数学辅导-----《数列》（2）
【数列通项公式的求法】
一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
（特征：适应于已知数列类型（等差or等比）的题目．）
2例．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5?a5．求数列?an?的通项
公式.
二、公式法：求数列?an?的通项an可用公式
（特征：已知数列的前n项和Sn与an的关系）
例．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1．求数列?an?的通项公式。
三、由递推式求数列通项法
类型1 特征：递推公式为an?1?an?f(n)
对策：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用 求解。 例1. 已知数列?an?满足a1?
11，an?1?an?2，求an。 2n?n
n?1n对策：把原递推公式转化为an?1?f(n)，利用 求解。 an
2nan，求an。 ，an?1?3n?1例2. 已知数列?an?满足a1?
类型3 特征：递推公式为an?1?pan?q（其中p，q均为常数） 对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由an?1?pan?q得an?pan?1?q(n?2)两式相减并a?an整理得n?1?p,构成数列?an?1?an?以a2?a1为首项，以p为公比的等比数列.求出an?an?1
?an?1?an?的通项再转化为类型1（累加法）便可求出an.
例3. 已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.
解：法一：
解：法二：
n?1n对策：（利用构造法消去p）两边同时除以pn?1可得到an?1anf(n)an，令???bn，则pn?1pnpn?1pnbn?1?bn?f(n)n，再转化为类型1（累加法），求出之后得ba?pbn nnn?1p
例4．数列{an}的前n项和Sn.已知首项a1=3,且Sn?1+Sn=2an?1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn.
类型5 特征：递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。
?s?t?p对策：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 其中s，t满足?，再应用前面类型3st??q?
的方法求解。
例5. 已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?
21an?1?an，求an。 33
【巩固提高】 例8. 数列{an}满足a1=1，3an?1?an?7?0,求数列{an}的通项公式。
例9. 已知数列?an?满足a1?1，且an?1?3an?2，求an．
例10．已知数列?an?满足a1?1，an?3n?2an?1 (n?2)，求an．
例11. 已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).
例12. 数列?an?满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an=0，求数列{an}的通项公式。
（I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式；
第二篇：求数列通项方法总结
求数列通项方法总结
一、课堂练习：
1．已知数列
满足
，
，求
；
2．已知数列满足
，
，求；
3．已知数列
中，
，
，求；
构造新数列
，则数列
是首项为4，公比为2的等比数列
4．在数列
中，
求；
构造新数列
，形式与3构造之前相同，则数列
的等比数列
5．已知数列中，
,
，求；
两边同时除以
，得
，则数列
是首项为
的等比数列
6．已知数列
满足
求数列的通项公式；
原式变形为
2为首项以2为公比的等比数列
7．已知数列｛an｝满足：
，求数列的通项公式；
两边取倒数得
1为首项，3为公比的等比数列
8．在数列
中，
，求通项公式；
二式可以写成
，说明是等差数列
9．已知数列
满足
，则
= （ ）
A．0 B．
C．
D．
看到所求是具体的某一项的值，而又非等差等比数列，那么肯定具有周期关系，试前几项。
10．数列前n项和
.（1）求
与的关系；（2）求通项公式；
整理得：
，转化为
，则数列
为等差数列
二、规律总结：
类型一：形如
（其中
是可以求和的数列
的通项公式）
类型二：形如
（其中是可以求积的数列的通项公式）
类型三：形如
（其中
为常数，且
）
类型四：形如
（其中
为常数，且）
类型五：形如
（其中为常数，且
）
类型六：形如
（其中为常数，且）
类型七：形如
（其中为常数，且
）
类型八：已知
或与的关系式，求
类型九：其他类型
课后反思：从学生情况看，学生对具体的给出数据的题目还能够在老师的帮助下完成，但是规律总结完成起来有很大困难，最后我旨在课堂上勉强完成了前3种类型的规律总结，后面就放弃了。
其实前3种类型我在前面讲课时已经渗透了解题方法，本以为上课时让学生能够很快地完成，但有一部分学生用了5分钟也未能完成，主要原因是缺乏对第n项往前推导的想象力，不知如何运用得到的通项关系；另一方面，学生虽然有了关系式，又懒得往后多写几项已看出规律。由此看出对于大多数学生推导规律的能力是很有限的。
从第4题开始，学生倍感困难，完全不知如何处理。个别数学很好的学生（郭键、刘佳）在处理这道题时出现了如下错误，（模仿第3题的做法）
而且经过了相当长一段时间的自我纠错。
当总结第四题的规律时，刘傲给出了一个完美的规律表达：
，解决了上面所列的学生错误。
在后续测试中我发现学生像第8题、第10题这样两式相减的题目也不能很好地掌握，主要问题是减后的代数变形不会往有利于解题的方向上去写。看来还是没有弄明白为什么要做这样的变化，对我上课所谈到的“把一个变换后的数列整体看成一个新的等差、等比数列”并没有在学生脑海中形成共识，对这个整体的构造有困难。