：
注意：① 若
可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件
是互斥事件，则有
⑦ 一般地，如果 
两两互斥，则有
⑧ 
⑨ 在本教材中
指的是 中至少发生一个 ⑩在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件
事件A和事件B的和：_______________________________________________________
事件A和事件B的积：_______________________________________________________
例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法
解法1：（互斥事件）设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为意义为“选取2个球都是其它颜色球”
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 
.
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
种情况，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有
所以
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为， 意义为“选取3个球都是白球”
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 
.
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
种情况，设事件 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有
， 所以 
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：
（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
解：设事件为“第1次抽到的是次品”， 事件
为“抽到的2次中，正品、次品各一次”
则 
，
（或者
）
答：第1次抽到的是次品的概率为
，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为
变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？
【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来
解：设事件为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件为“至少1人抽到选择题”，则
为“两人都抽到填空题”
（1）
（2）
则 
答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 
，少1人抽到选择题的概率为 .
例2.将一颗骰子向上抛掷两次，所得点数分别为
和
，则函数
在
上不是单调函数的概率是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
C.因为函数在上不是单调函数，所以对称轴落在区间内，则有
，而
，得
，这时
的取值有
共5种，总数有36种，故所求的概率为.
变式训练1：设关于x的一元二次方程
，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
设事件A为“方程有实根”。当
时，方程有实根的充要条件是
，事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
。
变式训练2：有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两个同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A.
B. C.
D.
总共的方法数为
，甲、乙参加同一个兴趣小组的方法数为
，所以这两个同学参加同一个兴趣小组的概率为
，故选A
变式训练3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求：
(1)两数之和为5的概率；
(2)两数中至少有一个奇数的概率；
(3)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15内部的概率.
将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件.
(1)记“两数之和为5”为事件A,则事件A中含有4个基本事件,所以 
(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,所以 
(3)基本事件总数为36,点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则C包含8个事件,
变式训练4. 袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：
(1)3个全是红球的概率． (2)3个颜色全相同的概率． (3)3个颜色不全相同的概率． (4)3个颜色全不相同的概率．
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
例2. 如图，分别以正方形
的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【命题意图】几何概率问题
【易错分析】若对图形的对称性把握不好，则较难求出1片
阴影部分的面积，且易将其面积错算为
，以致错选答案B
【完美答案】C.设正方形的边长为2，则1片阴影部分的面积为
，所以阴影部分的面积
，
，故选C.
变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？
略解：
变式训练2：如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A．
B．
C．
D．
解析：令
，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为
，围成OC为
，作对称轴OD，则过C点。即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，
。在扇形OAD中
为扇形面积减去三角形OAC面积和
，
，
，扇形OAB面积
，选A.
变式训练3：如图，已知矩形
的概率？
略解：
变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r < a的
硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相
碰的概率？
解：设事件为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币
的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线
，垂足
为
， 线段的长度的取值范围为
，其长度就是
几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度，只有当
时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足
事件 的区域的几何测度，所以
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为
变式训练5. 右图是用模拟方法估计圆周率
的程序框图，
表示估计结果，则图中空白框内应填
入（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】M表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数，
则点落入扇形的概率为
，由几何概型知，点落入扇形的概率为
，则
，故选D
例3：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？
解：设“两人能会面”为事件，以 x和y分别表示
甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充
要条件为： 
在平面上建立如图所示的
坐标系，则
的所有可能的结果是边长为60的
正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，
由几何概型知，
答：两人能会面的概率
.
例4：如图，在等腰直角三角形
中，在斜边
上任取一点，求
的概率？
【分析】点随机的落在线段上，故线段为区域
，当点位于如图的
内时，故线段
即为区域
解: 在上截取
，于是
答：的概率为
变式训练：如图，在等腰直角三角形中，在
内部任意作一条射线
，与线段交于点，求的概率？
错解：在上截取 ，在内部任意作一条射线，满足条件的看作是在线段上任取一点，则有
正解：在内的射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，在上截取 ，则
，故满足条件的概率为
课堂练习：
一、选择题
1．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( ).
A． 
B．
C．
D．
2．在区间
上随机取一个数x，cos x的值介于0到
之间的概率为( ).
A．
B．
C． D．
3．从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).
A．
B．
C．
D．
4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ).
A． B．
C．
D．
5．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ).
A．
B．
C．
D．
6．若在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为( ).
A． B．
C．
D．
7．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是( ).
A． B． C． D．
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中随机取点，则点落在四棱锥O－ABCD(O为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).
A． B．
C． D．
9．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，则“出现1点或2点”的概率为( ).
A． B．
C． D．
二、填空题
10．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________．
11．有A，B，C三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A未被照看的概率是 ．
12．抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有1～6点)，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为 ．
13．已知函数f(x)＝log2x， x∈
，在区间上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为 ．
14．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ．
15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．则a＋b能被3整除的概率为 ．
三、解答题
16．射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13．计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数小于8环的概率．
17．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
18．同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有1～6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准)，试计算出现两个点数之和为6点、7点、8点的概率分别是多少？
19．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
一、选择题
1．D
解析：1位正整数是从1到9共9个数，其中任意两个不同的正整数求和有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36种情况，和是8的共有3种情况，即（1，7），（2，6），（3，5），所以和是8的概率是.
2．A
解析： 在区间
上随机取一个数x，即x∈时，要使
的值介于0到
之间，需使－
≤x≤－
或≤x≤，两区间长度之和为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为
＝
．故选A.
3．D
解析：从5个数中选出3个数的选法种数有10种，列举出各种情形后可发现，和等于6的两个数有1和5，2和4两种情况，故选出的3个数中任何两个数的和不等于6的选法有(10－3×2)种，故所求概率为
＝．
4．A
解析：从五个球中任取两个共有10种情形，而取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况：即1＋2＝3，2＋4＝6，1＋5＝6，，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为．
5．D
解析：由于一个三位数，各位数字之和等于9，9是一个奇数，因此这三个数必然是“三个奇数”或“一个奇数两个偶数”．又由于每位数字从1，2，3，4，5中抽取，且允许重复，因此，三个奇数的情况有两种：(1)由1，3，5组成的三位数，共有6种；(2)由三个3组成的三位数，共有1种．一个奇数两个偶数有两种：(1)由1，4，4组成的三位数，共有3种；(2)由3，2，4组成的三位数，共有6种；(3)由5，2，2组成的三位数，共有3种．再将以上各种情况组成的三位数的个数加起来，得到各位数字之和等于9的三位数，共有19种．又知从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数共有53＝125种．因此，所求概率为．
6．D
解析：所求概率为
＝．
7．B
解析：区域Ω为区间[-2，3]，子区域A为区间(1，3]，而两个区间的长度分别为5，2．
8．A
解析：所求概率即为四棱锥O－ABCD与正方体的体积之比．
9．B
解析：A，B为互斥事件，故采用概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋(B)＝＋＝．
二、填空题
10．
．
解析：因为电台每小时报时一次，我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间，例如(13∶00，14∶00)，而且取各点的可能性一样，要遇到等待时间短于10分钟，只有当他打开收音机的时间正好处于13∶50至14∶00之间才有可能，相应的概率是
＝．
11．．
解析：基本事件有A，B；A，C；B，C 共3个，A未被照看的事件是B，C，所以A未被照看的概率为.
12．．
解析：A，B为互斥事件，故采用概率的加法公式得P(A＋B)＝，1－P(A＋B)＝．
13．．
解析：因为f(x)≥0，即log2 x0≥0，得x0≥1，故使f(x)≥0的x0的区域为[1，2]．
14．．
解析：从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出3条共有4种不同的取法，其中可构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)三种，故所求概率P＝
．
15．
．
解析：把一颗骰子抛掷2次，共有36个基本事件．设“a＋b能被3整除”为事件A，有(1，2)，(2，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12个．
P(A)＝．
三、解答题
16．解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52．
所以，射中10环或9环的概率为0.52．
(2)P(A∪B∪C∪D)= P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87．
所以，至少射中7环的概率为0.87．
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29．
所以，射中环数小于8环的概率为0.29．
17．解：这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船
到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待
码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要
等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲
早到达2h以上，即y－x≥1或x－y≥2．故所求事件构
成集合A＝{(x，y)| y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，
y∈[0，24]}．
A对应图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形．
由几何概型定义，所求概率为
P(A)＝
＝
＝
＝0.879 34．
18．解：将两只骰子编号为1号、2号，同时抛掷，则可能出现的情况有6×6＝36种，即n＝36．出现6点的情况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)．
∴m1＝5，∴概率为P1＝
＝
．
出现7点的情况有(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)．
∴m2＝6，∴概率为P2＝
＝
＝．
出现8点的情况有(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)．
∴m3＝5，∴概率为P3＝
＝．
19．解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b1，a)，(b，a2)}，
事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)＝
＝
．