三角形与特殊三角形知识点归纳

时间:2024.6.12

三角形与特殊三角形

(一):【知识梳理】

     1.三角形中的主要线段

    (1)角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的

顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

(2)中线:连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.

(3):从三角形的一个顶点向它的对边(或其延长线)引垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.

 (4)中位线:连接三角形两边的中点的线段。

2.三角形的边角关系

(1)三角形边与边的关系:三角形中两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边;

(2)三角形中角与角的关系:三角形三个内角之和等于180o

     3.三角形的分类

     (1)按边分:

     (2)按角分:

4.特殊三角形

     (1)直角三角形性质

①角的关系:∠A+∠B=900

②边的关系:

       ③边角关系:

   

(2)等腰三角形性质

       ①角的关系:∠A=∠B;②边的关系:AC=BC;③

④轴对称图形,有一条对称轴。

   

(3)等边三角形性质

      ①角的关系:∠A=∠B=∠C=600;②边的关系:AC=BC=AB;

;④轴对称图形,有三条对称轴。

     (4)三角形中位线:

     5.特殊三角形的判定]

     6.两个重要定理:

     (1)角平分线性质定理及逆定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等;到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上;三角形的三条角平分线相交于一点(内心)

     (2)垂直平分线性质定理及逆定理:线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等;到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;三角形的三边的垂直平分线相交于一点(外心)

二):【课前练习】

     1.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是(   )

       A.1cm,2cm,4 cm    B.8 crn,6cm,4cm

       C.12 cm,5 cm,6 cm  D.2 cm,3 cm ,6 cm

2.若线段AB=6,线段DC=2,线段AC= a,则(  )

  A.a =8     B.a =4   C.a =4或8    D.4<a<8

3.等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm,则此三角形的周长是(  )

  A.15cm  B.20cm C.25 cm D.20 cm或25 cm

4.一个三角形三个内角之比为1:1:2,则这个三角形的三边比为_______.

5.如图,四边形ABCD中,AB=3,BC=6,AC=3,AD=2,∠D=90

求CD的长和四边形 ABCD的面积.

二:【经典考题剖析】

  1.三角形中,最多有一个锐角,至少有_____个锐角,最多有______个钝角(或直角),三角形外角中,最多有______个钝角,最多有______个锐角.

2.两根木棒的长分别为7cm和10cm,要选择第三根棒,将它钉成一个三角形框架,那么第三根木棒长xcm的范围是__________

3.已知D、E分别是ΔABC的边AB、BC的中点,F是BE的中点.若面ΔDEF的面积是10,则ΔADC的面积是多少?

4.正三角形的边长为a,则它的面积为_____.

5.如图,DE是△ABC的中位线, F是DE的中点,BF的延长线交

AC于点H,则AH:HE等于(  )

A.l:1   B.2:1     C.1:2    D.3:2

三:【课后训练】

   1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度,用它们能摆成三角形的一组是(  )

     A.1cm,2cm,3cm      B.3cm,4cm,5cm

     C.5cm,7cm,13cm     D.7cm,7cm,15cm

2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线,如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角,那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________.

3.如图,OE是∠AOB的平分线,CD∥OB交OA于C,交OE于D,

∠ACD=50o,则 ∠CDE的度数是(  )

  A.175°  B.130°  C.140°  D.155°

4.如图,△ABC中,∠C=90 ,点E在AC上,ED⊥AB,垂足

为D,且ED平分△ABC的面积,则AD:AC等于(  )

  A.1:1    B.1:   C.1:2   D.1:4

5.在ΔABC中,AC=5,中线AD=4,则AB边的取值范围是(  )

  A.1<AB<9          B.3<AB<13

  C.5<AB<13        D.9<AB<13

6.如图,直角梯形ABCD中,AB∥  CD,CB⊥AB,△ABD是等边

三角形,若AB=2,则CD=_______,BC=_________.

7.如图所示,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别平分

∠ABC和∠ACB.求∠BOC的度数.

8. 已知:△ABC的两边AB=3cm,AC=8cm.

 (1)求第三边BC的取值范围;

 (2)若第三边BC长为偶数,求BC的长;

 (3)若第三边BC长为整数,求BC的长

9. 已知△ABC,

(1)如图1-1-27,若P点是ABC和ACB的角平分线的交点,则 P=

(2)如图1-1-28,若P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点,则P=

(3)如图1-1-29,若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点,则P=

10.已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长 AB至 E,使 BE=CD,连结DE,交BC于点P.

(1)求证:PD=PE;

(2)若D为AC的中点,求BP的长.


第二篇:三角形知识点归纳


第一章三角形的初步知识

【教学目标】

⑴认识三角形、三角形的角平分线和中线、三角形的高。

⑵全等三角形、三角形全等的条件、作三角形

【教学分析】

教学重点:熟练掌握三角形的内角和外角的性质和三边关系及两个三角形全等的条件. 教学难点:利用三角形全等的有关知识解决一些实际简单的问题.

【教学过程】

(一)梳理知识,形成网络

考点一、三角形

1、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下:

不等边三角形

三角形 底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下:

直角三角形(有一个角为直角的三角形)

三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)

斜三角形

钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)

把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

注:三角形具有稳定性。

2、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。

推论:

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。

3、三角形的三边关系定理及推论

(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。

推论:三角形的两边之差小于第三边。

4、三角形的面积

三角形的面积=1×底×高 2

注:同底等高的三角形面积相等。

考点二、三角形中的主要线段

1、三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。

2、这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点:

(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。

(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。

考点三、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理:

(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)

(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)

(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

(4)角角边定理:有两个角和其中一个角的对应边相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)

直角三角形全等的判定:

对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)

3、全等变换

只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种:

(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。

(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。

4.线段中垂线和角平分线的性质,基本尺规作图:作角的平分线,线段的中垂线,作一个角等于已知角,按给定条件作三角形。

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